林先偉, 秦學(xué)志, 尚 勤

(大連理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,遼寧 大連 116024)

0 引言

金融市場(chǎng)經(jīng)常受到一些模糊不確定因素的影響，使得金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)具有模糊特征。Zadeh提出的模糊集理論很好地解決了這類問題[1]。近年來，模糊集理論作為一種有用的工具在金融衍生產(chǎn)品定價(jià)中得到了廣泛的應(yīng)用。Wu[2]基于Black-Scholes模型得到了歐式期權(quán)的模糊價(jià)格，并給出了任意給定期權(quán)價(jià)格的置信度。Zhang等[3]提出了標(biāo)的股票價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率為模糊數(shù)時(shí)的幾何亞式期權(quán)模糊價(jià)格。Qin等[4]用模糊數(shù)刻畫到期時(shí)標(biāo)的股票價(jià)格的不確定性, 在此基礎(chǔ)上研究了長(zhǎng)記憶性特征下的兩值期權(quán)模糊定價(jià)問題。馬勇等[5]研究了基于模糊環(huán)境下歐式障礙期權(quán)定價(jià)問題, 得到了歐式障礙期權(quán)的顯示解。Li等[6]提出了一種帶模糊參數(shù)的歐式期權(quán)定價(jià)方法，得到了模糊期權(quán)價(jià)格。Lu等[7]給出了不確定股票市場(chǎng)下歐式期權(quán)的定價(jià)公式。

根據(jù)分形市場(chǎng)理論，長(zhǎng)記憶性描述的是序列的高階相關(guān)結(jié)構(gòu)。在股票市場(chǎng)中，長(zhǎng)記憶性是指不同時(shí)期的股票價(jià)格在相隔較遠(yuǎn)時(shí)仍然具有一定的相關(guān)性，過去的價(jià)格信息會(huì)對(duì)未來的價(jià)格產(chǎn)生長(zhǎng)期持續(xù)的影響[8]。相關(guān)學(xué)者通過一系列的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)金融市場(chǎng)存在顯著的長(zhǎng)記憶性[9,10]。Peters[11]基于分形理論將Hurst指數(shù)引入金融領(lǐng)域，作為衡量長(zhǎng)記憶強(qiáng)度的指標(biāo)。李大夜[12]建議可以用確定時(shí)間標(biāo)度下的局部Hurst指數(shù)研究市場(chǎng)趨勢(shì)。為了刻畫金融市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性特征，相關(guān)學(xué)者采用了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型來描述資產(chǎn)價(jià)格的變化。然而, 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅，很難定義關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分。為了解決這一問題，Shiryae等[13]提出用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型來刻畫金融資產(chǎn)的價(jià)格變化過程，并進(jìn)行相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)。混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)本質(zhì)上是布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的線性組合的高斯過程族。Cheridito[14]證明了在Hurst指數(shù)條件下，混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，因此金融市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。Xiao等人[15]討論了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的股權(quán)權(quán)證定價(jià)模型，給出了解析解。Sun[16]研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的外匯期權(quán)定價(jià)模型。Rao[17]利用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股票價(jià)格的變化過程，得到了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下亞式期權(quán)的定價(jià)公式。Ahmadian[18]假設(shè)股票價(jià)格服從混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，得到了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下亞式彩虹期權(quán)的定價(jià)公式。

綜上所述，本文提出了一種新的歐式期權(quán)糊定價(jià)模型，該模型考慮了股票價(jià)格的長(zhǎng)記憶性特征。在這里，本文假設(shè)，相關(guān)的實(shí)證研究已經(jīng)驗(yàn)證了這一假設(shè)是有效的[19]。本文的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在：首先，為了刻畫金融市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性特征，采用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)去描述股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化；其次，在混合分?jǐn)?shù) Black-Scholes 模型的基礎(chǔ)上, 基于標(biāo)的股票價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率均是模糊數(shù)的假定下，構(gòu)建了歐式期權(quán)模糊定價(jià)模型，進(jìn)一步的補(bǔ)充了現(xiàn)有文獻(xiàn)的不足; 最后，分析了金融市場(chǎng)長(zhǎng)記憶性的度量指標(biāo)Hurst指數(shù)H對(duì)定價(jià)模型的影響，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了該定價(jià)模型的可行性和合理性。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[16]

