童瑤 陳秀濤

基于廣義混合元的加筋圓柱殼振動(dòng)特性分析

童瑤1，*陳秀濤1，2

（1.上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院，上海 201206； 2.中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

采用有限元位移法分析加筋圓柱殼的自由振動(dòng)特性問(wèn)題是主流的方法，但大量試驗(yàn)和數(shù)值實(shí)例表明：位移元模型會(huì)導(dǎo)致模擬剛度偏硬，從而使得結(jié)構(gòu)固有頻率結(jié)果不夠精確。針對(duì)這一現(xiàn)象提出了柱坐標(biāo)系下的廣義混合變分原理，并建立了相應(yīng)的非協(xié)調(diào)廣義混合元的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程。通過(guò)合理地調(diào)節(jié)參數(shù)，使得非協(xié)調(diào)廣義混合元的剛度矩陣比非協(xié)調(diào)位移元的剛度矩陣柔和。實(shí)例分析表明，在有限元網(wǎng)格模型一致的情況下，結(jié)構(gòu)的固有頻率結(jié)果更加準(zhǔn)確。

非協(xié)調(diào)位移元， 非協(xié)調(diào)廣義混合元， 加筋圓柱殼， 固有頻率， 固有振型

0 引 言

加筋平板結(jié)構(gòu)或加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)可在減輕結(jié)構(gòu)重量的同時(shí)，提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。因此，這類結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于電機(jī)、飛機(jī)機(jī)身、潛艇艙體以及管道等領(lǐng)域中。

文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］對(duì)加筋板殼類結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的早期文獻(xiàn)進(jìn)行了歸納和總結(jié)，結(jié)論表明，由于加筋板殼結(jié)構(gòu)幾何形狀的復(fù)雜性，數(shù)值分析方法是研究這類結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的主要方法，其中，位移有限元法最為流行。就加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析研究比較有代表性的文獻(xiàn)有：Al-Najafi等［3］采用軸對(duì)稱單元方法研究了加筋圓柱薄殼的固有頻率和振型（在某些情況下，該方法的結(jié)果比經(jīng)典的Rayleigh-Ritz方法更可靠）；Mustafa等［4］提出利用八節(jié)點(diǎn)正交加筋超殼有限元，對(duì)加筋圓柱殼和正交加筋圓柱曲板的自由振動(dòng)進(jìn)行分析；Jiang等［5］基于超級(jí)位移有限元法的理論，提出了一種用于分析正交加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)問(wèn)題的有限元數(shù)值方法。

相對(duì)于協(xié)調(diào)的位移元，非協(xié)調(diào)位移元增加了單元內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移，這使得非協(xié)調(diào)位移元模型增加了位移變量近似多項(xiàng)式的完備性。因此，采用非協(xié)調(diào)位移元模型可以得到精度更高的數(shù)值結(jié)果。然而，即使采用收斂性最好的非協(xié)調(diào)位移元模型，其模型剛度依然偏硬。因此，在有限元網(wǎng)格比較稀疏的情況下，位移元模型的固有頻率結(jié)果總是大于真實(shí)解的。

通常情況下，就板殼結(jié)構(gòu)問(wèn)題而言，基于彈性力學(xué)的Hamilton正則方程半解析元模型的數(shù)值結(jié)果相對(duì)比較準(zhǔn)確［6-8］。但由于該方法在形成整體結(jié)構(gòu)的控制方程前，需先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行子層劃分，然后是對(duì)每一薄層的數(shù)值矩陣進(jìn)行指數(shù)矩陣運(yùn)算，同時(shí)又要對(duì)各薄層的控制方程進(jìn)行乘積運(yùn)算，時(shí)間消耗大。所以，就龐大的工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題而言，彈性力學(xué)的Hamilton正則方程半解析法的時(shí)間成本高。采用Hamilton正則方程半解析元模型建立加筋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程的步驟也比較繁瑣［6-8］。

彈性力學(xué)中的混合有限元法［9-11］有很多優(yōu)點(diǎn)。例如，位移變量和應(yīng)力變量通常只需要0連續(xù)的多項(xiàng)式表達(dá)。另外，因?yàn)榛旌献兎衷碇械奈灰坪蛻?yīng)力兩類變量采用了相同的插值多項(xiàng)式，使得位移和應(yīng)力數(shù)值結(jié)果的精度相近。最近，文獻(xiàn)［12］結(jié)合最小勢(shì)能原理和H-R變分原理建立了分析靜力學(xué)問(wèn)題的非協(xié)調(diào)廣義混合元。文獻(xiàn)［13］在文獻(xiàn)［12］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展了非協(xié)調(diào)廣義混合元的應(yīng)用。

基于文獻(xiàn)［12］和文獻(xiàn)［13］的思想方法，并依據(jù)軸對(duì)稱非協(xié)調(diào)六面體單元的理論［14］，建立了非協(xié)調(diào)廣義混合元的動(dòng)力學(xué)模型，用于加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析。

