程志強(qiáng)，趙國(guó)強(qiáng)

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在同調(diào)代數(shù)中，內(nèi)射模是非常重要的一類模。內(nèi)射模的推廣研究中，Bo[1]首次提出FP-內(nèi)射模的概念，或稱為絕對(duì)純模[2]，用于刻畫(huà)凝聚環(huán)。隨后，F(xiàn)P-內(nèi)射模受到廣泛研究，Jain[3]給出了FP-內(nèi)射環(huán)的概念，并得到一些等價(jià)刻畫(huà)；Ding等[4]給出了FP-內(nèi)射模的同調(diào)性質(zhì)以及與凝聚環(huán)的關(guān)系。2016年，Bravo等[5]提出FPn-內(nèi)射模的概念，全體記為FPnI，其中FP1I恰為FP-內(nèi)射模。另一方面，2012年，Gao等[6]借助FP-內(nèi)射模序列，提出了GorensteinFP-內(nèi)射模的概念，它是相對(duì)同調(diào)代數(shù)中非常重要的一類模。受文獻(xiàn)[6]的啟發(fā)，本文引入GorensteinFPn-內(nèi)射模的概念，主要研究GorensteinFPn-內(nèi)射模在n-凝聚環(huán)和GorensteinFPn-內(nèi)射模封閉環(huán)上的一些重要性質(zhì)，并給出GorensteinFPn-內(nèi)射維數(shù)的概念，得到一些類似于經(jīng)典內(nèi)射維數(shù)的結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

若Χ是一類R-模，且I?Χ，且對(duì)于任何R-模正合列0→A→B→C→0，其中A∈Χ，都有B∈Χ?C∈Χ，則稱R-模類Χ是內(nèi)射余可解的[8]。根據(jù)文獻(xiàn)[5]定理5知，當(dāng)R是n-凝聚環(huán)時(shí)，F(xiàn)PnI是內(nèi)射余可解類。

定義1R-模M的FPn-內(nèi)射維數(shù)FPn-id(M)定義為FPn-id(M)=inf{m|存在R-模正合列0→M→E0→E1→…→Em→0，其中每個(gè)Ei∈FPnI}。若不存在如上正合列，則稱FPn-id(M)=∞。

命題1設(shè)R為n-凝聚環(huán)，M為R-模，m為非負(fù)整數(shù)，則下列條件等價(jià)：

(1)FPn-idR(M)≤m；

(4)對(duì)任意正合列0→M→E0→E1→…→Xm→0，若每個(gè)Ei∈FPnI，則Xm也是FPn-內(nèi)射模。

(4)?(1)。取R-模M的內(nèi)射分解0→M→I0→I1→…→Im-1→L→0，其中每個(gè)Ii∈I?FPnI，則L∈FPnI，所以FPn-idR(M)≤m。證畢。

2 Gorenstein FPn-內(nèi)射模

定義2如果存在完備的FPn-內(nèi)射模正合列E=…→E-1→E0→E1→…，使得M=Ker(E0→E1)，則稱R-模M為GorensteinFPn-內(nèi)射，全體記為GFPnI。其中序列E完備是指對(duì)于任意的Q∈FPn且pd(Q)<∞，都有Hom(Q,E)仍正合。

關(guān)于定義2，做如下說(shuō)明：

(1)GorensteinFP1-內(nèi)射模和文獻(xiàn)[5]中定義的GorensteinFP-內(nèi)射模一致，且GFP1I?GFP2I?…?GFPnI?…。

(2)此處定義和文獻(xiàn)[9]中的定義不同。

(3)容易得到E中所有的核、像、余核都是GorensteinFPn-內(nèi)射模，且FPn-內(nèi)射模一定是GorensteinFPn-內(nèi)射模，反之未必。

