《點到直線的距離》教學設(shè)計及數(shù)學體驗分析

郭繁華 楊潔

【摘要】本文通過設(shè)置“變式題組”，形成“問題串”，由淺入深，從特殊到一般地逐步啟發(fā)學生思考，探求點到直線的距離公式.使學生體會數(shù)學知識的發(fā)生過程，經(jīng)歷思維的發(fā)展過程，體驗問題的探究過程以及體驗數(shù)學的思想方法.

【關(guān)鍵詞】變式題組;問題串;數(shù)學體驗

《開發(fā)教材變式資源優(yōu)化學生數(shù)學體驗的行動研究》是2018年貴州省立項課題，本課題是從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景結(jié)合知識特點及學生的認知水平對教材中的基本概念、典型例題、習題等通過挖掘變式，暴露問題本質(zhì)特征，展示知識的發(fā)生過程，促進知識的遷移，揭示不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，探索解題方法與技巧，使學生體會數(shù)學知識的發(fā)生過程，經(jīng)歷思維發(fā)展過程，讓學生產(chǎn)生對數(shù)學知識的感受、情感、理解、聯(lián)想、領(lǐng)悟、等復(fù)雜的心理活動，從而不斷獲得新知、提高能力，發(fā)展核心素養(yǎng).在課題研究的過程中，課題組成員開展了系列研討活動，現(xiàn)將《點到直線的距離》教學設(shè)計及數(shù)學體驗分析如下.

1 內(nèi)容分析

本節(jié)課是從初中平面幾何的定性作圖向高中解析幾何定量計算的過渡.點到直線的距離公式是解析幾何后續(xù)學習的一個基礎(chǔ)工具，屬于概念性知識.從本章的安排來看，點到直線的距離公式可以看做兩點間距離公式的應(yīng)用，由它還可以得到兩條平行線間的距離，因此無論從知識結(jié)構(gòu)還是從教材內(nèi)容的安排來看它都起著承上啟下的作用，它是《直線的交點坐標與距離公式》這一單元的核心內(nèi)容;從課型來說，應(yīng)該屬于“問題教學”[1];從思想方法來看，本節(jié)課蘊含轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等豐富的數(shù)學思想.

2 目標與目標解析

教學目標 （1）了解點到直線的距離公式的推導(dǎo)方法.（2）掌握點到直線距離公式，并能靈活應(yīng)用.（3）體會數(shù)學思想與方法，如化歸思想、數(shù)形結(jié)合、解析法、等面積法等，進一步促進數(shù)學體驗.

目標解析 （1）能把點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為點到點的距離問題;或受兩點間距離公式的啟發(fā)能構(gòu)建直角三角形，利用等面積法得出點到直線的距離公式.（2）熟練點到直線距離公式的結(jié)構(gòu)特征，能靈活應(yīng)用公式解決相關(guān)問題.（3）通過點到直線距離公式的推導(dǎo)方法，利用兩種思路體會化歸思想及數(shù)形結(jié)合的思想;特別是參與思路二的解答過程，體會用代數(shù)運算解決幾何圖形問題的方法及等面積法，從而豐富學生的數(shù)學體驗.

3 教學問題診斷

在教學中可能遇到的問題是，選擇何種方法得到點到直線的距離公式？如何引導(dǎo)學生選擇合適的方法得到公式？點到直線的距離公式推導(dǎo)的方法很多，大致有兩類，一類是易想到但不易算，另一類是易算卻不易想到.教學要兼顧這兩方面，更要從中選擇能較好體現(xiàn)解析法思想的方法.既不能為講方法而講方法，方法越多越好，也不能為了得到公式急于求成，將教師的方法強加給學生.因此，實際教學中既要給學生選擇方法的機會，又要引導(dǎo)學生聚焦在既可行的又能較好體現(xiàn)解析法思想的方法上.教學中遇到困難，教師應(yīng)引導(dǎo)學生合理運算，耐心求解，幫助學生成功得到距離公式.

4 重難點

選擇恰當?shù)姆椒ㄍ茖?dǎo)出點到直線的距離公式及應(yīng)用

5 教學方式

啟發(fā)式教學

6 教學過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1 （導(dǎo)學案講解與復(fù)習提問）（1）我們已經(jīng)學過了兩點間的距離公式，公式是什么？ （2）我們學過哪些求距離的方法？分別是什么？

師生活動預(yù)設(shè) 提出問題，引導(dǎo)學生回憶點到點的距離公式，并歸納已學的求距離的方法.

