楊喜軍 吳 雙 梁 言

(上海交通大學 電氣工程系電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室， 上海 200240)

電磁場或電磁波作為能量的一種形式，是當今世界最重要的能源存在與傳輸形式，應用領域涉及電磁能產(chǎn)生、存儲、變換、傳輸和使用。電磁場對物質的影響與物質的性質有關，電磁場理論不僅是物理學的重要組成部分，同時是電工技術的理論基礎，也是一些交叉領域學科生長點和新興邊緣學科基礎，主要涉及宏觀電磁場的基本概念、基本原理和基本規(guī)律，培養(yǎng)學生對電氣工程中電磁現(xiàn)象和電磁過程進行定性分析和定量分析[1-4]。

作為“電磁場理論”課程，雖然與“大學物理”課程的電磁學內容上有交叉，但前者注重電磁場的空間特性，特別強調場在空間中每一點的性質，分析時多采用場的微分方程。對教師而言，“電磁場理論”難教；對學生而言，“電磁場理論”難學、難懂和難用，畏懼心理很強。

“電磁場理論”的教學不應限于“象牙塔”，在學科交融、產(chǎn)學互補的新工科背景下以及分析手段趨于多樣化的條件下，單純采用數(shù)學語言去描述復雜物理現(xiàn)象的教學模式顯然已不再合適。采用各種可行手段和方法，使“電磁場理論”教學面向新工科教育(EEE)認證和成果導向教育(OBE)模式， 能夠運用現(xiàn)代工具，開發(fā)、選擇和使用恰當?shù)默F(xiàn)代工程工具和信息技術工具，對復雜工程問題進行可視化輔助分析[5-8]、預測和模擬。本文以碩士研究生電磁場理論的一份結課作業(yè)為例，幫助學生將枯燥的電磁場理論理解轉化為有趣的、工程可視化的過程，加深對電磁場理論學習的感性認識。作業(yè)內容為計算高頻電磁場無線輸電線圈參數(shù)，采用Matlab對兩個阿基米德螺線平面線圈完成互感計算，再通過COMSOL平臺搭建相關模型進行對比驗證。

1 “電磁場理論”的可視化教學設計

“電磁場理論”的可視化教學設計主要包括以下幾個環(huán)節(jié)：①描述方程與分析方法；②線圈互感的模型分析；③線圈互感的數(shù)值計算；④線圈互感的仿真驗證。

1.1 描述方程與分析方法

其中方程①：電位移的散度等于該點處自由電荷的體密度 (高斯定律)；方程②：磁感強度的散度處處等于零(高斯磁定律)；方程③：電場強度的旋度等于該點處磁感強度變化率的負值(法拉第定律)；方程④：磁場強度的旋度等于該點處傳導電流密度與位移電流密度的矢量和(麥克斯韋-安培環(huán)路定律)。

矢量分析為復雜物理規(guī)律提供了緊湊的數(shù)學描述，自然地也是電磁場理論數(shù)學表述的重要手段，掌握矢量分析對理解電磁場理論起著決定性作用。矢量分析基礎主要包括標量場的梯度、矢量場的散度和旋度以及亥姆霍茲定理。梯度、散度和旋度描述了場在空間變化情況，亥姆霍茲定理明確了研究電磁場理論的主線，即穩(wěn)恒場和時變場都是圍繞著它們的旋度、散度和邊界條件展開理論分析。

1.2 線圈互感的模型分析

圖1 兩個線圈互感示意

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律(Biot Savart Law)，C1線圈激發(fā)的磁場如下：

(1)

再由磁勢方程，得到積分路徑C2中的磁通為

(2)

(3)

可得兩個任意軌跡線圈之間的互感方程：

(4)

其次，需要基于柱坐標系確定兩個平面線圈的軌跡。兩個中心對準、軸向距離可變的阿基米德螺線平面線圈如圖2所示。

圖2 兩個平面阿基米德螺線平面線圈

兩個線圈的三維軌跡方程分別如下：

(5)