命題2GorensteinFPn-內(nèi)射模類關(guān)于直積封閉。

當(dāng)環(huán)R是n-凝聚環(huán)時(shí)，GFPnI具有更好的性質(zhì)。

定理1設(shè)R是n-凝聚環(huán)，M是R-模，則下列條件等價(jià)：

(1)M是GorensteinFPn-內(nèi)射模；

(2)存在R-模正合列…→E-1→E0→M→0，其中每個(gè)E-i∈FPnI；

(3)存在R-模正合列0→K→F→M→0，其中F∈FPnI，K∈GFPnI；

(4)存在FPn-內(nèi)射R-模的正合列E=…→E-2→E-1→E0→E1→…，使得M=Ker(E0→E1)。

證明(1)?(2)，(1)?(3)和(1)?(4)顯然成立。

(4)?(1)。只需證對(duì)任意的n-有限表現(xiàn)模Q且pd(Q)<∞，都有Hom(Q,E)正合即可。對(duì)m=pd(Q)<∞進(jìn)行歸納，當(dāng)m=0時(shí)顯然成立，假設(shè)m-1時(shí)也成立，考慮正合列0→H→P0→Q→0，其中P0∈P且H∈FPn，那么pdR(H)=m-1，于是得到下列R-模正合復(fù)形

0→Hom(Q,E)→Hom(P0,E)→Hom(H,E)→0

容易知道，復(fù)形Hom(P0,E)和Hom(H,E)都正合，從而復(fù)形Hom(Q,E)也正合，所以M∈GFPnI。

(2)?(1)?？疾霱的內(nèi)射分解0→M→I0→I1→…，于是存在FPn-內(nèi)射R-模正合列…→E-1→E0→I0→I1→…，使得M=Im(E0→I0)，由(4)?(1)知，M∈GFPnI。

(3)?(2)。考察正合列0→K→F→M→0，其中F∈FPnI，K∈GFPnI，從而存在正合列…→E-1→E0→K→0，其中每個(gè)E-i∈FPnI，于是存在正合列…→E-1→E0→F→M→0，其中F∈FPnI，每個(gè)E-i∈FPnI。定理1證畢。

FPn-內(nèi)射模一定是GorensteinFPn-內(nèi)射模，反之未必。于是得到下述命題。

命題3設(shè)R為n-凝聚環(huán)，則每個(gè)GorensteinFPn-內(nèi)射R-模是FPn-內(nèi)射R-模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意非負(fù)整數(shù)m，使得每個(gè)GorensteinFPn-內(nèi)射R-模的FPn-內(nèi)射維數(shù)≤m。

證明必要性顯然成立。這里進(jìn)行充分性證明。設(shè)M為GorensteinFPn-內(nèi)射模，由定義2可知，存在R-模正合列0→L→E1-m→E2-m→…→E0→M→0，其中每個(gè)E-i∈FPnI，L∈GFPnI，由于FPn-id(L)≤m，并由命題1可知，M∈FPnI。證畢。

定理2設(shè)R為n-凝聚環(huán)，0→A→B→C→0為R-模正合列，則下列結(jié)論成立：

(1)如果A∈GFPnI且B∈FPnI，那么C∈GFPnI；

(2)如果A∈FPnI且C∈GFPnI，那么B∈GFPnI。

圖1 E0→C與B→C的拉回圖

證明由定理1的(3)?(1)可以得到結(jié)論1。

由于C∈GFPnI，則存在正合列0→K→E0→C→0，其中E0∈FPnI，K∈GFPnI。構(gòu)造的拉回圖如圖1所示。

由于A∈FPnI和E0∈FPnI，從而有L∈FPnI。由圖1的正合列0→K→L→B→0和結(jié)論1可得B∈GFPnI。證畢。

由定理2的結(jié)論2可知，GorensteinFPn-內(nèi)射模在擴(kuò)張下未必封閉，從而引入如下概念。

定義3如果GorensteinFPn-內(nèi)射模類在擴(kuò)張下封閉，則稱環(huán)R是GFPnI-封閉環(huán)。

圖2 A→B與E→B的拉回圖

定理3n-凝聚環(huán)R是GFPnI-封閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GFPnI是內(nèi)射余可解類。

證明充分性顯然成立。下面證明必要性，設(shè)0→A→B→C→0為R-模正合列，其中A∈GFPnI和B∈GFPnI，所以只需證C∈GFPnI。由于B∈GFPnI，從而存在R-模正合列0→G→E→B→0，其中E∈FPnI，G∈GFPnI。構(gòu)造的拉回圖如圖2所示。

由于A∈GFPnI和G∈GFPnI，且由已知條件環(huán)R是GFPnI-封閉環(huán)，于是有D∈GFPnI，從而得到R-模正合列0→D→E→C→0，其中E∈FPnI，D∈GFPnI。由定理2知C∈GFPnI。定理3證畢。

