一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

2.為了鼓勵學生積極鍛煉身體,強健體魄,某學校決定每學期對體育成績在年級前100名的學生給予專項獎勵.已知該校高三年級共有500名學生,如圖是該年級學生本學期體育測試成績的頻率分布直方圖.據(jù)此估計,該校高三學生的平均成績?yōu)? )

(A) 76 (B) 71 (C) 66 (D) 63

3.若f(x)=2f′(1)x-x2+7x,則f(2)=( )

(A) 34 (B) 12 (C) 10 (D)-10

(A)a>b>c(B)b>c>a

(C)a>c>b(D)c>b>a

5.有A，B，C，D四個疫情防控小組參加疫情防控,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個地區(qū),每個小組限去一個地區(qū),在只有A組去甲地區(qū)的前提下,四組去的地方各不相同的概率為( )

6.一個袋中裝有大小和質(zhì)地相同的4個球,其中2個白球和2個黑球,從袋中不放回地依次隨機抽取2個球,甲表示事件“兩次都摸到黑球”,乙表示事件“兩次都摸到白球”,丙表示事件“一次摸到白球,一次摸到黑球”,丁表示事件“至少有一次摸到白球”則( )

(A) 甲與乙獨立

(B) 乙與丙互斥

(C) 丙與丁互斥而不對立

(D) 丙與丁獨立

7.若定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)-1-x>0,且f(4)=ln(4e4),則不等式f(ex)>ex+x的解集為( )

(A) (4,+∞) (B) (ln 4,+∞)

(C) (ln 2,+∞) (D) (-∞,2)

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯的得0分)

9.下列說法中,正確的命題是( )

(A) 設隨機變量X服從正態(tài)分布N(6,σ2),若P(X<10)=0.8,則P(2

(B)E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3

(C) 線性相關系數(shù)r越大,兩個變量的線性相關性越強;反之,線性相關性越弱

10.若函數(shù)f(x)=ex-e2-x,則下列關于函數(shù)f(x)表述正確的是( )

(A)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增

(B)f(x)的值域為(0,+∞)

(C)f(1-x)=-f(1+x)

(D)f(x)與y=2ex的圖象只有一個交點

11.袋中有4個大小和質(zhì)地都相同的球,其中2個黃球,2個紅球,現(xiàn)從袋中隨機取球,每次取出1個,不放回,直到取到紅球為止.設此過程中,取到黃球的個數(shù)記為ζ,則( )

12.若f(x)=sinx,g(x)=ex-e-x,則( )

(A)f(g(x))為偶函數(shù)

(C)f(x)g(x)在[-π,0]單調(diào)遞減

(D)f(x)g(x)在(-π,π)有三個極值點

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

13.根據(jù)下列數(shù)據(jù)

X99.51010.511 Y1110865

14.若函數(shù)f(x)=x(2x-a)2在x=1處取得極大值,則f(1)=______.

16.已知函數(shù)f(x)=ex-ax,若f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2),則a=______;若f(x)≥x2+1 在(0,+∞) 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為______.

四、解答題(本大題共6小題,計70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)當a=16時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

18.(本小題滿分12分)某公司為調(diào)查某產(chǎn)品的市場滿意度,對市場進行調(diào)研測評,測評方式:從全體消費者中隨機抽取1 000人給該商品打分,得分在60分以下視為“不滿意”,得分在區(qū)間[60,80)上視為“基本滿意”,得分在80分及以上視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們給該商品打的分數(shù)分組:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90],得到如下頻率分布直方圖:

(1)對“基本滿意”與“非常滿意”進行跟蹤調(diào)查,根據(jù)上述的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表,并通過計算判斷是否有99.9%的概率認為消費者對該商品的滿意度與年齡有關.

基本滿意非常滿意總計 年齡≥30350 年齡<30110 總計800

P(K2≥k)0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828

(2)從(1)中基本滿意的人員中用分層抽樣的方法抽取12人,進行二次調(diào)查,對產(chǎn)品提出改進意見,并進行評比.最終有三人獲獎(12人中每人是否獲獎視為等可能的),求獲獎人員中年齡小于30的人數(shù)X的概率分布及數(shù)學期望.

(1)當b=1時,求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(1)求3人共參加了四次測試即結束選拔的概率;

(2)記通過選拔的人數(shù)為ζ,求ζ的概率分布及數(shù)學期望.

21.(本小題滿分12分)某單位有兩個銷售小組,為調(diào)研兩組的銷售情況,對兩個銷售組銷售人員的銷售量X(單位:件)進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計,兩組銷售量都符合正態(tài)分布,其中第一組X1～N(60,100),第二組X2～N(80,25).

(1)根據(jù)概率知識判斷,哪一組銷售人員銷售量超過90的比例高;

參考數(shù)據(jù)： 若X～N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5,P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 4.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=xemx-1(m為實數(shù),e 是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當m=2時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)當m=1 時,若f(x)>ax+lnx對于任意x∈(0,+∞) 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題

1.C;2. B;3.D;4.B;5.A;

6.B;7.B;8.C.

二、多項選擇題

9.AD;10.ACD;11.ABC;12.BD.

三、填空題

13.4.8;14.16;15.17;

16.e2,(-∞, e-2].

四、解答題

18.(1)基本滿意的總人數(shù)為1 000×(0.02+0.04)×10=600人,非常滿意的總人數(shù)為1 000×0.02×10=200人.2×2列聯(lián)表如下:

基本滿意非常滿意總計 年齡≥3035090440 年齡<30250110360 總計600200800

(2)根據(jù)分層抽樣,年齡不小于30的人有7個,年齡小于30的人有5個.

X的取值可能為0,1,2,3.

所以X的概率分布列為:

X0123 P7442144722122

當a=0 時,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞).

當a<0 時,f′(x)<0,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞).

(2)當a=1時,對于任意x1>0,x2∈[0,π],都有f(x1)≥g(x2)成立,即有f(x)在(0,+∞)的最小值大于或等于g(x)在[0,π]的最大值.

記通過選拔的人數(shù)為ζ,則ζ可能的取值為0,1,2,3.

故ζ的分布列為

ζ0123 P11447725714412

因為P(X2>90)>P(X1>90),所以第二銷售組的比例更高.

(2)設發(fā)放獎金的獎金的總額為X,則X可能取值為800,900,1 000,1 100,1 200.

X的分布列為

X8009001 0001 1001 200 P16813281827881181

22.(1)當m=2時,f(x)=xe2x-1,f′(x)=(2x+1)e2x,f′(0)=1.又f(0)=-1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為x-y-1=0.

由此易見,當x∈(0,x0)時,F′(x)<0,h′(x)<0,h(x)單調(diào)減;當x∈(x0,+∞)時,F′(x)>0,h′(x)>0,h(x)單調(diào)增.所以h(x)min=h(x0).