(1)

其中α和β都是不為0的常數(shù)。

混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)有如下性質(zhì)：

(2)

(3)

(vi)對(duì)所有t∈R+

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式期權(quán)模糊定價(jià)模型

2.1 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式期權(quán)定價(jià)模型

設(shè)(Ω,p)是一個(gè)具有σ-流的完備的概率空間。Ft是由BH(t)生成的σ-流，p表示真實(shí)概率測(cè)度。現(xiàn)在考慮混合分?jǐn)?shù)Black-Scholes市場(chǎng)有兩種資產(chǎn)，設(shè)債券價(jià)格Mt滿足下面方程:

dMt=rMtdt,M0=1,0≤t≤T

(11)

其中r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率。

股票價(jià)格St滿足下列隨機(jī)微分方程:

(12)

其中μ,σ分別表示預(yù)期收益率和波動(dòng)率。

(13)

那么可以得到

(14)

參考文獻(xiàn)[16]，以股票價(jià)格St作為標(biāo)的、K為敲定價(jià)格、帶有到期日T的歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格為

Ct=f(St,T,t,H,K,r,σ)

=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)

(15)

2.2 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下一般模糊定價(jià)模型

(16)

金融市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性可以用Hurst指數(shù)H來度量，下面的定理表示了Hurst指數(shù)對(duì)歐式期權(quán)模糊價(jià)格的影響。

定理2Hurst指數(shù)對(duì)歐式期權(quán)模糊價(jià)格的影響

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

2.3 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具體模糊定價(jià)模型

(24)

(25)

2.4 任意給定期權(quán)價(jià)格的置信度

(26)

對(duì)于等式(26)，對(duì)于任意給的那個(gè)的歐式期權(quán)價(jià)格c，它的置信度α可以通過以下的優(yōu)化問題可以得到，具體可以參照Wu[2]。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 基準(zhǔn)模型參數(shù)的取值

3.1 任意給定的歐式看漲期權(quán)價(jià)格c的置信度

表2 對(duì)任意給定的歐式看漲期權(quán)價(jià)格c對(duì)應(yīng)的置信度

圖1 Hurst數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖2 Hurst指數(shù),到期日對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

3.2 長(zhǎng)記憶性的度量指標(biāo)Hurst指數(shù)對(duì)該定價(jià)模型的影響

表3 不同下歐式看漲期權(quán)模糊價(jià)格的α-截集區(qū)間

3.3 穩(wěn)健性分析

為進(jìn)一步分析模型參數(shù)的敏感性，下面通過控制變量法分析模型的穩(wěn)健性。

表4 隨機(jī)模型歐式期權(quán)價(jià)格和模糊隨機(jī)模型歐式期權(quán)模糊價(jià)格的α-截集

這表示歐式期權(quán)價(jià)格的平均水平是3.4028，風(fēng)險(xiǎn)是0.1699。

4 結(jié)論

歐式期權(quán)是金融市場(chǎng)上流行的金融衍生產(chǎn)品，對(duì)其準(zhǔn)確定價(jià)具有重要的理論和實(shí)踐意義。本文研究了基于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式期權(quán)模糊定價(jià)問題，取得的主要結(jié)論如下：(1)采用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來刻畫標(biāo)的股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化，在股票價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率均為模糊數(shù)的假定下, 構(gòu)建了歐式期權(quán)模糊定價(jià)模型。(2)分析了長(zhǎng)記憶性特征的度量指標(biāo)Hurst指數(shù)H對(duì)定價(jià)模型的影響：當(dāng)?shù)狡谌?