無信號(hào)路口人車交通演化博弈分析

王 璐，代亞運(yùn)，陳 旸，林曉娟

(安徽工業(yè)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

1 引 言

城市道路上機(jī)動(dòng)車、行人、非機(jī)動(dòng)車間的干擾與沖突是引發(fā)眾多交通問題的重要原因。無信號(hào)路口是城市道路路口最普遍的類型之一，我國最新交通數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明在目前的各類交通事故中，由機(jī)動(dòng)車造成的交通事故比例達(dá)到90以上，其中28%的交通事故發(fā)生在無信號(hào)路口。

在行人過街行為的研究方面，李春成根據(jù)行人的心理行為特征把過街行人分成穩(wěn)定型、半穩(wěn)定性型、不穩(wěn)定型、反常規(guī)型和自我認(rèn)可型共5種類型，并對不同類型的行人過人行橫道的心理進(jìn)行了對比分析；景超分析了行人過街的靜止空間、運(yùn)動(dòng)空間和心理空間，解釋了影響行人過街時(shí)的從眾行為、溢出行為和截短行為的原因。在行人過街交通流特性方面，李建新研究了混合交通條件下非機(jī)動(dòng)車對交通流的影響，并針對信號(hào)交叉口處的通行能力建立計(jì)算模型；黃文忠根據(jù)無信號(hào)控制人行橫道處行人和機(jī)動(dòng)車到達(dá)規(guī)律研究，得到計(jì)算無控制人行橫道處行人和機(jī)動(dòng)車延誤的數(shù)學(xué)模型，并給出了過街行人到達(dá)規(guī)律及其參數(shù)的計(jì)算方法；楊曉光通過對機(jī)動(dòng)車流量、行人流量、車道數(shù)、非機(jī)動(dòng)車流量數(shù)據(jù)的分析整理，運(yùn)用回歸方法建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

2 人車沖突演化博弈模型

2.1 博弈矩陣

博弈參與的主體為過街行人和機(jī)動(dòng)車駕駛員；博弈主體的策略為通行和讓行；行人與機(jī)動(dòng)車的博弈矩陣見表1。

表1 博弈矩陣

2.2 復(fù)制動(dòng)態(tài)方程

設(shè)行人選擇通行的概率為，機(jī)動(dòng)車選擇通行的概率為。行人選擇通行的期望收益和選擇讓行的期望收益分別為

=-1 000+(1-)

(1)

=(1-)+(1-)(1-)

(2)

行人以的概率選擇通行，以1-的概率選擇讓行的混合策略的期望收益為

=1+(1-)

(3)

機(jī)動(dòng)車選擇通行的期望收益1和選擇讓行的期望收益2分別為

1=-100+(1-)

(4)

2=(1-)+(1-)(1-)

(5)

機(jī)動(dòng)車以的概率選擇通過，以1-的概率選擇讓行的混合策略的期望收益為

=+(1-)

(6)

系統(tǒng)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程為

(，)=(-)=(1-)(-)

(7)

(，)=(-)=(1-)(-)

(8)

由式(1)，(2)，(4)，(5)得

(，)=(1-)[(-1 000--1+)++1-1]

(9)

(，)=(1-)[(-100--1+)++1-1]

(10)

3 演化均衡分析

3.1 均衡點(diǎn)的計(jì)算

式(9)-(10)為非線性微分方程組，求(，)=(，)=0所得解就是復(fù)制動(dòng)態(tài)方程(9)-(10)的均衡點(diǎn)，經(jīng)求解計(jì)算，得到5組解：

(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，

3.2 穩(wěn)定性分析

首先在式(9)-(10)均衡點(diǎn)處作Taylor展開得近似線性方程；然后獲取該線性方程的系數(shù)矩陣(Jacobi矩陣)；最后計(jì)算Jacobi矩陣的行列式det()和跡tr()，判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。經(jīng)計(jì)算推導(dǎo)，得到

(11)

因此，

(12)

(13)

為了進(jìn)行均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，要將可能的均衡點(diǎn)全部代入(12)和(13)式中：分別計(jì)算人車博弈系統(tǒng)的不同均衡點(diǎn)對應(yīng)的雅克比矩陣的det()和tr()，見表2。

