趙漫莉

【摘要】 根據(jù)表格信息選用三種方法求二次函數(shù)的解析式.

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù);解析式;平移;靈活

待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，由于二次函數(shù)解析式不同于一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，它有三種表達(dá)形式，選擇何種形式會影響到是我們是否能快捷、準(zhǔn)確的求出關(guān)系式.

例 根據(jù)表格信息求二次函數(shù)解析式.

x…-4-3-2-1…

y…-15-24-27-24…

方法1 利用一般式求解

分析 把表格中的點(diǎn)都作為一般的點(diǎn)，建立三元一次方程組，求出待定系數(shù).

解 設(shè)y=ax2+bx+c，把（-4，-15），（-3，-24），（-2，-27）代入，得

-15=16a-4b+c，-24=9a-3b+c，-27=4a-2b+c，

解得a=3，b=12，c=-15，

所以解析式為

y=3x2+12x-15.

注 知道三個點(diǎn)或者是三條信息，我們就可以設(shè)二次函數(shù)的一般式，列出三個關(guān)于a，b，c的方程，得出解析式.

方法2 利用頂點(diǎn)式求解

分析 通過仔細(xì)觀察表格我們可以發(fā)現(xiàn)（-3，-24），（-1，-24）縱坐標(biāo)相同，那么這兩個點(diǎn)是對稱點(diǎn)，這兩點(diǎn)到對稱軸的距離相同，所以對稱軸為直線x=-2，從表格中我們還可以找到頂點(diǎn)（-2，-27）.因此我們可以用頂點(diǎn)式求解.

解 設(shè)y=a（x-h）2+k，把頂點(diǎn)（-2，-27）代入，得

y=a（x+2）2-27，

把（-3，-24）代入，得

-24=a（-3+2）2-27，

解得a=3，

所以解析式為y=3（x+2）2-27，

即y=3x2+12x-15.

注 知道對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ點(diǎn)時，用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)關(guān)系式比較簡單.

方法3 利用交點(diǎn)式求解

利用交點(diǎn)式求解析式關(guān)鍵是要知道拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，我們結(jié)合“平移”的知識可以得到拋物線與x軸的交點(diǎn).

解 把表格中得到的各點(diǎn)向上平移24個單位得到

x…-4-3-2-1…

y…90-30…

我們可以得到平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-3，0），（-1，0），

設(shè)拋物線解析式為

y=a（x+3）（x+1），

把（-4，9）代入，得

9=a（-4+3）（-4+1），

解得a=3，

所以解析式為y=3（x+3）（x+1），

即y=3x2+12x+9，

把圖象向下平移24個單位得到所求二次函數(shù)的解析式為

y=3x2+12x-15.

注 知道或是能夠推導(dǎo)出拋物線與x軸的交點(diǎn)時可以用交點(diǎn)式求解析式.

這個例題通過一題多解，可以幫助我們更深刻地理解如何靈活選擇合適的關(guān)系式求二次函數(shù)的表達(dá)式.