石 巧 陳國華
(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 417000)
在求異面直線所成角θ時(θ∈(0°,90°]),首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出兩直線的方向向量,最后代入公式求出余弦值,因?yàn)棣葹殇J角,所以選正值即可.
例1(2015年全國Ⅰ卷理科第18題)如圖1,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.求直線AE與直線CF所成角的余弦值.
圖1 圖2
解析由∠ABC=120°,四邊形ABCD為菱形,
所以AC⊥BD.
如圖2,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BG,CG為x軸,y軸.設(shè)|BG|=1,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.
小結(jié)向量法是純代數(shù)運(yùn)算,避免了繁瑣的推理論證,已成為求解立體幾何問題的主要方法.但是特別要注意的是直線與直線所成角為銳角,所以最后結(jié)果要取正值.
求直線與平面所成角θ(θ∈[0°,90°])與求直線與直線所成角大抵相同,在建立空間直角坐標(biāo)系后,求出直線的方向向量與平面的法向量,再代入公式求出題目中的相關(guān)問題.
例2(2020年全國Ⅱ卷理科第20題)如圖3,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上的一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.
圖3 圖4
連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形.
求二面角時先建立空間直角坐標(biāo)系,再求出題目里需要用到的點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得兩個所求平面的法向量,最后利用公式求出二面角的余弦值.
例3(2017年全國Ⅰ卷理科第18題)如圖5,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
圖5 圖6
分析首先找到垂直于底面的一條線作為z軸,我們可以找到等腰△PAD,所以可以以三角形的高作為z軸,從而建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出平面與平面的法向量,將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為向量的夾角,向量法求二面角的大小,是當(dāng)前解這類題型的主要方法.
解析在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為點(diǎn)F.
由題知,AB⊥平面PAD.故AB⊥PF.
可得PF⊥平面ABCD.
設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,
設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,
可取m=(1,0,1),則
小結(jié)建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角時要將二面角的大小轉(zhuǎn)化成兩個半平面的法向量的夾角.如果兩個半平面的法向量所指的方向當(dāng)中,一個指向了二面角的外部,另一個指向二面角的內(nèi)部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角.如果兩個半平面的法向量所指的方向均指向二面角的內(nèi)部或者外部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角的補(bǔ)角,最重要的是,用平面的法向量求解二面角的大小時要先確定兩個半平面的法向量,然后再根據(jù)法向量的方向確定二面角的大小.
本文通過對空間角??嫉娜齻€方面進(jìn)行了分析,主要介紹了如何建立空間直角坐標(biāo)系來求解這些問題,以及求解這類問題時的一般步驟和求解技巧.探討了高考題中這類問題應(yīng)該如何思考,在建立空間直角坐標(biāo)系時三維坐標(biāo)應(yīng)該如何選取才能使計算得到最簡單化,計算出來的結(jié)果應(yīng)該注意哪些方面尤其是二面角,要注意觀察.