表2 均衡點(diǎn)對應(yīng)的Jacobi矩陣的det(J)和tr(J)

表3 均衡點(diǎn)類型判別

3.3 演化路徑分析

賦予(，)不同的初值，可以據(jù)此做出系統(tǒng)的演化路徑圖，見圖1。

圖1 演化路徑圖

系統(tǒng)演化路徑如圖1所示，絕大部分情形穩(wěn)定在點(diǎn)(0，1)，即人讓車；少數(shù)點(diǎn)穩(wěn)定在點(diǎn)(1，0)，即車讓人。

在人讓車的情形下，以初始點(diǎn)(0.9，0.6)為例進(jìn)行演化路徑分析，該線已標(biāo)為1-2-3-4。1號(hào)位置處(，)的取值約為(0.88，0.59)。在1號(hào)位置處，行人選擇通行的概率和機(jī)動(dòng)車駕駛員選擇通行的概率都比較大。此時(shí)，雙方都大概率得到非常大的負(fù)收益(行人大概率得到-1000收益值，機(jī)動(dòng)車駕駛員大概率得到-100收益值)。由于行人得到的負(fù)收益值遠(yuǎn)小于機(jī)動(dòng)車駕駛員的負(fù)收益值，行人需要迅速減小通行的概率，機(jī)動(dòng)車駕駛員也逐漸減小通行的概率，出現(xiàn)演化路徑1-2-3。3號(hào)位置處(，)的取值約為(0.07，0.53)，行人的期望收益為-46.28，機(jī)動(dòng)車駕駛員的期望收益為-11.93，機(jī)動(dòng)車駕駛員與行人的期望收益差為900+(+1-1)(-)。機(jī)動(dòng)車駕駛員將增大通行的概率來擴(kuò)大收益差，而行人將繼續(xù)減小通行的概率來縮小差距，因此演化路徑為3-4，最終穩(wěn)定在點(diǎn)(0，1)，即穩(wěn)定在“人讓車”的情形。

在車讓人的情形下，以初始點(diǎn)(0.9，0.2)為例進(jìn)行演化路徑分析，該線已標(biāo)為5-6-7-8-9。在5號(hào)位置處，行人選擇通行的概率較大，機(jī)動(dòng)車駕駛員選擇通行的概率較小。此時(shí)，行人大概率得到收益值為1/e，機(jī)動(dòng)車駕駛員大概率得到收益值為1-e。雙方為避免都選擇通行而得到更小的收益值，將都會(huì)減小通行的概率，即出現(xiàn)5-6-7-8的演化路徑。8號(hào)位置處(，)的取值約為(0.42，0.03)，當(dāng)約為0.42時(shí)，機(jī)動(dòng)車駕駛員期望收益為-30.00-11.79，機(jī)動(dòng)車駕駛員將繼續(xù)減小通行的概率增加自身收益值，而行人將增大通行的概率來縮小期望收益差，因此演化路徑為8-9，最終穩(wěn)定在點(diǎn)(1，0)，即穩(wěn)定在“車讓人”的情形。

據(jù)上所述，對于所有(，)的初始值，在經(jīng)過一段時(shí)間的演化后，最終都會(huì)收斂到(1，0)或(0，1)。其所表達(dá)的含義為，無論行人和機(jī)動(dòng)車駕駛員剛開始選擇通過的概率為多少，其最終的發(fā)展趨勢都是“人讓車”或者“車讓人”。

4 小 結(jié)

本文首先建立了人車演化博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程，然后計(jì)算了該演化系統(tǒng)的均衡點(diǎn)，分析了均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。最后給出人車博弈系統(tǒng)的演化路徑圖。在行人通過無信號(hào)控制路口時(shí)，當(dāng)行人與機(jī)動(dòng)車駕駛員沒有任何的信息交流，兩人的決策無法達(dá)到一致時(shí)，即行人與機(jī)動(dòng)車駕駛員是根據(jù)自己所得到的信息來進(jìn)行是否通行的決策時(shí)，無論行人和機(jī)動(dòng)車駕駛員剛開始選擇通過的概率為多少，其最終的發(fā)展趨勢都是“人讓車”或者“車讓人”。