一類無窮大差的等價問題及應(yīng)用

王少英，田學(xué)剛

極限是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，微積分理論的建立都是以極限為工具，極限的計算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點. 對有些復(fù)雜的未定式利用無窮小等價代換非常簡單［1］；而有些未定式含有無窮大的差，利用初等變形、洛必達(dá)法則等方法不易處理，因此研究無窮大的等價代換是近年來極限問題的一個研究熱點.常庚哲等［2-4］給出了無窮大比較的定義，討論了無窮大等價的一些性質(zhì)，研究了無窮大的比較在求極限、判定級數(shù)收斂等方面的應(yīng)用.孫衛(wèi)衛(wèi)等［5-6］主要研究了等價無窮大在極限中的應(yīng)用，在兩個無窮大非等價的情況下，得出其差可以分別等價代換，并推廣到有限個無窮大的差的情況. 但是若兩個無窮大是相互等價的，那么它們的差不一定是無窮大，也不能分別等價代換，本文采用廣義二項式展開定理研究一類無窮大差的等價代換問題，給出兩個無窮大的差、三個無窮大的差的等價無窮大，從而能夠化簡復(fù)雜未定式極限，為學(xué)生更好地掌握極限計算提供方法支持.

1 主要結(jié)論

定義1［3］在自變量的同一變化過程中，f(x) 和g(x) 都是無窮大，則關(guān)于無窮大的比較定義為：

引理1 設(shè)f(x) 和g(x) 是x某變化過程中的無窮大，則f(x) ～g(x) 的充要條件是f(x) =g(x) +o(g(x))，這 里o(g(x)) 表 示 比g(x) 低階的無窮大.

引理3［5］在自變量的同一變化過程中，f(x)，g(x)，f1(x)，g1(x) 均 為 無 窮 大，且f(x)~f1(x)，g(x)~g1(x)

則有：

定理1 設(shè)α，β為大于零的 實數(shù)，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x)= bmxm+bm-1xm-1+ …+b1x+b0，其中an> 0，bm> 0，則有下列結(jié)論成立：

（1）若nα≠mβ，則當(dāng)x→+∞時，fα(x) -gβ(x) ～anαxnα-bmβxmβ；

（2） 若nα=mβ且anα≠bmβ，則當(dāng)x→ +∞時，fα(x) -gβ(x) ～anαxnα-bmβxmβ.

證明 因為當(dāng)α，β為大于零，f(x)，g(x) 均為x→+∞時的無窮大，且有

定理2 設(shè)α，β為大于零的實數(shù)，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x) =bnxn+

bn-1xn-1+ …+b1x+b0，其 中an=bn> 0,令k= max{i|ai≠bi,1 ≤i

這里1 ≤k

證明 對于定理2 給定的多項式f(x)，g(x)，則由an=bn> 0 可 知fα(x) 與gβ(x) 是等價的，因此fα(x) -gα(x) 不能用引理4 進(jìn)行等價代換. 令k= max{i|ai≠bi,1 ≤i

這里o[xn(α-1)+k] 表示當(dāng)x→+∞時 比xn(α-1)+k低階無窮大.

由于ai=bi，i=n，n- 1，…，k+ 1；ak≠bk，所以經(jīng)過計算可得

注記2 在研究兩個無窮大的差的等價代換時，若這兩個無窮大非等價，則問題較為簡單，利用定理1 逐項代換即可；若這兩個無窮大等價時，則問題變得非常困難. 我們利用廣義二項式定理這個工具，研究兩個等價無理式（特殊的無窮大）的差的代換問題，給出了fα(x) -gβ(x) 的等價無窮大，該無窮大結(jié)構(gòu)簡單，能夠大大簡化極限的計算.

推論1 設(shè)α，β為大于零的實數(shù)，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x) =bnxn+bn-1xn-1+ …+b1x+b0，其 中an=

bn> 0, 令k= max{i|ai≠bi,1 ≤i

（1）若nα>n-k，則fα(x) -gβ(x) 仍 為無窮大；

（2）若nα=n-k，則fα(x) -gβ(x) =C，C=α(anα-1?ak-bnα-1?bk)；

（3）若nα

證明由定理2可知x→+∞時fα(x) -gα(x) ～α(anα-1?ak-bnα-1?bk)xn(α-1)+k，

而

所以推論1 的結(jié)果成立.

定理3 設(shè)α，β為大于零的 實數(shù)，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x) =bnxn+bn-1xn-1+ …+b1x+b0，h(x)=cnxn+cn-1xn-1+…+c1x+b0的系數(shù)分別滿足an=bn> 0,ck1>0，這里的參數(shù)k1= max{i|ci≠0,1≤i≤n} ，k=max{i|ai≠bi,1≤i

（1）當(dāng)n(α- 1) +k>k1α?xí)r，fα(x) -gα(x) -h(x)α～α(anα-1?ak-bnα-1?bk)xn(α-1)+k；

（2）當(dāng)n(α- 1) +k

αxk1α；（3）當(dāng)n(α- 1) +k=k1α且α(anα-1?ak-bnα-1?bk) ≠ck1

α?xí)r，

證明 由定理2 可知，當(dāng)存在常數(shù)1 ≤k

所以由引理1 可證明定理3 中的等價關(guān)系成立.

2 實例應(yīng)用

分析 該未定式的分子是兩個相互等價的無窮大的差，不能利用定理1 直接等價無窮大的替換，也無法利用分子有理化，這給題目的解答帶來了困難. 利用定理2 可快速找到整個分子的等價無窮大，達(dá)到迅速解題的目的.

分析 未定式分子中含有三個無窮大的差，且前兩個無窮大等價，不滿足逐個等價代換的條件. 定理3 給出了三個無理式差的等價代換方法，利用該方法能夠?qū)⒎肿佑煤唵蝺绾瘮?shù)進(jìn)行替換，從而簡化極限的計算.

3 結(jié)語

本文主要研究了x→∞時無窮大的差的等價代換問題. 當(dāng)兩個無窮大非等價時，它們的差可以逐項等價替換，類似地可以將結(jié)果推廣到n個無窮大的差；而當(dāng)兩個無窮大等價時，它們的差不一定是無窮大，如何進(jìn)行等價替換，這是極限教學(xué)過程中經(jīng)常遇到的難題.定理1 主要研究了當(dāng)兩個無理式fα(x) 與gβ(x)非等價時，它們的差fα(x) -gβ(x) 的等價代換形式；定理2 在fα(x) 與gα(x) 等價時，利用廣義二項式定理，給出了fα(x) -gα(x) 的 等價無窮大；定理3 在一定條件下，研究了fα(x) -gα(x) -h(x)α的等價代換問題，給出了較簡單的等價無窮大形式. 研究結(jié)果能夠大大簡化含無理式差的未定式極限，為學(xué)生更好地掌握極限運算提供了理論基礎(chǔ). 需要指出的是，本文研究了3 個無理式的差的等價代換，如何研究n個無理式的差的等價代換？由于n個無理式的差用廣義二項式展開后，結(jié)果非常復(fù)雜，這是我們將來繼續(xù)研究的方向.