1 非協(xié)調(diào)位移元的自由振動(dòng)特征方程

圖1　圓柱殼及直角坐標(biāo)系

非協(xié)調(diào)位移單元的自由振動(dòng)特征方程可通過(guò)最小勢(shì)能原理和Hamilton變分原理得到。

根據(jù)最小勢(shì)能原理，結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為

結(jié)構(gòu)處于自由振動(dòng)狀態(tài)下的動(dòng)能為

考慮動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的Hamilton變分原理：

將式（5）代入式（4），可得到非協(xié)調(diào)位移單元的自由振動(dòng)特征方程：

式中，

對(duì)式（6）進(jìn)行求和，可得到非協(xié)調(diào)位移元下的整體有限元模型的自由振動(dòng)特征方程：

2 非協(xié)調(diào)廣義混合元的自由振動(dòng)特征方程

根據(jù)廣義混合變分原理［9-13］，可設(shè)結(jié)構(gòu)的混合能為

根據(jù)非協(xié)調(diào)元理論［14］和文獻(xiàn)［12-13］中的推導(dǎo)過(guò)程，由式（9）可得到軸對(duì)稱六面體非協(xié)調(diào)廣義混合單元的自由振動(dòng)方程為

由式（10）可導(dǎo)出

將式（11）代入式（12）中有

對(duì)式（13）求和，可得到非協(xié)調(diào)廣義混合元的整體有限元模型的振動(dòng)特征方程：

式（14）表明：非協(xié)調(diào)廣義混合元的自由振動(dòng)特征方程中只含有位移變量。因此，式（14）只需考慮位移邊界條件的引入。

3 實(shí)例分析

3.1　圓柱殼的振動(dòng)特性分析

以下通過(guò)改變網(wǎng)格密度來(lái)討論=6，8，10，12，=1振型時(shí)，非協(xié)調(diào)廣義混合元數(shù)值結(jié)果的收斂性。

周向與徑向網(wǎng)格數(shù)量保持不變，分別為50個(gè)和1個(gè)單元，軸向網(wǎng)格數(shù)量從10個(gè)遞增至40個(gè)單元（每次增加為5個(gè)單元），頻率變化曲線參見(jiàn)圖2。

圖2　圓柱殼頻率收斂圖

從圖2中可以明顯看出，隨著網(wǎng)格密度的增加，非協(xié)調(diào)位移元和非協(xié)調(diào)廣義混合元的結(jié)果均逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)有限元網(wǎng)格模型相同時(shí)，雖然兩種方法的結(jié)果都逼近精確解，但顯然非協(xié)調(diào)廣義混合元的結(jié)果更加精確。

表1給出網(wǎng)格密度為50×40×1時(shí)的固有頻率結(jié)果。

表1　 圓柱殼的固有頻率

圓柱殼結(jié)構(gòu)的兩種有限元方法的固有振型如圖3所示。

圖3　圓柱殼的固有振型圖

3.2　環(huán)向加筋圓柱殼的振動(dòng)特性分析

圖4　環(huán)向加強(qiáng)筋圓柱殼尺寸圖

圖5　加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分圖

表2　 各向同性加筋圓柱殼的固有頻率（S-S）

由表2可以看出，在有限元網(wǎng)格模型相同的情況下，非協(xié)調(diào)廣義混合元的結(jié)果明顯低于非協(xié)調(diào)位移元模型，更接近文獻(xiàn)解。

加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的兩種有限元方法的固有振型如圖6所示。

圖6　加筋圓柱殼的固有振型（S-S）

從圖6不難看出，兩種有限元法的固有振型是一致的。這進(jìn)一步證明了本文方法的正確性。

4 結(jié) 論

本文提出了非協(xié)調(diào)廣義混合元下的自由振動(dòng)特征方程，并應(yīng)用實(shí)例證明了該方法的正確性和數(shù)值結(jié)果的可靠性。

（1） 非協(xié)調(diào)廣義混合元的自由振動(dòng)特征方程的最大特點(diǎn)是，在消去應(yīng)力變量的同時(shí)，可通過(guò)參數(shù)的最優(yōu)得到比較真實(shí)的剛度矩陣和合理振動(dòng)特征方程；

（2） 實(shí)例證明，非協(xié)調(diào)廣義混合元模型的結(jié)果明顯優(yōu)于非協(xié)調(diào)位移元。從理論上講，非協(xié)調(diào)位移元模型的剛度偏硬，因而結(jié)構(gòu)的固有頻率結(jié)果偏高，而非協(xié)調(diào)廣義混合元模型的剛度更加接近真實(shí)情況，所以固有頻率結(jié)果更接近真實(shí)解。

本文的工作為圓柱殼和加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析研究提供了一種可選的可靠方法。

［1］ Mukherjee A，Mukhopadhyay M.A review of dynamic behavior of stiffened plates［J］.The Shock and Vibration Digest，1986，18（6）：3-8.

［2］ Mukhopadhyay M，Mukherjee A.Literature review：recent advances on the dynamic behavior of stiffened plates［J］.The Shock and Vibration Digest，1989，21（4）：6-9.

