王 波

(湖北省松滋市第一中學(xué) 434200)

近幾年來(lái)，與圓錐曲線有關(guān)的四點(diǎn)共圓問(wèn)題一直備受高考命題人的青睞.這類問(wèn)題往往設(shè)置巧妙、解法多樣、內(nèi)涵豐富,題目難度較大.本文以2022年湖南省株洲市一道質(zhì)檢試題的多角度思考為例,與大家共同體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解奧秘.

一、試題呈現(xiàn)

二、解法探究

視角1利用圓中角的性質(zhì)

解法1如圖1,連結(jié)MF,由于M,F分別為OB,AB的中點(diǎn),則MF∥OA,得∠AOM+∠OMF=π.又O,A,F,M四點(diǎn)共圓,有∠OAF+∠OMF=π,所以∠AOM=∠OAF.

解法2如圖1,由O,A,F,M四點(diǎn)共圓,得∠OAF+∠OMF=π.又∠OMF+∠BMF=π,所以∠OAF=∠BMF.

評(píng)注解法1與解法2均運(yùn)用了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)這一性質(zhì),推導(dǎo)出三角形?AOB為正三角形,由此可得出雙曲線漸近線的傾斜角,最終順利求得離心率.這兩種解法都很好地體現(xiàn)了圖形本身具備的幾何特性這一本質(zhì)特征.

視角2利用圓冪定理

解法3如圖1,由O,A,F,M四點(diǎn)共圓,應(yīng)用割線定理得|BF||BA|=|BM||BO|.

評(píng)注對(duì)于四點(diǎn)共圓這一條件,除了轉(zhuǎn)化為圓中角的關(guān)系,我們還可以研究圓中的線與弦.解法3將四點(diǎn)共圓轉(zhuǎn)化為割線定理,運(yùn)用線段乘積來(lái)得到a,b關(guān)系,最終得出離心率;解法4運(yùn)用相交弦定理得出到a,b關(guān)系求離心率,二者具有異曲同工之妙.

視角3利用圓的方程與圓心坐標(biāo)

評(píng)注解法5先設(shè)出圓的方程,再由圓上三點(diǎn)坐標(biāo)確定參數(shù),代入第四點(diǎn)即可得出a,b關(guān)系.解法6的巧妙之處是根據(jù)幾何特征找到了圓心,然后運(yùn)用距離公式進(jìn)行翻譯,最終得出離心率.這兩種解法體現(xiàn)了代數(shù)法在幾何中的應(yīng)用.

通過(guò)以上幾種解法可以發(fā)現(xiàn)：本題看似復(fù)雜,實(shí)則簡(jiǎn)單易解.解題的關(guān)鍵在于能否把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本概念、基本思想方法的要求,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),這也是高考對(duì)我們的要求.