從一道高考試題探究圓錐曲線四點(diǎn)共圓問題

王海燕

(甘肅省靈臺(tái)縣第一中學(xué) 744400)

若圓的兩條弦AB，CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,則有|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.這就是相交弦定理.其逆定理告訴我們：若直線AB，CD相交于點(diǎn)P，且|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，則四點(diǎn)A,B,C,D共圓.這是證明四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要結(jié)論，類比于此，那么圓錐曲線上四點(diǎn)共圓時(shí)，應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系呢？

1 試題再現(xiàn)

(1)求C的方程；

2 解法探析

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

消去y并整理，得

由韋達(dá)定理,得

所以|TA|·|TB|

設(shè)直線PQ的斜率為k2，同理可得

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即有

顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

即直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

則過A,B,P,Q四點(diǎn)的曲線系方程為

因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

所以A,B,P,Q四點(diǎn)共圓.即此曲線系方程表示圓.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

①

又因|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

(16cos2α-sin2α)t2+(16cosα-2nsinα)t-n2-12=0.

②

由于16cos2α-sin2α≠0，又直線AB與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程②有兩個(gè)根.

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

可得|t1t2|=|t3t4|.

即16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β.

整理，得sin2α=sin2β.

又α，β∈[0，π)，所以α=π-β.

即tanα=-tanβ.所以kAB+kPQ=0.

因此直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

3 課本溯源

這道題目可以看成是人教版課本選修4-4第38頁例4的改編.

AB，CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

由此推測圓錐曲線上四點(diǎn)A,B,C,D共圓時(shí)，直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ)，即直線AB與CD斜率之和為0.

4 問題拓展

已知A,B,C,D是圓錐曲線上不同四點(diǎn),若直線AB與CD有公共點(diǎn),則A,B,C,D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與CD的斜率之和kAB+kCD=0.

將直線AB的參數(shù)方程代入橢圓方程并整理，得到(b2cos2α+a2sin2α)t2+2(b2x0cosα+a2y0sinα)t+b2x0+a2y0-a2b2=0.

③

由四點(diǎn)A，B，C，D共圓的充要條件|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，即得|t1t2|=|t3t4|，

整理，得(a2-b2)(sin2α-sin2β)=0.

即sin2α=sin2β.

又α，β∈[0，π)，故α=π-β.所以kAB+kCD=0.

反過來，若kAB+kCD=0，

當(dāng)圓錐曲線是雙曲線、拋物線時(shí)，同理可證結(jié)論成立.