巧構(gòu)參數(shù)方程 妙解數(shù)學問題

?甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣第一中學

張 超

1 引言

參數(shù)方程是解決直線、圓錐曲線等相關(guān)平面解析幾何問題中曲線比較常用的一種表達方式.巧妙構(gòu)建直線、圓錐曲線等的參數(shù)方程，相比對應(yīng)的普通方程有時可以更加簡捷方便地表示問題，從而簡化運算，優(yōu)化過程，提升效益，有助于學生進一步體驗數(shù)學方法的靈活多變.

2 直線的參數(shù)方程問題

例1[2022屆清華大學中學生標準學術(shù)能力診斷測試(2021年11月測試)數(shù)學文科試卷·8]已知圓C：x2+y2-8x-4y+19=0，直線l：3x-2y-6=0，直線l交圓C于A，B兩點，設(shè)點P(2，0)，則|PA|·|PB|=( ).

分析：根據(jù)所求的關(guān)系式|PA|·|PB|的特征，合理聯(lián)想到直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為過點P的參數(shù)方程，結(jié)合參數(shù)方程的代入與轉(zhuǎn)化來確定相應(yīng)的含參二次方程，利用參數(shù)的幾何意義解決問題.

所以，|PA|·|PB|=t1t2=7.故選擇答案：D.

點評：在求解一些有關(guān)距離或線段的長度問題時，可巧妙引入直線的參數(shù)方程，根據(jù)相關(guān)參數(shù)的幾何意義來直接轉(zhuǎn)化與處理.方程化解決，整體化思維，可以很好避免求解具體點的坐標、以及線段的長度等相關(guān)問題.

3 橢圓的參數(shù)方程問題

分析：結(jié)合橢圓的參數(shù)方程進行三角換元，代入所求的分式代數(shù)式，通過變形與轉(zhuǎn)化得到相應(yīng)的三角關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的構(gòu)建以及求導處理，利用導函數(shù)為零確定相應(yīng)三角關(guān)系式的最值，進而確定分式的最小值.

所以，f(θ)的最小值為

故填答案：4.

點評：解決一些涉及圓錐曲線上的點所對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式的最值或取值范圍問題，通?？梢郧擅钜雸A錐曲線的參數(shù)方程，比用普通方程更簡捷方便，進而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角函數(shù)的最值或取值范圍問題.

4 雙曲線的參數(shù)方程問題

(1)求C的離心率；

(2)若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

分析：(1)根據(jù)題目條件中兩直線的垂直關(guān)系，結(jié)合點的坐標，從距離關(guān)系入手，建立相應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系式，通過求解方程確定雙曲線的離心率.(2)結(jié)合雙曲線的參數(shù)方程進行三角換元，通過斜率公式以及三角恒等變換，巧妙轉(zhuǎn)化，合理證明.

又c2=a2+b2，所以c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=-1(舍去)或e=2.

所以，雙曲線C的離心率為2.

因此tan2∠BAF=tan∠BFA，即∠BFA=2∠BAF.

當|BF|=|AF|，且BF⊥AF時，∠BFA=2∠BAF=90°.

綜上所述，若B在第一象限，∠BFA=2∠BAF.

點評：解決一些涉及圓錐曲線中的角的關(guān)系問題時，自然聯(lián)想到圓錐曲線的參數(shù)方程，其中含有角與對應(yīng)的三角函數(shù)值問題，合理構(gòu)建參數(shù)方程中的角與平面幾何解析中相關(guān)概念以及角之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識來分析與處理，目的更加明確，操作起來更加簡單快捷.

5 拋物線的參數(shù)方程問題

例4在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)為拋物線Γ：y2=2px(p>0)的焦點，點B在x軸上，且在點F的右側(cè)，點A在Γ上，且|AF|=|BF|，直線AF，AB與Γ的第二個交點分別為M，N，若∠AMN=90°，則直線AF的斜率為________.

分析：根據(jù)拋物線的參數(shù)方程設(shè)出對應(yīng)點的坐標，結(jié)合兩直線垂直所對應(yīng)的斜率關(guān)系式建立方程，進而確定參數(shù)值，從而得以求解直線的斜率.

解析：設(shè)A(2pt12，2pt1)，M(2pt22，2pt2)，N(2pt32，2pt3).

點評：解決一些涉及圓錐曲線上的概念、軌跡等問題時，利用圓錐曲線的參數(shù)方程自然巧妙地引入?yún)?shù)，通過函數(shù)與方程思想等來巧妙轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)相關(guān)參數(shù)的確定與求解、關(guān)系式的確定等，從而簡單快捷處理相應(yīng)的圓錐曲線問題.

6 變式練習

A.-4 B.-5 C.4 D.不確定

A.1 B.2 C.3 D.4

(3)已知點M到點F(3，0)的距離比它到直線l：x+5=0的距離小2.

①求點M的軌跡E的方程；

②過點P(m，0)(m>0)作互相垂直的兩條直線l1，l2，它們與①中軌跡E分別交于點A，B及點C，D，且G，H分別是線段AB，CD的中點，求△PGH面積的最小值.

7 結(jié)束語

利用參數(shù)方程來解決直線、圓錐曲線等相關(guān)平面解析幾何問題，思維巧妙，往往能化繁為簡，迎刃而解，起到事半功倍的效果.既能鍛煉學生的邏輯思維，拓寬解題思路，培養(yǎng)學生“一題多解”的能力，又能激發(fā)他們的潛能，潛移默化地滲透數(shù)學思想方法，提高學習積極性，提升主動探索實踐的能力.