范 健，李亞娟，劉建貞，鄧重陽

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

與參數(shù)曲面相比，細分曲面更易表達復(fù)雜拓撲結(jié)構(gòu)和幾何特征，計算效率更高，發(fā)展及應(yīng)用更廣泛[1]?，F(xiàn)有的細分曲面造型方法分為插值型細分方法[2]和逼近型細分方法[3]兩大類。對插值型細分方法而言，通常從點的位置信息出發(fā)，經(jīng)過網(wǎng)格不斷細化從而得到其極限曲面；而極限曲面不易像參數(shù)曲面一樣得到相應(yīng)的幾何信息，且在不改變初始網(wǎng)格點位置的前提下，不方便調(diào)整極限曲面的局部形狀。Coons曲面[4]是根據(jù)邊界條件而成的曲面，是最常見的參數(shù)曲面之一，與Bézier曲面和B樣條曲面相比，其優(yōu)點在于插值給定邊界條件。本文提出一種基于Coons曲面的插值細分方法，適用于任意拓撲四邊形網(wǎng)格。滿足點插值的同時也滿足切向插值，容易得到曲面的導(dǎo)矢信息，且在不改變初始網(wǎng)格點位置的情況下，可通過改變初始切向達到調(diào)整極限曲面形狀的效果。

1 預(yù)備知識

1.1 Coons曲面

給定參數(shù)曲面Z(u,v)，0≤u,v≤1，它在u方向和v方向的一對邊界分別記為Z(u,0)，Z(u,1)，Z(0,v)，Z(1,v)。若對其邊界作插值，得到新的曲面為：

X(u,v)=(1-u)Z(0,v)+uZ(1,v)+(1-v)Z(u,0)+vZ(u,1)-

(1)

稱曲面X(u,v)為Coons曲面，其中Z(0,0)，Z(0,1)，Z(1,0)，Z(1,1)為參數(shù)曲面Z(u,v)的4個角點。顯然，參數(shù)曲面Z(u,v)的邊界線也是Coons曲面X(u,v)的邊界線。

通過式(1)得到Coons曲面兩方向u，v的切向為：

Xu(u,v)=(1-v)Zu(u,0)+vZu(u,1)-Z(0,v)+Z(1,v)-

(2)

(3)

式中，Zu(u,0)，Zu(u,1)，Zv(0,v)和Zv(1,v)分別為邊界曲線Z(u,0)，Z(u,1)，Z(0,v)和Z(1,v)的切向。

1.2 拓撲規(guī)則

本文研究四邊形網(wǎng)格的插值型細分方法，面的分裂方式是1分為4，分裂方式如圖1所示。對于給定的四邊形網(wǎng)格，細分過程中，每個面和每條邊分別插入1個新點，稱之為新面點和新邊點，每條邊的新邊點分別與邊的兩端點連接，每個面的新面點分別與4條邊的新邊點連接，形成新的細分網(wǎng)格。

圖1 面的分裂方式

2 基于Coons曲面的插值細分方法

對于面1-4分裂的帶切向的插值細分方法，每次細分過程中，應(yīng)分別計算每條邊的新邊點及其切向和每個面的新面點及其切向。

圖2 新邊點的計算示圖

2.1 新邊點及其切向的計算

為了敘述方便，分別稱新邊點的兩方向切向為沿邊切向和跨界切向，沿邊切向是新邊點對應(yīng)于新邊點和舊邊的端點所連邊的切向，跨界切向是新邊點對應(yīng)于新邊點和新面點所連邊的切向。新面點的計算如圖2所示，令舊邊e的2個端點分別為P0和P1，向量T0和T1分別為點P0和P1的沿邊e的切向，l為邊e的長度，輔助點Q0和Q1分別為：

P0，Q0，Q1和P1依次相連形成特征多邊形，由此構(gòu)造1條三次Bézier曲線[5]：

令包含內(nèi)部邊e的2個面的新面點分別為F1和F2。對于任何一個滿足一定連續(xù)性的細分方法，只要細分次數(shù)足夠多，新邊點和臨近兩新面點定是近乎共線，因此，新邊點Pe的跨界切向為：