(6)

二者之間的距離為

(7)

最終，根據(jù)互感方程式(4)，得到兩個阿基米德螺線平面線圈的互感表達式為

(8)

1.3 線圈互感的數(shù)值計算

接下來，通過Matlab對兩個線圈的互感值進行數(shù)值計算。Matlab是美國MathWorks公司于20世紀80年代中期開發(fā)的高性能數(shù)值計算軟件，具有友好的工作平臺和編程環(huán)境、簡單易用的程序語言、強大的科學計算機數(shù)據(jù)處理能力。

如果設定兩線圈的內徑Ra和Rb均為3 cm，匝數(shù)n1和n2均為15匝，匝間距S1和S2均為5 mm，只改變兩線圈之間的距離h，令其從2 cm到50 cm變化，變化步長為2 cm，計算得到的互感值散點及其擬合曲線如圖3所示。由圖3可知，線圈互感隨著軸向距離的增大而減小。

圖3 線圈互感數(shù)值計算結果

1.4 線圈互感的仿真驗證

COMSOL是一種通用的基于高級數(shù)值方法和模擬物理場問題的通用軟件，包含結構力學模塊、化學工程模塊、熱傳遞模塊等八大模塊，使物理現(xiàn)象在計算機上重現(xiàn)，有助于解釋多物理場現(xiàn)象。為驗證理論計算互感的準確性，采用COMSOL搭建阿基米德螺線平面線圈模型，通過有限元分割方式分析互感。主要建模步驟如下：設置平面線圈和外界空氣域的幾何模型，給定線圈和空氣材料屬性，進行模型網(wǎng)格分割操作，選擇物理場接口邊界條件，如圖4所示。

(a)幾何建立

(b)設置材料

(c)網(wǎng)格剖分

(d)確定邊界條件圖4 COMSOL建模關鍵步驟

需要特別指出，在該模型中，放置于地面的線圈要通入1 A直流單位電流，懸空線圈則閉合。穩(wěn)態(tài)情況下，地面線圈耦合到懸空線圈的磁通在數(shù)值上即為兩線圈之間的互感。仿真分析時，物理場采用磁場(MF)，空氣域最外層指定為完美匹配層。當程序運行結束后，根據(jù)互感定義公式，通過線積分定義計算懸空線圈周圍的磁通量，從而得到該模型中兩個線圈的互感，如圖5所示。當線圈內徑均為3 cm，匝數(shù)均為15匝，匝間距均為5 mm，軸向距離為10 cm時，可得互感為37.976 μH。

圖5 定義線積分計算互感

在COMSOL平臺中，同樣保持線圈內徑、匝數(shù)和匝間距不變，改變軸向距離h從2 cm到50 cm，步長為2 cm，運行程序即可得到仿真值，并將其與理論計算值進行比較，如圖6所示。

圖6 COMSOL仿真值與理論計算值比較

由圖6可知，基于COMSOL模型仿真分析得到的耦合線圈互感值與理論推導數(shù)值計算得到的互感值高度重合，驗證了理論分析的正確性。

2 結語

“電磁場理論”是一門概念性非常強的課程，由一系列概念、原理、理論和模型組成。為了消除教學時，面臨學生“難學”和教師“難教”的問題，可以運用可視化手段著手解決。電磁場理論適用范圍廣，交叉學科多，可以安排交叉學科的結課作業(yè)，如本文MHz無線輸電領域發(fā)射級線圈與接收級線圈之間形成互感的理論計算與仿真驗證，采用了數(shù)學計算軟件Matlab和多域仿真軟件COMSOL。結果是，學生作業(yè)質量完成得非常滿意，對電磁場理論不再陌生和恐懼，反而能夠做到學以致用，掌握了多種計算和仿真工具，為后續(xù)科研打下厚實基礎。