江蘇南京市櫻花小學(xué)（210042） 林 超

在“停課不停學(xué)”期間，教學(xué)“圓錐體積公式推導(dǎo)”之前，筆者通過(guò)平臺(tái)對(duì)學(xué)生提交的研學(xué)單進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題與往屆高度一致：第一，具有一定實(shí)驗(yàn)精神的學(xué)生對(duì)于教材中為什么選擇等底等高的圓柱和圓錐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)是存疑的，他們用文字將此疑惑清楚地表述了出來(lái)；第二，在具體的應(yīng)用中，出現(xiàn)了15 例漏乘的錯(cuò)誤，這實(shí)質(zhì)上也是對(duì)“為什么從等底等高的圓柱和圓錐開(kāi)始研究”理解上的缺失。由于學(xué)生居家學(xué)習(xí)，對(duì)于這兩個(gè)生成性的問(wèn)題，筆者無(wú)法做到及時(shí)溝通，但在較充分了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上，筆者對(duì)“圓錐體積公式推導(dǎo)”的教學(xué)有了新的靈感。

【教學(xué)片段1】（線上）來(lái)自于學(xué)生的質(zhì)疑：“圓柱、圓錐等底等高？這么巧??！”

關(guān)于圓錐體積的證明方法，不同版本的教材都較一致地給出了相同的實(shí)驗(yàn)材料“一組等底等高的圓柱和圓錐”，以及相同的實(shí)驗(yàn)方法“在圓錐形容器里裝滿水或沙子，再倒入與它等底等高的圓柱形容器中，從而發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的”。

在做接受誤差”的心理鋪墊下，學(xué)生在家里操作這樣的實(shí)驗(yàn)，確實(shí)簡(jiǎn)單易行。因此，筆者通過(guò)平臺(tái)推送了研學(xué)單：

仔細(xì)研究學(xué)生的研學(xué)單后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)集中在以下兩方面：

第一，按照實(shí)驗(yàn)要求，在圓錐形容器里裝滿水，然后往圓柱形容器里倒3 次，差不多能倒?jié)M，說(shuō)明圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的。因此，圓錐的體積=底面積×高×。第二，在圓柱形容器里盛滿水，然后倒入與它等底等高的圓錐形容器，倒了3 次后，圓柱形杯子里還剩一點(diǎn)，這點(diǎn)水可忽略不計(jì)，說(shuō)明圓柱的體積是和它等底等高的圓錐體積的3 倍。因此，圓錐的體積=底面積×高×。

雖然學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和教材中的知識(shí)一模一樣，但并沒(méi)有讓筆者感受到他們發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)的驚喜和實(shí)驗(yàn)探索時(shí)的熱情，筆者甚至能想象到，屏幕后的他們?cè)趯?shí)驗(yàn)時(shí)漠然的表情。

在當(dāng)晚的輔導(dǎo)課上，大部分學(xué)生表示，他們通過(guò)預(yù)習(xí)早已知道了圓錐體積的計(jì)算公式，對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程也很清楚，并能體會(huì)到誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響。原來(lái)學(xué)生已經(jīng)有了這樣的見(jiàn)識(shí)，那這樣的實(shí)驗(yàn)還有必要操作嗎？

這時(shí)，一個(gè)聲音在班級(jí)群中響起：“老師，為什么課本上提供的材料是等底等高的圓柱、圓錐各一個(gè)？怎么這么巧？”“我覺(jué)得這樣安排是為了容易實(shí)驗(yàn)、好作比較。”“不用做都知道圓錐體積是圓柱體積的時(shí)，它們一定等底等高。”“還有，只有等底等高的圓錐體積是圓柱體積的?！薄斑@好像不對(duì)吧？”……不一會(huì)兒，學(xué)生就在群里議論開(kāi)了。

【教學(xué)片段2】（線下）來(lái)自學(xué)生的問(wèn)題：“這是學(xué)過(guò)的？感覺(jué)有點(diǎn)熟悉又有點(diǎn)陌生！”

