周寧 陳芳

［摘? 要］ 通過“橢圓的離心率”教學(xué)指出數(shù)學(xué)教學(xué)不單一是理性教學(xué)，還要將情感教學(xué)融入其中，以便將理性認(rèn)知與感性認(rèn)識有機(jī)融合，讓情感驅(qū)動(dòng)認(rèn)知的發(fā)展，從而有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 離心率；數(shù)學(xué)情感；核心素養(yǎng)

問題的提出

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師重視學(xué)生理性思維的培養(yǎng)，在課堂實(shí)踐中不遺余力培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，但是數(shù)學(xué)中過多的形式化和抽象化讓很多學(xué)生望而生畏，產(chǎn)生畏難情緒. 從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感驅(qū)動(dòng)，當(dāng)學(xué)生意識到冷冰冰的數(shù)字、公式、概念背后所隱藏的生活、數(shù)學(xué)或科學(xué)價(jià)值，體會(huì)到蘊(yùn)含其中的美，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就不會(huì)再抗拒，即使意識到面前是“珠穆朗瑪峰”，也會(huì)有“攀登高峰”的勇氣. 本文以“橢圓的離心率”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述在教學(xué)中如何培育數(shù)學(xué)情感，發(fā)揮情感的力量，使之服務(wù)于課堂，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

課堂實(shí)錄

1. 數(shù)學(xué)情境，感知離心率的背景

師：前面我們學(xué)習(xí)了單個(gè)橢圓的性質(zhì)，那么不同的橢圓之間有什么區(qū)別呢？請大家同桌分為兩組，分別畫出下面兩組橢圓，并思考它們的不同.

師生活動(dòng)：學(xué)生列表描點(diǎn)，結(jié)合性質(zhì)畫出橢圓，教師借助多媒體將圖形投影在屏幕上.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生動(dòng)手畫橢圓，親自感受橢圓形狀不一的特征，感知離心率的背景.

2. 數(shù)學(xué)探究，抽象離心率的特征

問題1：觀察畫出的橢圓，它們在形狀上有什么不同？

生1：有的橢圓形狀圓一些，有的扁一些.

問題2：我們發(fā)現(xiàn)，橢圓的扁平程度不一，那么是由方程中哪些量的變化引起的？

學(xué)生活動(dòng)：有的學(xué)生可能根據(jù)第一組橢圓方程及圖像片面認(rèn)為是由b的變化引起的——b越小橢圓越扁，讓學(xué)生通過思考和辨析，得出結(jié)論：這是由a，b的變化引起的.

問題3：用a，b之間怎樣的一個(gè)式子可以刻畫橢圓的扁平程度呢？

追問4：它們的大小與橢圓的扁平程度是怎樣的關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：小組討論，合作交流，得出結(jié)論：

設(shè)計(jì)意圖：中學(xué)數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀. “直觀，是照亮認(rèn)識途徑的光輝”，這是蘇霍姆林斯基的一句名言. 數(shù)學(xué)中的直觀，往往有助于人們理解抽象的概念. 通過畫圖、辨圖、析圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而關(guān)注橢圓中“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)橢圓的扁平程度與兩個(gè)量a，b同時(shí)有關(guān)，再進(jìn)一步思考如何將這兩個(gè)量形成一個(gè)有機(jī)整體，最終過渡到離心率. 通過教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的創(chuàng)造過程，培養(yǎng)科學(xué)的思維品質(zhì).

3. 數(shù)學(xué)體悟，概括離心率的要義

從定義可以看出，離心率能有效刻畫兩個(gè)焦點(diǎn)離開橢圓中心的程度.因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1.e越接近1，c越接近a，焦點(diǎn)離橢圓中心越遠(yuǎn)，橢圓越扁；e越接近0，c越接近0，焦點(diǎn)離橢圓中心越近，橢圓越圓.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生再次體會(huì)用離心率刻畫橢圓的扁平程度是合乎情理的.

4. 數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析離心率的內(nèi)涵

？搖在天文學(xué)中，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)太陽系的八大行星是按照以太陽為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的，這些軌道偏離太陽的程度不一樣，因此，離心率在天文學(xué)中被稱為“偏心率”. 其中，近日點(diǎn)離太陽最近，偏離距離為a－c；遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽最遠(yuǎn)，偏離距離為a+c. 當(dāng)然，不能用最近距離和最遠(yuǎn)距離表示偏心率，因?yàn)檫@兩個(gè)值不僅和運(yùn)行軌道的圓扁程度有關(guān)，還受軌道大小的影響.

