蘭詩全

(福建省古田縣第一中學，352200)

求參數(shù)的取值范圍問題是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,常常涉及問題的充分與必要條件.在實際解題中,多數(shù)學生對此類問題思路不清,感到困難重重.本文通過對一道習題的多種解法的正誤辨析,期望同學們從錯誤中“吃一塹、長一智”,補充完善自己的數(shù)學認知結(jié)構(gòu),在正確理解數(shù)學問題的本質(zhì)與思想方法的基礎(chǔ)上,努力提高解題的邏輯性與準確性.

一、只充分不必要,一般會縮小參數(shù)值的范圍

題目若函數(shù)g(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2) 在(-1,1) 內(nèi)有零點,求實數(shù)a的取值范圍.

解法1g(x)在(-1,1) 內(nèi)有零點,由零點存在性定理,得g(-1)g(1)<0,即[3-2(1-a)-a(a+2)][3+2(1-a)-a(a+2)]<0,整理得(a+5)(a+1)(a-1)2<0.

當a=1 時上式不成立;當a≠1 時,由(a-1)2>0,知上述不等式等價于(a+5)(a+1)<0,解得-5

反思以上解法正確嗎?事實上,“g(x)在(-1,1) 內(nèi)有零點”并非一定是g(x)只有一個零點.因為g(x)=0 是二次方程,可能有兩解,只有一解時也有多種情形,所以上述解法中g(shù)(-1)g(1)<0只是g(x)在(-1,1) 內(nèi)有零點的一個充分條件,邏輯上只能確定所得實數(shù)a的取值范圍(-5,-1) 是正確范圍的子集.換句話說,若推理時只充分不必要,一般可能會縮小參數(shù)的取值范圍.

二、只必要不充分,一般會擴大參數(shù)值的范圍

解法2依題意,方程g(x)=0 在(-1,1) 內(nèi)有解,由二次函數(shù)的知識,可得其判別式Δ=4(1-a)2+12a(a+2)=4(2a+1)2≥0,解得a∈R.即a的取值范圍為一切實數(shù).

反思這也是一種典型的錯誤,要注意防范.為什么錯呢?細想,顯然條件沒有用足.要保證g(x)=0 在(-1,1) 內(nèi)有解,而不是方程g(x)=0 在R上有解.Δ≥0只是g(x)在(-1,1) 內(nèi)有零點的一個必要條件,a的正確取值范圍是由此求得的取值范圍a∈R的子集.如此解答一般會擴大參數(shù)取值的范圍.

三、先充分再充要,能保證所求參數(shù)值范圍正確無誤

解法3依題意,g(x)=0 在(-1,1) 內(nèi)有解,故其判別式Δ=4(2a+1)2≥0,該式恒成立.

若g(x)在(-1,1) 內(nèi)有一個零點,則可能出現(xiàn)的情況有以下幾種：

(1)g(-1)g(1)<0,解得-5

綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-5,1).

反思本解法先根據(jù)已知條件找到一個滿足題意的一個充分條件,再順水推舟地一個一個把所有的解都找回來,最后考慮的并集即為問題成立的充分必要條件,從而得到問題的準確解.

四、直接充要,簡化求解過程,既簡單又準確

故實數(shù)a的取值范圍是(-5,1).

反思本解法直接利用問題的充要條件,既簡單又準確.事實上,對充要條件是否準確應用直接關(guān)系到解題的成敗,許多解題都是因為充要關(guān)系沒用好而致錯,因此解題時對充分性和必要性都需要關(guān)注.

通過以上解法分析,我們應該從錯解中明白錯因,從正解中認識解題的原理.通過充分與必要的專題內(nèi)容學習不斷反思道理與規(guī)律,達到思路清晰,邏輯嚴密,有理有據(jù),準確解答的解題境界.