設(shè)計意圖 幫助大部分學生鞏固、理解和歸納基礎(chǔ)知識，給后面的課程鋪墊，促使學生學會對知識的歸納梳理.

數(shù)學體驗分析 聯(lián)想到利用向量法求距離，以及解析幾何常用的坐標法;利用向量法求距離學生印象深刻，但學生對坐標法不熟悉.

環(huán)節(jié)2 （新知導(dǎo)入）你認為什么是點到直線的距離？（點到線的垂線段長）

師生活動預(yù)設(shè) 提出問題，引導(dǎo)學生得出點到直線距離定義

設(shè)計意圖 通過圖展示及學生的參與強化定義，給后面課程的推進作鋪墊

數(shù)學體驗分析 從點到直線的距離——點到線的垂線段——點與點的距離.

環(huán)節(jié)3 （試一試）問題 求點P（2，2）到x軸的距離？

變式1 求點P（2，2）到直線l1：y=0的距離？

變式2求點P（2，2）到直線l2：y=-1的距離？

變式3 求點P（2，2）到直線l3：x=2的距離？

變式4將直線l3：x=2繞點（2，0）逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到l4，求點P（2，2）到l4的距離？

師生活動預(yù)設(shè) 提出問題，引導(dǎo)學生從易到難，從特殊到一般，探求解法.組織學生在獨立思考、小組討論的基礎(chǔ)上講出自己的思路，由學生講解，并適時予以肯定與引導(dǎo).通過師生互動演示思路圖，幫助學生梳理思路.

設(shè)計意圖 通過變式培養(yǎng)學生獨立思考與語言表達能力、一題多解的能力，優(yōu)化學生的思維;培養(yǎng)學生的參與意識、創(chuàng)新精神，激發(fā)學習興趣.

數(shù)學體驗分析 從解題活動中經(jīng)歷了從易到難，由淺入深，體驗了從特殊到一般，體會了坐標法，堅定解題意志.

環(huán)節(jié)4 （公式推導(dǎo)）求點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0、B≠0）的距離.

師生活動預(yù)設(shè) 在學生對變式4解決的基礎(chǔ)上，對問題進行拓展;引導(dǎo)學生總結(jié)升華探求點到直線的距離的思路和方法;師生一起解決問題.

思路1 利用兩點間距離公式

①求垂線方程②求交點坐標 ③求兩點間的距離

思路2 構(gòu)造直角三角形求其高

利用兩點間距離公式求P0R、P0S及RS，

再根據(jù)等面積法得

因為d·|RS|=|P0R|·|P0S|，

所以d=|P0R|·|P0S||RS|=|Ax0+By0+C|A2+B2

設(shè)計意圖 對變式4進行拓展，檢查學生對問題一實質(zhì)的理解和掌握;使學生體會解決問題的方法：從特殊到一般;提高學生的歸納概括提煉升華的能力;強化學生數(shù)學體驗.

數(shù)學體驗分析 經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，經(jīng)歷思維的發(fā)展過程，體會知識的發(fā)生過，體驗數(shù)學推理過程，體會坐標法、等面積法.

環(huán)節(jié)5 總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特點、適用范圍和使用時的注意事項（直線方程化為一般式）.

師生活動預(yù)設(shè) 引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)所求公式的結(jié)構(gòu)特點、適用范圍和使用時需要注意的地方，與學生一起將所發(fā)現(xiàn)的知識點進行歸納總結(jié)，形成結(jié)論.

設(shè)計意圖 在學習運用前加深公式的記憶，為后面的學習打基礎(chǔ);培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，逐步學會對知識的系統(tǒng)歸納和總結(jié).

數(shù)學體驗分析 通過觀察活動體驗，了解公式的基本結(jié)構(gòu)特征，適用范圍和使用時需要注意的地方，加深公式中字母的含義，通過歸納總結(jié)，體驗知識的系統(tǒng)性.

環(huán)節(jié)6 （公式應(yīng)用）例 若A（1，3），B（3，1），C（-1，0），（1）求AB邊所在的直線方程，（2）求點 C到AB邊的距離，（3）求△ABC的面積.

師生活動預(yù)設(shè) 給出問題，引導(dǎo)學生獨立解決問題;學生上黑板展示;演示課件，從動態(tài)的觀點驗證問題;組織學生討論是否還有其它解決方法？

設(shè)計意圖 使學生進一步理解和鞏固公式記憶，培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力，總結(jié)升華收獲解決問題的方法，演示課件增強學生的直觀思維.