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，是以“連點(diǎn)成線”的方式在序列中逐步建構(gòu)的，需要學(xué)生將零散的知識(shí)點(diǎn)按邏輯聯(lián)結(jié)成線，新知自會(huì)從具有關(guān)聯(lián)的知識(shí)上“生長(zhǎng)”出來(lái)，教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生將其納入已有的知識(shí)體系之中。而新知生成的起點(diǎn)，也就是學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。如奧蘇泊爾所說(shuō)：“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的原有知識(shí)進(jìn)行教學(xué)?！憋@然，這需要教師了解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，在邏輯起點(diǎn)與現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)的勾連中尋求突破，在整合中重構(gòu)。

基于以上的思考，筆者改進(jìn)了線上的教學(xué)設(shè)計(jì)，在復(fù)學(xué)后的第二天進(jìn)行了教學(xué)嘗試。

首先，筆者在課堂上出示了如圖2 所示的研學(xué)單，學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論、展示、補(bǔ)充后，得到了如圖3所示的四種情況。

接著，筆者提問(wèn)：“結(jié)合這四組圖形，你認(rèn)為哪組圓錐和圓柱之間的體積關(guān)系是不變的？”

學(xué)生1 答：“等底等高的那組不變。因?yàn)閳A錐的底和高就是原來(lái)圓柱的底和高，無(wú)論怎樣削，底和高已經(jīng)確定了，形狀不會(huì)發(fā)生改變，那么圓錐的體積也就不會(huì)改變，因此它們之間的體積關(guān)系不會(huì)變?！?/p>

學(xué)生2 答：“第四組的底和高同時(shí)發(fā)生變化，形狀變了，體積也變了。它是四組中最難確定的?！?/p>

學(xué)生3 答：“中間兩組有共同點(diǎn)，都是一個(gè)量不變，另一個(gè)量發(fā)生變化，體積也隨之發(fā)生變化，因此它們體積之間的關(guān)系無(wú)法確定?！?/p>

筆者追問(wèn)道：“那我們?cè)谘芯繄A錐體積時(shí)，應(yīng)選擇什么樣的圓柱和圓錐？”此時(shí)，學(xué)生的選擇都聚焦于“等底等高”。有學(xué)生提出：“這個(gè)問(wèn)題和課本上的實(shí)驗(yàn)好像，感覺(jué)既熟悉又陌生。課本上是要我們估計(jì)圓錐的體積是圓柱的幾分之幾，是從圓錐到圓柱，而老師的問(wèn)題是從圓柱到圓錐?！?/p>

【教學(xué)片段3】（線下）來(lái)自于學(xué)生的問(wèn)題：“這和課本上不一樣？水居然不夠用！”

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種基于問(wèn)題解決的物化材料操作，而筆者設(shè)計(jì)的第一個(gè)研學(xué)單（如圖1）的目的是希望學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證“圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的”，因此實(shí)驗(yàn)本身具有較強(qiáng)的探究性。在線上教學(xué)時(shí)，學(xué)生在慣性思維下“波瀾不驚”地學(xué)習(xí)著，更有甚者完全沒(méi)有實(shí)驗(yàn)，全程脫離現(xiàn)實(shí)進(jìn)行了“數(shù)學(xué)思考”。對(duì)此，筆者在線下的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中，提供給每個(gè)小組的材料除了都有一組等底等高的圓柱、圓錐形容器，只給了少許水。學(xué)生在倒水實(shí)驗(yàn)時(shí)，很快就發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題：

組1：“老師，水不夠用！我們組的水只夠裝滿圓錐形容器，課本上可是能倒?jié)M圓柱形容器的！”

組2：“我們組的水只夠倒?jié)M2次圓錐形容器?！?/p>

筆者：“看來(lái)水不太夠，那該怎么辦？”

幾分鐘后，就有學(xué)生興奮地喊道：“這點(diǎn)水也夠做實(shí)驗(yàn)！”

