陳銘新， 李程鵬， 王建飛

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

1914年，Bohr[1]在研究Dirichlet級數(shù)絕對收斂問題時得到定理A.

2010年，F(xiàn)ournier等[2]考慮一般單連通域Ω?D上的解析函數(shù)，并定義了函數(shù)族B(Ω)的Bohr半徑，記為BΩ∈(0，1)，即

1 幾個引理

設(shè)f和g是單連通域0∈Ω上的兩個解析函數(shù)，若存在一個函數(shù)φ，其中，φ在Ω內(nèi)解析，且φ(Ω)?Ω，φ(0)=0，則在Ω上，g=f°φ，稱g從屬于f，記為gf.

特別地，當(dāng)f單葉時，g從屬于f，等價于g(D)?f(D)，g(0)=f(0).當(dāng)gf時，|g′(0)|≤|f′(0)|.

為了給出主要結(jié)果，需引入引理1～3.

(1)

由f(z)的冪級數(shù)展開式和F(z)的定義，有

2 主要結(jié)果及其證明

證明：由引理2，有

解得|a0|=1，即|f(0)|=1.由解析函數(shù)的最大模原理有f(z)=c，|c|=1，證明完畢.

證明：令|a0|=a∈[0，1]，由引理2，有

假設(shè)f=u+iv是復(fù)平面區(qū)域Ω?上的二次連續(xù)可微的復(fù)值函數(shù)，若f滿足Laplace方程則稱f為Ω上的調(diào)和映射.特別地，若Ω為單連通域，則f可表示為其中，函數(shù)h和g均是Ω上的解析函數(shù)，并分別稱之為f的解析部分和共軛解析部分.此時，其Jacob行列式為Jf(z)=.Lewy[11]證明了調(diào)和映射f在Ω上是局部單葉保向的，當(dāng)且僅當(dāng)，Jf(z)>0，?z∈Ω.若|h′|≠0，定義wf=g′/h′為f的第二伸縮商.顯而易見，Jf(z)>0等價于|wf(z)|<1.有關(guān)多變量的Bohr半徑可參考文獻(xiàn)[12-15].

考慮P上的調(diào)和映射，并得到了一個限制在D上的Bohr型不等式，有定理3.

證明：函數(shù)h(z)在P內(nèi)解析，|h(z)|≤1，z∈P.由引理2，可得

又由引理3，有