新的多變量特殊多項(xiàng)式及其在量子光學(xué)中的應(yīng)用

孟祥國(guó)吳孟艷孫程美

(聊城大學(xué) 物理科學(xué)與信息工程學(xué)院，山東省光通信科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 聊城 252059)

0 引言

作為一類常用的特殊多項(xiàng)式，埃爾米特多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)和物理上都扮演著重要角色，這是由于它具有正交性、完備性等一系列有意義的基本性質(zhì)，并涉及一些重要的關(guān)系式，如產(chǎn)生函數(shù)、多項(xiàng)式乘積、遞推關(guān)系和微分關(guān)系等。

單變量埃爾米特多項(xiàng)式Hn(x)可由它的產(chǎn)生函數(shù)來(lái)定義[1]，即

或者

多項(xiàng)式Hn(x)不僅能幫助求解量子諧振子的本征態(tài)和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的本征函數(shù)[2]，還也可以方便導(dǎo)出算符Fredholm 方程的解析解，以及處理耦合諧振子系統(tǒng)和推廣角動(dòng)量系統(tǒng)的本征值問題[3-5]。對(duì)于雙變量情況，埃爾米特多項(xiàng)式Hn，m(x，y)定義為[6]

其偏微分表示和冪級(jí)數(shù)展開式分別為

物理上，Hn，m(x，y)可作為受迫諧振子動(dòng)力學(xué)中粒子數(shù)態(tài)的躍遷振幅和二維復(fù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的本征函數(shù)[2，7]，同時(shí)也能為研究Bargmann變換、量子糾纏現(xiàn)象和二次指數(shù)介質(zhì)中的Talbot效應(yīng)提供幫助[8]。此外，單雙變量的埃爾米特多項(xiàng)式也經(jīng)常被應(yīng)用于導(dǎo)出一些新的漸近公式，玻色算符恒等式以及制備一些能作為關(guān)鍵量子信息源的新非高斯糾纏態(tài)[9-11]。因此，有關(guān)單雙變量的埃爾米特多項(xiàng)式的理論研究受到極大關(guān)注。目前，人們陸續(xù)提出了一系列變形的埃爾米特多項(xiàng)式，如退化埃爾米特多項(xiàng)式、全純埃爾米特多項(xiàng)式和q變形埃爾米特多項(xiàng)式[12-14]，并廣泛應(yīng)用于概率論、圖論、數(shù)論以及數(shù)學(xué)物理的其他領(lǐng)域。

類似于雙變量埃爾米特多項(xiàng)式的定義與其產(chǎn)生函數(shù)的關(guān)系，本文基于普通的單雙變量埃爾米特多項(xiàng)式及其微分關(guān)系式，導(dǎo)出兩個(gè)新的多變量特殊多項(xiàng)式，給出它們的產(chǎn)生函數(shù)以及一些新的微分恒等式，并詳細(xì)討論它們?cè)谟?jì)算多光子增加單雙模壓縮態(tài)的歸一化因子和維格納函數(shù)中的具體應(yīng)用。

1 新的多變量特殊多項(xiàng)式

1.1 三變量特殊多項(xiàng)式

假定指數(shù)函數(shù)exp(－s2－τ2＋?sτ＋sx＋τy) 為新的特殊多項(xiàng)式Fn，m(x，y；?) 的產(chǎn)生函數(shù)，類似于式(4)，有

根據(jù)單變量埃爾米特多項(xiàng)式Hn(x)的定義式(1)，則

進(jìn)一步，利用微分恒等式H′m(x)＝2mHm－1(x)，則式(6)變?yōu)?/p>

可見，F(xiàn)n，m(x，y；?) 為一個(gè)新的三變量特殊多項(xiàng)式，其級(jí)數(shù)展開式為兩個(gè)單變量埃爾米特多項(xiàng)式之積的疊加形式，且其產(chǎn)生函數(shù)為

特殊地，當(dāng)?＝0時(shí)，多項(xiàng)式Fn，m(x，y；?) 變?yōu)閮蓚€(gè)單變量埃爾米特多項(xiàng)式之積，即進(jìn)而，利用微分恒等式

可導(dǎo)出多項(xiàng)式Fn，m(x，y；?) 關(guān)于變量x，y的一階偏微分方程

進(jìn)而，關(guān)于多項(xiàng)式Fn，m(x，y；?) 的高階偏微分方程為

它在形式上類似于普通的雙變量埃爾米特多項(xiàng)式Hn，m(x，y) 的高階偏微分方程。

1.2 六變量特殊多項(xiàng)式

同樣，假定指數(shù)函數(shù)exp(－sτ－s′τ′＋vss′＋υττ′＋xs＋x′s′＋yτ＋y′τ′) 為新的特殊多項(xiàng)式Gn，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ) 的產(chǎn)生函數(shù)，類似于式(4)，有