組3：“我們組只有能倒?jié)M一個(gè)圓錐形容器的水。我們就把圓錐形容器里的水倒進(jìn)圓柱形容器，然后用尺子量圓柱形容器中水的高度，忽略誤差，發(fā)現(xiàn)此時(shí)水的高度正好是圓柱高度的。這說(shuō)明圓錐體積是圓柱體積的?！苯M4：“我們組向其他組借了一個(gè)圓錐形容器。我們組的水能倒?jié)M兩個(gè)圓錐形容器，于是我們把兩個(gè)圓錐形容器里的水都倒入了圓柱形容器，此時(shí)圓柱形容器并沒(méi)有滿。我們把圓錐形容器頂點(diǎn)向下，小心地把它壓進(jìn)了圓柱形容器里，發(fā)現(xiàn)圓柱形容器里的水在慢慢地升高，當(dāng)圓錐形容器的頂點(diǎn)觸碰到圓柱形容器的底面時(shí)，水面正好與圓錐形容器底面相平。這也可以證明圓錐體積是圓柱體積的。”

筆者：“你們的想法都非常有創(chuàng)意，現(xiàn)在你們有什么想說(shuō)的？”

……

【教學(xué)反思】

在這次實(shí)踐中，基于邏輯起點(diǎn)的線上課和基于現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)的線下課，對(duì)于筆者而言無(wú)異于“同課異構(gòu)”。要從已成習(xí)慣的邏輯起點(diǎn)調(diào)整到選擇現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，不僅對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)困難重重，對(duì)教師整合學(xué)習(xí)資源的能力更是巨大挑戰(zhàn)。這是對(duì)促進(jìn)學(xué)習(xí)起點(diǎn)融合的有益嘗試。

1.來(lái)自于教學(xué)片段1 的思考：整體把握邏輯起點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，使實(shí)驗(yàn)更具有思維含量

“等底等高的圓柱、圓錐各一個(gè)？怎么這么巧？”原來(lái)學(xué)生并不是沒(méi)有思考，就這一句簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的提問(wèn)，便指出了教材中實(shí)驗(yàn)素材的特征，而這一提問(wèn)源自學(xué)生的邏輯起點(diǎn)。

俞正強(qiáng)老師指出：“學(xué)習(xí)起點(diǎn)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容所必須借助的知識(shí)準(zhǔn)備，為了便于表述，可分為學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)和學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)?！边@里提及的邏輯起點(diǎn)是指學(xué)生按照教材學(xué)習(xí)的進(jìn)度應(yīng)該具有的知識(shí)準(zhǔn)備?，F(xiàn)實(shí)起點(diǎn)是指學(xué)生已具有的多于教材所提供的知識(shí)準(zhǔn)備，即學(xué)生實(shí)際的學(xué)習(xí)水平和潛在經(jīng)驗(yàn)。

邏輯起點(diǎn)是基礎(chǔ)的、顯性的、靜態(tài)的。學(xué)生需要在指導(dǎo)下對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行具體的梳理、串聯(lián)、整合，若是缺乏與教師的有效交流，學(xué)生就無(wú)法將松散的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)成有序的知識(shí)塊，故而會(huì)對(duì)單一的實(shí)驗(yàn)操作心存輕視。在對(duì)研學(xué)單的分析中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念和對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解存在偏差，這是因?yàn)閷W(xué)生在運(yùn)用教材直接呈現(xiàn)的等底等高的圓柱、圓錐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后直接得出“圓錐體積是與它等底等高的圓柱體積的”，未曾經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，從而生成“假命題”。

因此，教師在教學(xué)中需要充分考慮到圓錐、圓柱的底和高的幾種特殊關(guān)系，從素材的選擇上便開(kāi)始重視學(xué)生探究過(guò)程的完整性，在尊重學(xué)生邏輯起點(diǎn)的同時(shí)，也要考慮現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，從而求同求通，突出本質(zhì)，使實(shí)驗(yàn)具有更高的思維含量。

2.來(lái)自于教學(xué)片段2 的思考：依托教材尋找學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)實(shí)驗(yàn)素材選擇的重要性

圓柱、圓錐的等底等高本是一種特殊現(xiàn)象，正因?yàn)榈缀透哌@兩個(gè)量分別相等，所以圓柱和圓錐的體積才存在不變的倍比關(guān)系。學(xué)生從圓柱中發(fā)現(xiàn)了與圓柱等底等高的圓錐的存在，而不是通過(guò)直接呈現(xiàn)的方式，將等底等高的圓柱、圓錐盡收眼底。這個(gè)細(xì)節(jié)的調(diào)整，促使學(xué)生能在眾多的素材中通過(guò)分析，合理選出有利于探究的實(shí)驗(yàn)素材。