［3］ Al-Najafi A M J，Warburton G B.Free vibration of ring-stiffened cylindrical shells［J］.Journal of Sound & Vibration，1970，13（1）：9-25.

［4］ Mustafa B A J，Ali R.Prediction of natural frequency of vibration of stiffened cylindrical shells and orthogonally stiffened curved panels［J］.Journal of Sound & Vibration，1987，113（2）：317-327.

［5］ Jiang J，Olson M D.Vibration analysis of orthogonally stiffened cylindrical shells using super finite elements［J］.Journal of Sound & Vibration，1994，173（1）：73-83.

［6］ Qing Guanghui，F(xiàn)eng Zhenyu，Liu Yanhong，et al.A semi-analytical solution for free vibration analysis of stiffened cylindrical shells［J］.Journal of Mechanics of Materials & Structures，2006，1（1）：129-145.

［7］ Qing Guanghui，Qiu Jiajun，Liu Yanhong.Free vibration analysis of stiffened laminated plates［J］.International Journal of Solids and Structures，2006，43（6）：1357-1371.

［8］卿光輝，王喆，劉艷紅.厚度不連續(xù)懸臂梁板的自由振動(dòng)分析［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2006，23（2）：158-162.

Qing Guanghui，Wang Zhe，Liu Yanhong.Vibration characteristic analysis of cantilever beam-plates with discontinuity in thickness［J］.Acta Materiae Compositae Sinica，2006，23（2）：158-162.（in Chinese）

［9］榮廷玉.彈性力學(xué)廣義混合變分原理及有限元廣義混合法［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，1988，9（2）：153-163.

Rong Tingyu.Generalized mixed variational principles in elasticity and the finite element method［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，1988，9（2）：153-163.（in Chinese）

［10］黨發(fā)寧，榮廷玉，孫訓(xùn)方.用有限元廣義混合法分析不可壓縮或幾乎不可壓縮彈性體［J］.力學(xué)季刊，2000，21（3）：299-303.

Dang Faning，Rong Tingyu，Sun Xunfang.Application of generalized mixed finite element method to research on incompressible and nearly incompressible elasticity［J］.Chinese Quarterly of Mechanics，2000，21（3）：299-303.（in Chinese）

［11］ Felippa C A.Parametrized multifield variational principles in elasticity：I.Mixed functionals［J］.Communications in Applied Numerical Methods，1989，5（2）：79-88.

［12］ Qing Guanghui，Tian Jia.Highly accurate symplectic element based on two variational principles［J］.Acta Mechanica Sinica，2018，34（1）：151-161.

［13］劉艷紅，李銳，含參數(shù)辛元與熱彈性復(fù)合材料層合板分析［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2019，36（5）：1306-1312.

Liu Yanhong，Li Rui.Parametered symplectic element and analysis of thermoelastic composite laminates［J］.Acta Materiae Compositae Sinica，2019，36（5）：1306-1312.（in Chinese）

［14］ Theodore H.H.Pian， Wu Changchun.Hybrid and incompatible finite element methods［M］.Chapman & Hall/CRC，2006：67-73.

［15］ Sivadas K R，Ganesan N.Free vibration and material damping analysis of moderately thick circular cylindrical shells［J］.Journal of Sound and Vibration，1994，172（1）：47-61.

［16］陳旭東，葉康生.中厚圓柱殼自由振動(dòng)的動(dòng)力剛度法分析［J］.工程力學(xué)，2016，33（9）：40-48.

Chen Xudong，Ye Kangsheng.Analysis of free vibration of moderately thick circular cylindrical shells using the dynamic stiffness method［J］.Engineering Mechanics，2016，33（9）：40-48.（in Chinese）

Vibration Analysis of Stiffened Cylindrical Shells Based on Generalized Mixed Element Method

TONGYao1，*CHENXiutao1，2

（1.Shanghai Aircraft Design & Research Institute， Shanghai 201206， China；2. College of Aeronautical Engineering， Civil Aviation University of China，Tianjin 300300， China）

Finite element displacement methods are the mainstream methods to analyze the free vibration characteristics of stiffened cylindrical shells， but a large number of experiments and numerical examples show that the displacement element model will lead to the rigidity of the simulation， which makes the natural frequency of the structure inaccurate. In view of this phenomenon， the generalized mixed variational principle in cylindrical coordinate system is proposed，and the corresponding undamped free vibration equation of nonconforming generalized mixed element is established. By adjusting the parameters reasonably， the stiffness matrix of the nonconforming generalized mixed element is softer than that of the nonconforming displacement element.The example analysis shows that the natural frequency of structure is more accurate when the finite element mesh model is consistent.

nonconforming displacement element， nonconforming generalized mixed element， stiffened cylindrical shell， natural frequency， natural mode

2021-03-08

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金（11502286）

聯(lián)系作者：童 瑤，女，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)轱w機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。E-mail： tongyao@comac.cc