排列組合解題中的物理操作

魯和平

(浙江省嘉善第二高級(jí)中學(xué) 314100)

排列組合是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)章節(jié)，它對(duì)考查學(xué)生思維的嚴(yán)密性、深刻性、廣闊性具有不可替代的作用.也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“組合數(shù)學(xué)”“概率統(tǒng)計(jì)”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).但在排列組合解題中，有些題目所需要的思維方式卻超出了數(shù)學(xué)的范疇.如果我們僅僅停留在數(shù)學(xué)苑囿“深挖洞”，可能最終導(dǎo)致無(wú)功而返.如果我們進(jìn)一步拓廣思維視野，跳出數(shù)學(xué)的方寸天地，就會(huì)豁然開(kāi)朗.我們姑且把這種思維方式，稱為“物理操作”.簡(jiǎn)而言之，就是要通過(guò)一系列的“物理”操作，才能完成解題過(guò)程.

1 重構(gòu)操作

即根據(jù)題目的意思，在保持原題本質(zhì)不變的前提下，重新設(shè)計(jì)操作程序，使新的操作設(shè)計(jì)更加貼近題意，更具“數(shù)學(xué)化”.

例1袋子里有紅、黑、白、黃四種顏色的大小相同的小球各10個(gè).每種顏色的10個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，…，10.若從中任取4個(gè)小球，這4個(gè)小球顏色互不相同，且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的不同取法共有多少種？

例2從1,2,3,…，9中任取5個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求其中僅含有兩個(gè)連續(xù)的數(shù)，且這兩個(gè)連續(xù)的數(shù)相鄰的五位數(shù)有多少個(gè)？

2 退步操作

對(duì)于有范圍限制的排列組合問(wèn)題，可以先退步思考，滿足題設(shè)條件，使限制范圍變得單一常規(guī).再根據(jù)組合模式，尋找進(jìn)一步的解題方法.

例3 將15個(gè)大小相同的小球放入標(biāo)有“1,2,3,4”編號(hào)的盒子里，則每個(gè)盒子里放入的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)數(shù)的放法一共有多少種.

圖1

例4 已知M={1,2,3,…12},從集合M中任取4個(gè)數(shù)，要求這4個(gè)數(shù)中，至少有2個(gè)數(shù)相鄰，問(wèn)共有多少種取法？

例5 一排共18個(gè)座位，A,B,C三人按如圖2方式入座：任意兩人之間至少有3個(gè)座位，且三人的順序是A在B與C之間，則不同的坐法共有多少種？

圖2

3 配位操作

對(duì)于“搭配”問(wèn)題，可以先進(jìn)行配位操作，使之成為一個(gè)“大單位”的“元素”，再按照常規(guī)思路考慮.

例6 有14個(gè)年輕人和5個(gè)老人站成一排，要求每個(gè)老人左右至少各有一個(gè)年輕人攙扶，問(wèn)有多少種不同方法？

解析(1)先從14個(gè)年輕人中拿出10個(gè)，與5個(gè)老人左右搭配，做成5個(gè)“年輕人甲+老人+年輕人乙”模式的單位“人”；

(2)將上述5個(gè)單位的“人”，與剩余的4個(gè)年輕人全排列；

例7 公園里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右兩邊都要有空椅，則有多少種不同的坐法？

4 無(wú)為操作

對(duì)于有些題目，表面上看是有序排列問(wèn)題，但深入細(xì)究，卻是組合問(wèn)題.因?yàn)楦鱾€(gè)元素是相異的，本身就存在天然的次序.這就需要我們“無(wú)為而治”.相反地，如果真正“有為操作”，則會(huì)弄巧成拙.

5 筑巢操作

對(duì)于有些排列組合問(wèn)題，單從表面思考，很難找到突破口.若我們將此問(wèn)題放置在一個(gè)大的背景下思考，則會(huì)迅速迸發(fā)出思維的火花.給一個(gè)較難的問(wèn)題，安置一個(gè)大背景，我們形象地稱之為“筑巢操作”.

例9 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，x軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn)，y軸正半軸上有3個(gè)點(diǎn).將x軸上這5個(gè)點(diǎn)與y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？

圖3

6 符號(hào)操作

對(duì)于題目所描述的現(xiàn)象，我們可以抽象為用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)闡釋，把這一類操作稱為“符號(hào)操作”.它的好處在于能迅速建立操作與數(shù)學(xué)符號(hào)的有機(jī)聯(lián)系，為數(shù)學(xué)化解決問(wèn)題做好鋪墊.

例10 如圖4，A,B,C,D,E站成一圈傳球，每人只能將球傳給其左右相鄰兩人中的一人.由A開(kāi)始傳出(算作第一次)，經(jīng)過(guò)10次傳球又回到A的傳球方式共有多少種？

圖4

解析記向左傳為“+1”，向右傳為“-1”.由A開(kāi)始傳出10次球后，又回到A，就是在10個(gè)“1”前面添加正號(hào)或負(fù)號(hào)，使其代數(shù)和為10，或0，或-10.

(1)當(dāng)代數(shù)和為“10” 時(shí)，全是“+”，有1種；

(2)當(dāng)代數(shù)和為“-10”時(shí)，全是“-”，有1種；

綜上所述，滿足題意的傳球方式有：1+1+252=254種.