因?yàn)閷W(xué)生在居家學(xué)習(xí)期間已經(jīng)學(xué)過(guò)這節(jié)課的內(nèi)容，也就是他們對(duì)教材的設(shè)計(jì)非常清楚，線下教學(xué)時(shí)如果再次重復(fù)，“曾經(jīng)的熟悉”難免會(huì)成為“今天的無(wú)奈”，而隨著教學(xué)的再次進(jìn)行，也很難會(huì)形成基于不同學(xué)生認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的新起點(diǎn)。更為重要的是，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是讓學(xué)生進(jìn)入知識(shí)的生成情境，經(jīng)歷知識(shí)由不確定到確定的漸進(jìn)過(guò)程，如果教學(xué)思路不調(diào)整，實(shí)施的實(shí)驗(yàn)必然是無(wú)效的。那么，對(duì)于熟悉的、具體的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，如何增添“陌生感”？合理選擇或是“再創(chuàng)造”實(shí)驗(yàn)素材，就可形成一個(gè)高于邏輯起點(diǎn)的學(xué)習(xí)平臺(tái)，即現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。

當(dāng)學(xué)生能體會(huì)從圓錐到圓柱和從圓柱到圓錐的不同后，也就能整體把握一個(gè)知識(shí)塊的“前世”與“今生”了。雖是實(shí)驗(yàn)素材的小小調(diào)整，但也體現(xiàn)了知識(shí)與知識(shí)的相連、知識(shí)與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的相連，更為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)探究做好了鋪墊。

3.來(lái)自于教學(xué)片段3 的思考：預(yù)設(shè)問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生選擇現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，從而主動(dòng)實(shí)驗(yàn)

教材中提供的實(shí)驗(yàn)素材都是從學(xué)生的邏輯起點(diǎn)出發(fā)的，設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)步驟具有條理性、科學(xué)性和可操作性，因此，學(xué)生的操作可以在教師的提問(wèn)引領(lǐng)下，或是在自發(fā)生成的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下按預(yù)設(shè)展開(kāi)。但在筆者將實(shí)驗(yàn)素材稍作調(diào)整后，學(xué)生能很快地轉(zhuǎn)換視角思考問(wèn)題，可見(jiàn)他們的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)并不完全指向研究問(wèn)題的結(jié)果，當(dāng)現(xiàn)有素材在目標(biāo)與問(wèn)題之間建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系后，他們就能創(chuàng)造出不同的實(shí)驗(yàn)方法。學(xué)生最終選擇了基于自身認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，而這正蘊(yùn)含了創(chuàng)造性的發(fā)散思維。

綜上，學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)是動(dòng)態(tài)的、開(kāi)放的、本真的，所以當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)水不夠用時(shí)才會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)。因此，選擇從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)出發(fā)，則必須在學(xué)生已具備的邏輯起點(diǎn)上改造教材提供的實(shí)驗(yàn)素材，這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程更具生成性。此時(shí)，學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)可能會(huì)讓他們產(chǎn)生不確定感，但卻能真正將學(xué)生推到前端，因?yàn)樘峁┙o他們的實(shí)驗(yàn)素材具有挑戰(zhàn)性（能帶來(lái)認(rèn)知沖突）、探究問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)操作具有啟發(fā)性（能引發(fā)數(shù)學(xué)思考）和由此得出的實(shí)驗(yàn)結(jié)論具有可接受性（處于“最近發(fā)展區(qū)”），這三者合力作用，就能使學(xué)生在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下自覺(jué)從現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)出發(fā)實(shí)施操作。

每一個(gè)生成的新起點(diǎn)不僅是前一個(gè)起點(diǎn)的“果”，還是下一個(gè)起點(diǎn)的“苗”。教師在整合學(xué)生的“邏輯”與“現(xiàn)實(shí)”的同時(shí)，也需要調(diào)整自己的教學(xué)觀，努力將課堂打造成為促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)力形成的平臺(tái)。