根據(jù)式(4)中雙變量埃爾米特多項(xiàng)式Hn，m x，y() 的定義，可得到

進(jìn)一步，利用關(guān)于雙變量埃爾米特多項(xiàng)式Hn，m x，y() 的微分恒等式

式(13)自然被改寫為

同樣可見，Gn，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ) 為一個(gè)新的六變量特殊多項(xiàng)式，其級(jí)數(shù)展開式為兩個(gè)雙變量埃爾米特多項(xiàng)式之積的疊加形式，且其產(chǎn)生函數(shù)為

類似地，利用埃爾米特多項(xiàng)式Hn，m x，y() 的微分關(guān)系式(14)，得到特殊多項(xiàng)式Gn，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ)關(guān)于變量x，y，x′和y′的高階偏微分方程，即

2 多變量特殊多項(xiàng)式的具體應(yīng)用

2.1 歸一化

量子態(tài)的歸一化是量子光學(xué)中非常重要的一個(gè)問題。對(duì)于量子態(tài)的實(shí)驗(yàn)制備，歸一化因子用來(lái)刻畫態(tài)的成功制備概率，并能進(jìn)一步幫助探查該量子態(tài)的基本性質(zhì)和物理應(yīng)用。

理論上，當(dāng)把產(chǎn)生算符a?(即單光子增加操作)重復(fù)作用到壓縮真空態(tài)時(shí)，可實(shí)現(xiàn)多光子增加壓縮真空態(tài)a?mS(r)|0〉 。實(shí)驗(yàn)上，利用弱耦合條件下的非簡(jiǎn)并光學(xué)參量下轉(zhuǎn)換(parametric down-conversion，PDC)過程可實(shí)現(xiàn)單光子增加操作[15]。在目前實(shí)驗(yàn)條件，在單光子增加操作次數(shù)m較少的情況下，多光子增加壓縮態(tài)有可能實(shí)現(xiàn)制備。態(tài)的歸一化因子為

可有

通過與多項(xiàng)式Fn，m(x，y；?) 的產(chǎn)生函數(shù)比較，可知

特殊地，當(dāng)m ＝0 時(shí)，F(xiàn)0，0(0，0；－2 tanh－1r)＝1，這樣D0＝1，如同期望的一樣；而當(dāng)m ＝1 時(shí)，F(xiàn)1，1(0，0；－2 tanh－1r)＝－2 tanh－1r，故D1＝sinh2r，這恰好為態(tài)的歸一化因子。

進(jìn)一步，根據(jù)六變量特殊多項(xiàng)式G n，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ) 的定義，則歸一化因子D n，m簡(jiǎn)化為

當(dāng)n＝m＝0時(shí)，G n，m，n，m(0，0，0，0；－tanh－1r，－tanh－1r)＝1，D0，0＝1，對(duì)應(yīng)于壓縮態(tài)的歸一化因子。

2.2 維格納函數(shù)

維格納函數(shù)是一種非常有用的工具，它能從相空間的角度全面深入地描述非經(jīng)典態(tài)。利用多變量特殊多項(xiàng)式及其產(chǎn)生函數(shù)，能簡(jiǎn)化處理一些量子態(tài)的維格納函數(shù)，并為分析它們的非經(jīng)典性質(zhì)提供方便。一般來(lái)說(shuō)，量子態(tài)ρ的維格納函數(shù)定義為W(α)＝trρ[ Δ(α)] ，式中

為單模維格納函數(shù)的相干態(tài)表示[17，18]，為單模相干態(tài)[19]。因此，利用式(25)，可把態(tài)的維格納函數(shù)表示為

進(jìn)一步，利用數(shù)學(xué)積分公式(19)，可有

再利用特殊多項(xiàng)式Fn，m(x，y；?) 的定義式，可得到

重復(fù)使用數(shù)學(xué)積分公式(19)和六變量特殊多項(xiàng)式的定義式(12)，可得到

式中

特殊地，當(dāng)n＝m ＝0時(shí)，式(33)退化為雙模壓縮態(tài)的維格納函數(shù)，即

3 結(jié)論

綜上，本文充分利用普通的單雙變量埃爾米特多項(xiàng)式的定義式及其微分關(guān)系式，推導(dǎo)出了兩個(gè)新的多變量特殊多項(xiàng)式，即三變量特殊多項(xiàng)式和六變量特殊多項(xiàng)式，并給出了它們的產(chǎn)生函數(shù)以及一些新的微分恒等式。作為這兩個(gè)新的特殊多項(xiàng)式的應(yīng)用，解析推導(dǎo)出了多光子增加單雙模壓縮態(tài)的歸一化因子和維格納函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們恰好都與新的多變量特殊多項(xiàng)式有關(guān)，從而避免了繁瑣的高階偏微分運(yùn)算。