帶有退化強(qiáng)制項(xiàng)的非線性橢圓方程解的存在性與不存在性

米清清,嚴(yán)暢,鈕維生

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

1.引言

本文考慮如下帶有退化強(qiáng)制項(xiàng)的非線性橢圓方程

解的存在性機(jī)制.其中Ω是RN(N ≥2)上的有界開(kāi)集,θ ＞0,λ ＞0.進(jìn)一步,假設(shè)a:Ω×RN →RN滿足Carath′eodory條件,即對(duì)于任意的ξ∈RN,a(x,·)在Ω上可測(cè),對(duì)于幾乎處處的x∈Ω,a(x,·)在RN上連續(xù),且存在正常數(shù)α,β,使得對(duì)于任意的ξ,η∈RN,,有

上述方程在等離子體熱輻射和多孔介質(zhì)流等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3].顯然,當(dāng)u充分大時(shí)主部算子-div沒(méi)有強(qiáng)制性,因而上述方程通常被稱為具有退化強(qiáng)制主部算子的橢圓方程.由于缺乏強(qiáng)制性,這類方程解的存在性、正則性等問(wèn)題研究起來(lái)較為困難.近年來(lái),以Boccardo和Alvino為代表的一批學(xué)者對(duì)該類方程進(jìn)行了較為深入和廣泛的研究[4-9].特別地,對(duì)于外力項(xiàng)為可積函數(shù)的情形,文[5-6]在λ=0,0＜θ ≤1,p=2條件下,系統(tǒng)地研究了方程(1.1) 解的存在性和正則性問(wèn)題;隨后,文[7]在λ=0,0＜θ ≤1的假設(shè)下,將文[5-6]中的結(jié)果推廣到了一般的p ＞1的情形.對(duì)于外力項(xiàng)為一般Radon測(cè)度的情形,文[8]在λ=1,θ ＞1,p=q=2的條件下,建立了方程熵解的不存在性結(jié)果.文[9]則研究了具有臨界增長(zhǎng)的梯度型低階項(xiàng)的退化橢圓方程弱解的存在性.

本文研究方程(1.1)解的存在性機(jī)制和正則性.我們主要考慮外力項(xiàng)f的正則性、低階非線性項(xiàng)的增長(zhǎng)次數(shù)q和描述主部算子退化程度的參數(shù)θ對(duì)解的存在性和正則性的影響.值得一提的是,在文[10]中,我們已經(jīng)討論了m ≥時(shí),方程(1.1)分布意義下弱解的存在性.而在本文中,我們主要關(guān)注外力項(xiàng)屬于適當(dāng)可積函數(shù)類時(shí),方程(1.1)有限能量弱解的存在性,以及外力項(xiàng)為較為奇異的Radon測(cè)度且非線性項(xiàng)的增長(zhǎng)次數(shù)q較大時(shí),方程(1.1)熵解的不存在性.本文結(jié)果在一定程度上豐富和改進(jìn)了文[5-6,8,10]中的結(jié)果.

不失一般性,我們?cè)谝院蟮挠懻撝屑僭O(shè)λ=1.本文的主要結(jié)果如下:

注1.1上述定理表明當(dāng)f是凝聚在零r-容量集上的Radon測(cè)度并且非線性增長(zhǎng)次數(shù)q充分大時(shí),無(wú)法利用光滑逼近給出問(wèn)題(1.8)的熵解.實(shí)際上,當(dāng)我們對(duì)逼近方程(1.11)取極限時(shí),凝聚在零容量集上的Radon測(cè)度消失,逼近方程(1.11)的解收斂到方程(1.7)的解,而非(1.8)的解.在上述意義下,我們稱方程(1.8)的熵解不存在.

2.定理1.1的證明

3.定理1.2的證明

引理3.1假設(shè)un是問(wèn)題(2.3)的解,則對(duì)于任意的k ≥0,有

4.定理1.3的證明