師生活動(dòng)：對橢圓離心率的特征進(jìn)行歸納.

（3）連貫性：與橢圓定義相對應(yīng)；是后面研究圓錐曲線統(tǒng)一定義的背景.

設(shè)計(jì)意圖：通過三角函數(shù)再次直觀認(rèn)識了離心率，使學(xué)生對離心率刻畫橢圓的扁平程度的理解更形象直觀，并結(jié)合數(shù)學(xué)史讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的情感.

5. 數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化定理理解

例1 比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：由性質(zhì)求方程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)圓錐曲線與離心率之間的關(guān)系——“形”與“數(shù)”的關(guān)系． 進(jìn)一步感受離心率對橢圓圖形的影響，凸顯解析幾何的思想方法——用方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，以形推數(shù)，以數(shù)釋形，數(shù)形結(jié)合.

教學(xué)啟示

1. 在問題情境中激發(fā)數(shù)學(xué)情感

數(shù)學(xué)的教學(xué)關(guān)鍵是數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，在教學(xué)中應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)創(chuàng)設(shè)情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、發(fā)現(xiàn)問題，并用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題. 問題情境可以源于生活，也可以由數(shù)學(xué)的發(fā)展而產(chǎn)生，但必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，切合學(xué)生能力的發(fā)展. 正如本節(jié)課，為了讓學(xué)生理解離心率的本質(zhì)內(nèi)涵，從前面學(xué)習(xí)的橢圓的性質(zhì)入手，在作圖中發(fā)現(xiàn)橢圓的形狀似乎具有扁平的區(qū)別，激發(fā)學(xué)生的好奇情感，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)層次遞進(jìn)的“問題串”步步提升其對離心率的認(rèn)識，并且結(jié)合離心率的數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生對離心率的重新認(rèn)識和深入理解，也讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷，感受數(shù)學(xué)家的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情懷，養(yǎng)成鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.

2. 在基本活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)語感

語言學(xué)習(xí)有一種重要的任務(wù)：培養(yǎng)語感. 數(shù)學(xué)作為一種語言，主要有三種呈現(xiàn)方式——文字語言、符號語言、圖形語言. 解決數(shù)學(xué)問題也需要學(xué)生具有“數(shù)學(xué)語感”. “數(shù)學(xué)語感”不同于“數(shù)感”，“數(shù)感”指的是對數(shù)字及其運(yùn)算以及內(nèi)部關(guān)系的感覺，而“數(shù)學(xué)語感”則是學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的感覺，即要有數(shù)學(xué)直觀，能在具體情境中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì). 這種感覺無法用具體的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來衡量，更無法通過機(jī)械的訓(xùn)練而獲得，但數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則可以發(fā)展學(xué)生對數(shù)學(xué)的這種敏感. 例如，本節(jié)課通過作圖活動(dòng)讓學(xué)生在動(dòng)手操作中感悟不同圖形的個(gè)性之中隱藏著共性，在感受圖形“美”的過程中醞釀對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知，積累對數(shù)學(xué)的感覺，并在活動(dòng)、交流中培養(yǎng)數(shù)學(xué)的語言表達(dá)能力，營造良好的課堂氛圍.

3. 在數(shù)學(xué)理性中增強(qiáng)數(shù)學(xué)感性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的過程，是強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性且充滿理性的. 學(xué)生在作圖中對橢圓的扁平程度建立了直觀感知，通過操作確認(rèn)、思辨論證，建立不同的量與橢圓扁平程度的對應(yīng)關(guān)系，建立離心率的模型，實(shí)現(xiàn)“定性”到“定量”的轉(zhuǎn)化. 這個(gè)過程中學(xué)生的理性思維得到了發(fā)展，數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)得到了提升. 同時(shí)，也讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)的“美”：扁平程度居然可以從不同的角度、通過不同的量來刻畫. “橫看成嶺側(cè)成峰”，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠基于數(shù)學(xué)的“美”產(chǎn)生情感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力；在理性認(rèn)知的基礎(chǔ)上增強(qiáng)感性認(rèn)識，從情感驅(qū)動(dòng)入手提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)理性與感性的有機(jī)融合與相互促進(jìn).

基金項(xiàng)目：福建師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心2021年度開放課題“指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)解析幾何主題單元教學(xué)的研究與實(shí)踐”（KCZ2021043）.

作者簡介：周寧（1985—），中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作，曾獲福州市教師技能大賽高中數(shù)學(xué)組一等獎(jiǎng).