變式訓練在高一函數(shù)教學中的應用

甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣文萃中學 王永兵

變式訓練是高中數(shù)學課堂培養(yǎng)學生自主探究學習的一種有效教學方式，尤其是高一新生在學習新概念、新公式、新定理以及解決數(shù)學問題過程中，進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式訓練，可以幫助學生深刻理解知識的本質，揭示不同知識點之間的內在聯(lián)系，讓學生輕松地建立起知識點之間的框架結構，促進學生認知發(fā)展，坦然面對各種復雜問題，有效解決問題[1].

在單一的例題教學中引入變式教學，可以拓展學生的解題思路，讓學生更深刻地理解知識之間的聯(lián)系，利用已有數(shù)學知識探究新題型解題之法.不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式訓練可以快速提升學生對知識的理解，通過合理恰當?shù)淖兪接柧?，讓學生深刻理解知識的本質，有變化的重復學習可以提升解題效率[2]，加快該類題型模型化的程度.

1 利用變式訓練強化學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)

例1關于x的函數(shù)f(x)，其定義域為(m,n)，則b>0時，函數(shù)f(bx)的定義域為.

分析：函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，抽象函數(shù)f(x)和f(bx)之間因對應關系f建立起橋梁，把x換元為bx，其范圍不變(即x的范圍就是bx的范圍)，解不等式可解得函數(shù)f(bx)的定義域.這里要注意的是函數(shù)的自變量的范圍經(jīng)過括號內變換后范圍不同.

解：因為函數(shù)f(x)的定義域為(m,n)，所以函數(shù)f(bx)有意義時，則有m

變式1a>0時，函數(shù)f(ax)的定義域為(m,n)，則函數(shù)f(x)的定義域為.

解：因為函數(shù)f(ax)的定義域為(m,n),且a>0,所以am

故函數(shù)f(x)有意義時，則有am

所以函數(shù)f(x)的定義域為(am,an).

變式2a>0時，函數(shù)f(ax)的定義域為(m,n)，求函數(shù)f(bx)的定義域.

分析：變式2是例1和變式1的綜合題.

解：因為函數(shù)f(ax)的定義域為(m,n),且a>0,所以am

故函數(shù)f(bx)有意義時，則有am

點評：如果一個函數(shù)是具體的，它的定義域學生不難理解，但對于一個沒有具體解析式的抽象函數(shù)而言，其定義域就難以捉摸，變式訓練可促進學生對抽象函數(shù)及其定義域的理解，從而掌握抽象函數(shù)定義域的求法.在對應關系f下進行變換的式子范圍沒有改變，主要體現(xiàn)換元思想，利用不等式求解不同抽象函數(shù)的定義域.抽象函數(shù)雖然定義域發(fā)生了改變，但是值域還是相同的.函數(shù)的定義域始終是自變量的取值范圍，不管抽象函數(shù)的元怎么變，在同一對應關系下，其制約條件是一致的，即在同一取值范圍內，通過換元求得不同函數(shù)的定義域,也可以結合函數(shù)的圖象，平移伸縮變換說明定義域的變化過程.

2 利用變式訓練深化學生對基礎知識的理解

例2若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且定義域為[a-1,2a]，則a=，b=.

變式已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=2x2-1，則f(-1)=，f(x)=.

分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，存在-x使得f(-x)=-f(x)，所以f(-1)=-f(1)=-1.又函數(shù)在R上有定義，圖象關于原點對稱，所以滿足f(0)=0.

解：由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(-x)=-f(x).

所以f(-1)=-f(1)=-1.

設x<0，則-x>0，滿足

f(-x)=2(-x)2-1.

所以-f(x)=2x2-1，即f(x)=1-2x2.

又因為函數(shù)在原點處有定義，所以f(0)=0.

點評：函數(shù)的奇偶性，考察函數(shù)圖象關于原點和y軸的對稱性.首先必須堅持定義域優(yōu)先原則，定義域關于原點對稱；其次根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x)，若在x=0處有定義，則有f(0)=0.函數(shù)為偶函數(shù)有f(-x)=f(x)，可求得函數(shù)的解析式以及參數(shù)的值.

3 利用變式訓練拓展學生的數(shù)學思維

變式函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，若f(1-a)+f(1-a2)>0，求實數(shù)a的取值范圍.

其次函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(1-a)+f(1-a2)>0 變形為

f(1-a2)>f(a-1).

又因為函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，所以1-a2>a-1，解得-2

綜上，實數(shù)a的取值范圍(0,1).

點評：變式教學可以促進新知識與已有知識之間建立聯(lián)系，理解并掌握函數(shù)的單調性及其幾何意義，讓學生通過自主探究，體會數(shù)學概念的形成過程.偶函數(shù)在其對稱的區(qū)間上有相反的單調性，奇函數(shù)在其對稱的區(qū)間上有相同的單調性;通過變式訓練讓學生學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質，利用單調性比較函數(shù)值的大小、解不等式、求最值等，幫助學生提高應用知識解決問題的能力.

綜上所述，變式教學為學生鞏固基礎知識的同時創(chuàng)設求異思變的空間，啟發(fā)學生透過不同現(xiàn)象看透數(shù)學問題的本質，探索數(shù)學規(guī)律和數(shù)學理論知識的內在聯(lián)系，有利于幫助學生形成科學的概念，并對類型知識學習建立模型提供有力幫助.