一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

1.已知集合M={1,4,x},N={1,x2},若N?M,則實數(shù)x組成的集合為( )

(A){0} (B){-2,2}

(C){-2,0,2} (D){-2,0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z=(a+1)-ai(a∈R),則a=-1是|z|=1的( )

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件

(A)① (B)② (C)③ (D)④

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分．在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求．全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

9.從裝有5只紅球、5只白球的袋中任意取出3只球,則在下列各對事件中為對立事件的有( )

(A)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”

(B)“取出3只紅球”與“取出的3只球中至少有1只白球”

(C)“取出3只紅球”與“取出3只白球”

(D)“取出的3只球中至少有2只紅球”與“取出的3只球中至少有2只白球”

10.已知函數(shù)y=x+ex的零點為x1,y=x+lnx的零點為x2,則( )

(A)x1+x2>0

(B)x1x2<0

(C)ex1+lnx2=0

(D)x1x2-x1+x2<1

11.已知圓臺OO1上、下底面的半徑分別為2和4,母線長為4.正四棱臺上底面A1B1C1D1的四個頂點在圓臺上底面圓周上,下底面ABCD的四個頂點在圓臺下底面圓周上,則( )

(A)AA1與底面所成的角為60°

(B)二面角A1-AB-C小于60°

(C)正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為64π

(A){Sn2}是等差數(shù)列

(B)Sn+Sn+2<2Sn+1

(C)an+1>an

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

13.已知向量a=(6,2),與a共線且方向相反的單位向量b=______.

14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)① ② ③ 的函數(shù)f(x)=______.

①f(x)是定義域為R的奇函數(shù);②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2.

15.抽樣表明,某地區(qū)新生兒體重X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),假設(shè)隨機抽取r個新生兒體檢,記ξ表示抽取的r個新生兒體重在(μ-3σ,μ+3σ)以外的個數(shù).若ξ的數(shù)學(xué)期望E(5)<0.05,則r的最大值是______.

(注:若隨機變量X～N(μ,σ2),則P(μ-3σ

16.一曲線族的包絡(luò)線(Envelope)是這樣的曲線:該曲線不包含于曲線族中,但過該曲線上的每一點,都有曲線族中的一條曲線與它在這一點處相切.若圓C1:x2+y2=1是直線族ax+by-1=0(a,b∈R)的包絡(luò)線,則a,b滿足的關(guān)系式為______;若曲線C2是直線族(1-t2)x+2ty-2t-4=0(t∈R)的包絡(luò)線,則C2的長為______.

四、解答題(本大題共6小題,計70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,各項均為正數(shù)的數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,且Sn=2an-1,b1=a1,Tn=(anbn)n.

(1)求{an}的通項公式;

(2)證明:{bn}為等比數(shù)列.

19.(本小題滿分12分)8年來,某地第x年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值y(單位:百萬元)統(tǒng)計圖表如下圖所示.根據(jù)該圖提供的信息解決下列問題.

(1)在所統(tǒng)計的8個生產(chǎn)總值中任取2個,記其中不低于平均值的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(2)由統(tǒng)計圖表可看出,從第5年開始,該地第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值呈直線上升趨勢,試用線性回歸模型預(yù)測該地第10年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值.

(1)若CN=2NP,Q為PD的中點,求證:A,M,N,Q四點共面;

(2)求直線PA與平面AMN所成角的正弦的最大值.

(1)求E的方程;

22.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+asinx-ax2-(1+a)x.

(1)當a≤0時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求a的值.

參考答案

一、單項選擇題

1.C;2.A;3.B;4.B;5.D;

6.C;7.B；8.D.

二、多項選擇題

9.BD;10.BCD;11.AC;12.ABD.

三、填空題

15.16；16.a2+b2=1,4π.

四、解答題

對于條件①

所以?ABC不唯一確定，不合題意.

對于條件②

對于條件①

所以?ABC不唯一確定，不合題意.

對于條件②

18.(1)因為Sn=2an-1,所以當n=1時，S1=2a1-1,a1=1.

當n≥2時，Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,得an=2an-1.

(2)由(1)得an=2n-1,所以Tn=(2n-1bn)n.

所以第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值不低于40百萬元的有第6，7，8年，共有3年.

X的可能取值為0，1，2.

所以X的分布列為

(2)根據(jù)第x年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為y(單位：百萬元)及統(tǒng)計圖表，得

x5678y32527395

當x=10時，y=21×10-73.5=136.5.

答：第10年第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值約為136.5百萬元.

20.解法1(1)取NC的中點G，連結(jié)MG，GD.因為N，Q分別為PG，PD的中點，所以NQ∥GD.

所以AM∥GD，AM∥NQ,從而A，M，N，Q四點共面.

(2)因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.

又因為在平面ABCD內(nèi)，AD∥BC，AB⊥BC，所以AD⊥AB.

解法2(1)因為PA⊥面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.

在平面ABCD內(nèi)，AD∥BC，AB⊥BC，所以AD⊥AB.

又因為AM，NQ不共線，所以A，M，N，Q四點共面.

代入方程y2=2px,得p=2,所以E的方程為y2=4x.

22.(1)因為f(x)=ex+asinx-ax2-(1+a)x,所以f′(x)=ex+acosx-2ax-(1+a).

設(shè)g(x)=f′(x),則g′(x)=ex-a(2+sinx).所以當a≤0時，g′(x)>0,函數(shù)y=g(x)在R上單調(diào)遞增，即函數(shù)y=f′(x)在R上單調(diào)遞增.

又f′(0)=0,所以當x<0時，f′(x)<0;當x>0時，f′(x)>0.故當a≤0時，f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增.

(2)有關(guān)結(jié)論：①ex≥x+1,e-x≥1-x;②當x≥0時，x≥sinx；當x≤0時，x≤sinx.

當a≤0時，由(1)知不合題意.

由(i)(ii)知，f′(x)≥f′(0)=0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增.