數(shù)學體驗分析 通過解題活動體驗公式的具體應(yīng)用，在應(yīng)用中體驗數(shù)學推理以及用代數(shù)方法解決幾何問題，體會數(shù)形結(jié)合的思想.

環(huán)節(jié)7 （訓練）（1）求下列點到直線的距離：（1）A（-2，3），l：3x+4y+3=0 （2） B（1，0），l：3x+y-3=0

（2）求過點（0，2），且與原點距離為2的直線方程.

變式 已知直線l2： x+y+4=0，且點A（a，6）在直線l1： x+y+1=0上，（1）求點A（a，6）到l2的距離，（2）求直線l1與直線l2的距離.

師生活動預(yù)設(shè) 給出題組，組織學生獨立解決問題，并隨機抽查;引導(dǎo)學生對問題解決后的反思與升華;進一步變化題目提出問題，引導(dǎo)學生總結(jié)方法;通過變式由點線距離過渡到線線距離，引導(dǎo)學生探究變式問題，自然過渡到下節(jié)課內(nèi)容，激發(fā)求知欲.

設(shè)計意圖 把新知與就知結(jié)合在一起，培養(yǎng)學生的綜合運用能力;加大學生思維的力度，培養(yǎng)學生解決問題的能力;通過變式由點線距離過渡到線線距離，自然過渡到下節(jié)課內(nèi)容，激發(fā)求知欲.

數(shù)學體驗分析 通過解題活動、反思解題過程、探究活動體驗數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法及坐標法.

環(huán)節(jié)8（小結(jié)）（1）知識點：公式的適用范圍;（2）思想方法：由化歸思想、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法、等面積法等;（3）注意事項：使用公式前，直線的方程必須化為一般式.

師生活動預(yù)設(shè) 組織學生進行小結(jié)，由部分學生發(fā)言，教師補充，指導(dǎo)學生形成知識系統(tǒng).

設(shè)計意圖 讓學生學會反思，體會其中的思想方法，培養(yǎng)學生的參與意識、動手能力、表達能力.

數(shù)學體驗分析 進一步梳理了本節(jié)課的知識，理順思路，感受到了數(shù)學化歸思想、坐標法、數(shù)形結(jié)合、等面積法等方法的妙處.

7 教學反思

普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）課程目標中提出“通過教材內(nèi)容的學習，學生能進一步獲得學習必需的知識、技能、思想與經(jīng)驗;從而提高四能[2].” 然而相對于顯性的數(shù)學知識而言， 數(shù)學活動經(jīng)驗是學習者親歷特定數(shù)學活動場景時的特定心理體驗， 滲透著那些不可言喻的、下意識或潛意識的個人感受， 對數(shù)學學習者而言是發(fā)自內(nèi)心的、有生命力和有生成力的[3].

為促進學生數(shù)學體驗，本節(jié)課筆者首先安排了四個變式，即從求點到直線的距離的特殊到一般，為探索點到直線的距離公式做了有效鋪墊，讓學生經(jīng)歷探究、交流、解題和思考等過程;公式推導(dǎo)給予學生思考，讓學生充分的想與說，引導(dǎo)學生自己導(dǎo)出公式，把課堂變成學生親歷思維和實踐活動的主戰(zhàn)場.在此過程中，讓學生親身體會公式的由來，經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，體驗數(shù)形結(jié)合、坐標法及等面積法，體會成功的喜悅，從而豐富學生的數(shù)學體驗，積累活動經(jīng)驗，讓學生知識與能力的發(fā)展都能得到保證.

課堂練習環(huán)節(jié)筆者也安排了一個變式，即由點線距離過渡到線線距離，此變式既是本節(jié)課所學知識的深化理解也是為下一節(jié)課做有效鋪墊.

【本文系2018年貴州省教育科學規(guī)劃一般課題《開發(fā)教材變式資源優(yōu)化學生數(shù)學體驗的行動研究》（課題編號2018B168）的階段性研究成果.】

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學2必修（A版）教師教學用書/人民教育出版社，課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著-2版 -北京：人民教育出版社， 2007.5（2018.5重?。?

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版） [ M] .北京：人民教育出版社， 2018.1.

[3]涂榮豹.論數(shù)學活動的過程知識[ J] .數(shù)學教育學報， 2002（2）：9-13 .