推論1如果n-凝聚環(huán)R是GFPnI-封閉，則GFPnI關(guān)于直和項(xiàng)封閉。

證明根據(jù)定理3和文獻(xiàn)[8]命題1.4可證。證畢。

3 Gorenstein FPn-內(nèi)射維數(shù)

定義4R-模M的GorensteinFPn-內(nèi)射維數(shù)GFPn-id(M)定義為inf{m|R-模正合列0→M→G0→G1→…→Gm→0，其中每個(gè)Gi∈GFPnI}；若不存在如上正合列，則稱GFPn-id(M)=∞。

引理1設(shè)R是GFPnI-封閉環(huán)，如果存在R-模正合列0→A→G1→G0→M→0，其中G0,G1∈GFPnI，則存在R-模正合列0→A→G2→E→M→0，其中E∈FPnI，G2∈GFPnI。

證明由于G0是GorensteinFPn-內(nèi)射模，則存在R-模正合列0→K→E→G0→0，其中E∈FPnI，K∈GFPnI。令L=Ker(G0→M)，從而存在R-模正合列0→L→G0→M→0和0→A→G1→L→0。構(gòu)造的拉回圖如圖3所示。

圖3 L→G0與E→G0的拉回圖

從而存在正合列α：0→B→E→M→0，再次構(gòu)造拉回圖，如圖4所示。

圖4 G1→L與B→L的拉回圖

由于G1,K∈GFPnI，從而有G2∈GFPnI，故存在正合列β：0→A→G2→B→0，根據(jù)正合列α和β可知，存在R-模正合列0→A→G2→E→M→0，其中E∈FPnI和G2∈GFPnI。引理1證畢。

定理4設(shè)R是GFPnI-封閉環(huán)和n-凝聚環(huán)，M是R-模，則GFPn-id(M)≤m當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意整數(shù)k(1≤k≤m)，存在R-模正合列0→M→G0→G1→…→Gk-1→Ek→Ek+1→…→Em-1→Em→0，使得當(dāng)0≤i

圖與的拉回圖

假設(shè)GFPn-idR(M)≤m-1時(shí)，結(jié)論成立。當(dāng)GFPn-idR(M)≤m時(shí)，則存在R-模正合列0→M→G0→G1→…→Gm→0，其中每個(gè)Gi∈GFPnI。令L=Coker(M→G0)，從而有GFPn-idR(L)≤m-1，由歸納假設(shè)可知，對(duì)任意整數(shù)k(2≤k≤m)有正合列0→L→G1→…→Gk-1→Ek→Ek+1→…→Em-1→Em→0，使得1≤i

α∶0→B→E2→E3→…→Em→0和β∶0→M→G0→G1→B→0

考察正合列β，其中G0∈GFPnI，G1∈GFPnI，根據(jù)引理1知，存在正合列γ∶0→M→G0→E1→B→0，其中G0∈GFPnI，E1∈FPnI。粘接正合列γ和α得到正合列0→M→G0→E1→E2→…→Em→0，其中G0∈GFPnI,E1∈FPnI。定理4證畢。

由定理4可以得到求模的GFPn-內(nèi)射維數(shù)的一些方法。

推論2設(shè)R是GFPnI-封閉環(huán)和n-凝聚環(huán)，M是R-模，則有GFPn-idR(M)=inf{m|存在R-模正合列0→M→A0→A1→…→Xm→0,其中每個(gè)Ai∈GFPnI,Xm∈FPnI}=inf{m|存在R-模正合列0→M→Y0→B1→…→Bm→0,其中每個(gè)Bi∈FPnI,Y0∈GFPnI}。

4 結(jié)束語(yǔ)

在文獻(xiàn)[6]提出的GorensteinFP-內(nèi)射模概念基礎(chǔ)上，本文進(jìn)行進(jìn)一步推廣，在n-凝聚環(huán)和GFPnI-封閉環(huán)上得到GorensteinFPn-內(nèi)射模是內(nèi)射余可解類并且關(guān)于直和項(xiàng)封閉，并給出GorensteinFPn-內(nèi)射維數(shù)的刻畫(huà)。后續(xù)計(jì)劃研究GorensteinFPn-內(nèi)射模相對(duì)應(yīng)的GorensteinFPn-平坦模及其之間的關(guān)聯(lián)。