精準設(shè)計題目 提升課堂效率
——以數(shù)列分奇偶項求和的高三復習課為例

?福建省廈門雙十中學漳州校區(qū)

陳 悅

1 引言

數(shù)列分奇偶項求和是一個比較難的問題，學生往往不能根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，選擇合適的求和方法來解決問題.高三的復習課是比較緊湊的，帶有明確的目標.本節(jié)課主要探討數(shù)列分奇偶項求和的四種類型：(1)相隔一項成等差數(shù)列(或成等比數(shù)列)；(2)通項公式中含有(-1)n；(3)數(shù)列的通項公式以分段數(shù)列給出；(4)數(shù)列中連續(xù)兩項和的問題.

復習課與習題課是兩種截然不同的的課型，復習課主要是以講解習題為載體，鞏固知識和方法，并發(fā)展能力，與新授課不同[1].教學設(shè)計主要包括了以下五個環(huán)節(jié)：回顧知識要點、分析例題、反饋練習、鞏固提高以及歸納總結(jié).

2 確定教學目標

第一，通過知識回顧、例題講解、反饋訓練、鞏固提高等一系列教學活動，讓學生能夠基本掌握常見的數(shù)列分奇偶項求和的方法.例如，分組求和法和并項求和法.第二，數(shù)列分奇偶項的求和問題也會和其他求和方法相結(jié)合，要引導學生根據(jù)不同的題目條件，選擇最優(yōu)解決問題的方法.第三，要引導學生進行數(shù)學表達，由特殊到一般，要善于歸納總結(jié)，不僅要能想出來、說出來，還要能準確規(guī)范地用數(shù)學語言表達出來.第四，促進學生思維的發(fā)散，比如相隔一項成等差數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為分奇偶項求和的問題，那么如果是相隔兩項成等差數(shù)列呢？當然，最主要的是在教學各個環(huán)節(jié)滲透化歸與轉(zhuǎn)化以及分類討論等數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的探究精神以及分析解決問題的能力，提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3 教學實施過程

第一環(huán)節(jié)：知識回顧.

設(shè)計意圖：復習本節(jié)課要用到的知識，以及數(shù)列分奇偶的常見類型.

第二環(huán)節(jié)：例題講解.

例1(2004年北京理第14題)定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為；這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為.

思路分析：根據(jù)數(shù)列的定義，可以得到an+an+1=5，把a1=2代入，容易發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項的值都為2，偶數(shù)項的值都為3，所以a18=3.第二空要求數(shù)列的前n項和，需要對n進行分類討論.

師：好，那數(shù)列{an}的通項公式要如何表達？

當n為奇數(shù)時，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=(a1+a3+……+an)+(a2+a4+……+an-1)

當n為偶數(shù)時，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=(a1+a3+……+an-1)+(a2+a4+……+an)

例2(2022年漳州市二質(zhì)檢第8題)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a1=1，a2=2，a3=3，記bn=an+an+1+an+2，且bn+1-bn=2，求S31.

解析：由bn+1-bn=2，得an+3-an=2.發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}相隔兩項依次構(gòu)成等差數(shù)列.

當n=3k-2時，an=a3k-2=1+2×(k-1)=2k-1,k∈N+；

當n=3k-1時，an=a3k-1=2+2×(k-1)=2k,k∈N+；

當n=3k時，an=a3k=3+2×(k-1)=2k+1,k∈N+.

所以，數(shù)列{an}的通項公式：

這時候就可以求S31.

設(shè)計意圖：例1是相隔一項成等差數(shù)列的問題，例2遷移到相隔兩項成等差數(shù)列，培養(yǎng)學生的應用意識和發(fā)散思維.

例3已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2n+1-2(n∈N+).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)已知bn=(-1)nlog2a2n+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

思路分析：第(1)問比較容易，可以利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，解得an=2n.第(2)問，把an=2n代入得到bn=(-1)n(2n+1)，再對數(shù)列求和.

師：同學們，接下來，怎么處理？

生2：分組求和.對n進行分類討論.

當n為奇數(shù)時，

當n為偶數(shù)時，

生3：還可以用并項求和法.下面以n為奇數(shù)為例.

當n為奇數(shù)時，Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+……+(bn-2+bn-1)+bn.

師：如果我們留下的是首項，可不可以？

Tn=-3+(5-7)+(9-11)+……+(2n-1-2n-1)

最后的結(jié)果也正確，相比較而言，留首項會比留末項好一些，特別是當末項不容易化簡的時候.

設(shè)計意圖：復習數(shù)列分奇偶項求和的兩種常見方法，即分組求和法與并項求和法.如果運用并項求和法，討論n為奇數(shù)時，要考慮剩下的一項，不要遺漏，建議留下首項.如果求和結(jié)果是分奇偶的，要記得用分段數(shù)列形式表示.

第三環(huán)節(jié)：反饋訓練.

變式1已知cn=(-1)n·2n，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.

師：這個題目，大家可以先對n分奇偶，再分組求和或者并項求和，做法如下：

當n為奇數(shù)時，

Sn=-(2+23+……+2n)+(22+24+……+2n-1)

當n為偶數(shù)時，

其實，我們也可以把數(shù)列{cn}整理成cn=(-2)n，直接代入等比數(shù)列的前n項和公式中，得到

Sn=(-2)+(-2)2+(-2)3+……+(-2)n

師：特別注意，如果cn=(-1)n-1·22n+1怎么辦？

學生思考，討論.

師：把{cn}變?yōu)閏n=8·(-4)n-1(n∈N+)即可.

師：如果把題目變成cn=cosnπ·2n-1(n∈N+)，那怎么處理？

生4：cn=cosnπ·2n-1看成cn=(-1)n·2n-1.

師：是的，非常正確.

設(shè)計意圖：設(shè)置這個題，讓學生感受數(shù)列分奇偶項求和與等比數(shù)列相結(jié)合時，可以選擇分奇偶，用分組求和或者是并項求和，當然也可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，比較簡潔.注意引導學生將題目條件等價轉(zhuǎn)化為熟悉的情境進行求解.

第四環(huán)節(jié)：鞏固提升.

變式2已知cn=(-1)n·n·2n，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.

思路分析：設(shè)置這個題，讓學生感受數(shù)列分奇偶項求和與等差乘以等比數(shù)列相結(jié)合時，要盡量轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，比較簡便.

師：有同學能解決這個問題的嗎？

生6：把(-1)n·2n看成(-2)n，利用錯位相減法.

Sn=1×(-2)1+2×(-2)2+……+n×(-2)n

①

-2Sn=1×(-2)2+2×(-2)3+……+n×(-2)n+1

②

由①-②，可得

3Sn=1×(-2)1+1×(-2)2+1×(-2)3+……+1×(-2)n-n×(-2)n+1.

師：這個題目要求{cn}的前2n項和S2n，就不用對n進行分類討論了.

由題意可得，

S2n=c1+c2+……+c2n-1+c2n

=(2+23+……+22n-1)+(32+34+……+32n)

驗證當n=1時,S2=11=c1+c2，符合題意.

4 結(jié)語

“好的例題教學就是照亮學生解題的燈塔.”那么一名好教師，就是自己沉入題海，幫助學生浮出題海的人.一節(jié)課45分鐘的時間，應該是教師與學生共同碰撞與促進的過程，好的例題與變式，能夠發(fā)展學生思維，促進提升數(shù)學素養(yǎng).