一道2021年“希望杯”競賽題的解法探究

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學 528315)

1 題目呈現(xiàn)

題目△ABC是邊長為2的等邊三角形，頂點A在x軸的非負半軸上滑動，頂點B在y軸的非負半軸上滑動，求△ABC的重心G的軌跡方程.

這是2021年第三十一屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高一第2試第17題(壓軸題)，本題短小精悍、構(gòu)思獨特，綜合考查考生邏輯思維、推理論證、運算、以及分析問題和解決問題等方面的能力，涉及的數(shù)學知識與蘊含的數(shù)學思想方法非常豐富，值得深入研究.

2 題目解析

解法1 如圖1，設(shè)∠BAO=θ(0≤θ≤90°)，則A(2cosθ,0),B(0,2sinθ).

圖1

過點C作CD⊥x軸于點D,

可得∠CAD=120°-θ，CD=2sin(120°-θ)，OD=OA+AD=2cosθ+2cos(120°-θ).

代入sin2θ+cos2θ=1，得

評注解法1利用等邊三角形特殊的邊角關(guān)系，巧妙地將點的坐標以角為參數(shù)來表示，再利用三角恒等變換及三角基本關(guān)系進行求解，難點是如何合理利用邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的坐標.

解法2如圖1，設(shè)∠BAO=θ(0≤θ≤90°)，則A(2cosθ,0),B(0,2sinθ).

設(shè)點G的坐標為G(x,y)，則

代入sin2θ+cos2θ=1，得

解法3如圖1，設(shè)A(x0,0),B(0,y0)，則

設(shè)點G的坐標為G(x,y)，則

評注解法2與解法3借助向量與復數(shù)的相關(guān)知識，利用旋轉(zhuǎn)變換的思想進行解答，兩種解法建立在同一個解題思路上，從不同的設(shè)點角度解決問題，解題方法新穎巧妙，過程簡潔.所以在競賽層面，要重視方法的積累和知識的儲備，熟練掌握一些常用的方法與結(jié)論，才有可能縮短思維的長度，提高效率，達到事半功倍的效果.

解法4如圖2，設(shè)AB的中點為E，連接CE.

圖2

由AB⊥EG，得

評注解法4借助向量的數(shù)量積運算，思路巧妙.向量有著深刻的幾何背景，具有良好的“數(shù)形結(jié)合”特性，是解決幾何問題的有力工具.

解法5如圖3，設(shè)AB的中點為E，連接CE.

圖3

易得△BDE∽△EFG，故

設(shè)點E的坐標為E(x0,y0)，因為E是AB的中點，所以BD=y0,DE=x0.

評注解法5借助平面幾何的性質(zhì)進行解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，運算量較少.解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題，解題時若能充分把握解析幾何的圖形特征，挖掘圖形相應(yīng)的幾何性質(zhì)，將解析法與平面幾何方法相結(jié)合，往往能簡化運算，優(yōu)化解題過程，起到四兩撥千斤之功效.

以上的幾種解法，從不同的角度出發(fā)思考問題，各顯神通，這充分體現(xiàn)試題的不拘一格，一道試題考查多種能力、多種思想方法.學數(shù)學離不開解題，數(shù)學家波利亞曾說：“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”同時要注意的是，數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是在解題中要善于觀察、善于思考、善于轉(zhuǎn)化，只有這樣才能將零散的數(shù)學知識串聯(lián)起來，運用自如.