2.2 新面點及其切向的計算

新面點的計算如圖3所示，面f的4條邊對應(yīng)的三次Bézier曲線分別為Z(u,0)，Z(u,1)，Z(0,v)，Z(1,v)，以它們作為邊界曲線，構(gòu)造1個插值這些曲線的Coons曲面X(u,v)。根據(jù)式(1)—式(3)，取Coons曲面內(nèi)部一點，

和該點處的兩方向切向，

作為面f的新面點與其兩方向切向。

圖3 新面點的計算示圖

2.3 邊界新邊點跨界切向的計算

圖4 邊界新邊點的計算示圖

3 收斂性及光滑性分析

本文提出的基于Coons曲面的插值細分方法在任意一點處G1連續(xù)。細分過程中，任意一條舊邊新插入的點皆通過構(gòu)造相應(yīng)的三次Bézier曲線采樣得到，因此，只需證明任意兩相鄰點通過本文方法不斷構(gòu)造三次Bézier曲線插入新點得到的細分曲線收斂且G1連續(xù)，即可證明極限曲面的收斂性及光滑性。

3.1 收斂性證明

圖5 收斂性證明

3.2 光滑性證明

圖6 光滑性證明

4 實例效果及分析

采用本文提出的基于Coons曲面的插值細分方法進行實驗時，需給定初始網(wǎng)格點的切矢。初始網(wǎng)格的規(guī)則點需輸入2個方向的初始切向，不規(guī)則點需設(shè)定更多方向的初始切向，手動給定所有點的初始切向過于不便，為此本文提出一種生成初始切向的方法。

(2)不規(guī)則點的處理。先確定不規(guī)則點的切平面。切平面的法向量包含此點所有四邊形網(wǎng)格的單位法向量的均值；若四邊形網(wǎng)格4個頂點不共面，則取四邊形網(wǎng)格上該點及與其相鄰兩點所在平面的法向量，然后不規(guī)則點的各沿邊切向取為各邊在切平面上的單位投影向量。

本文細分方法在點插值的基礎(chǔ)上也能保證切向插值，所以能夠保證形狀可調(diào)控及造型更自由的特點。用本文方法設(shè)計插值曲面時，可在待插值點處先選定好所期望的切平面，初始網(wǎng)格在該點處的切向若皆選自于所期望的切平面，則極限曲面在該插值點處的切平面即為所選定的切平面。

采用本文方法生成網(wǎng)格點初始切向的細分實例如圖7所示，圖7中部分細分實例所對應(yīng)的斑馬紋理圖和高斯曲率圖如圖8所示。

圖7 初始網(wǎng)格及其極限曲面

圖8 斑馬紋理圖和高斯曲率圖

Kobbelt細分方法[7]作為經(jīng)典的點插值細分方法，常應(yīng)用于細分曲面。分別采用本文提出的基于Coons曲面的插值細分方法和Kobbelt細分方法進行實驗，實例效果如圖9所示。

圖9 不同細分方法的極限曲面

從圖9可以看出，在不改變初始網(wǎng)格點的位置前提下，Kobbelt細分方法極限曲面的形狀是固定的，而本文細分方法通過調(diào)整初始點的切向，達到調(diào)整極限曲面形狀的效果。這是因為本文細分方法的初始網(wǎng)格每個點皆可選取滿足需要的切向，額外自由度可調(diào)整插值曲面的形狀，使得造型更加靈活自由。

5 結(jié)束語

經(jīng)典插值型細分方法在不改變初始網(wǎng)格點位置的前提下，不便調(diào)整曲面的局部形狀，為此，本文提出一種帶切向的插值細分方法，簡單易實現(xiàn)，造型靈活自由，得到效果不錯的插值曲面。但是，在初始網(wǎng)格點切向選取較為極端或初始網(wǎng)格過于復(fù)雜的情況下，極限曲面可能出現(xiàn)自相交的情況，光滑性有待進一步提高，如何改進細分規(guī)則以改善這些問題是下一步研究的重點。