［摘? 要］ 解題反思是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，它對提高學(xué)生的解題能力具有重要影響. 但在實際解題訓(xùn)練中，不少學(xué)生只關(guān)注解題結(jié)果，卻鮮少關(guān)注解題過程，導(dǎo)致無法舉一反三、靈活解題，這是缺乏解題反思習(xí)慣的典型表現(xiàn). 文章從數(shù)學(xué)解題反思的積極意義出發(fā)，提出解題反思可以從以下幾點做起：錯題反思，清晰解題思路；變式反思，發(fā)展數(shù)學(xué)思維；程序反思，實現(xiàn)知識遷移.

［關(guān)鍵詞］ 解題反思；教學(xué)；解題能力

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“懂不一定知，即使理解還不等同于建構(gòu)認(rèn)知.”他提倡：學(xué)生要注重對知識的內(nèi)化與反思，尤其是解題后的反思，能起到靈活思維、融會貫通的重要作用［1］. 但我們卻常聽到教師之間出現(xiàn)這樣的對話：“一個問題講了n遍，學(xué)生在互動環(huán)節(jié)說得頭頭是道，解題時卻漏洞百出.”究其主要原因，是因為學(xué)生在解題時，沒有及時進行反思，只是一味地追求當(dāng)時的結(jié)論，沒弄清楚知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，只要試題稍微發(fā)生一點變化，就無法靈活解題.

解題反思的積極意義

1. 查漏補缺

曾子曰：“吾日三省吾身.”可見反思的歷史之悠久，對我們的生活與學(xué)習(xí)都產(chǎn)生了重要影響. 數(shù)學(xué)解題中，不少學(xué)生會因為概念模糊或?qū)忣}不清，而出現(xiàn)各種各樣令人啼笑皆非的錯誤. 而錯誤發(fā)生后，絕大部分學(xué)生是不自知的. 這就需要及時回顧、評價與反思解題過程，將解題結(jié)論代入原題中進行合理性的驗證，達到查漏補缺的效果.

2. 探尋規(guī)律

有些學(xué)生信心滿滿地解完題就此罷休，其實數(shù)學(xué)知識是一個有機的整體，知識之間有著縱橫交錯的關(guān)聯(lián)，縱使題目發(fā)生千變?nèi)f化，但一些內(nèi)在規(guī)律卻亙古不變. 解題結(jié)束后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行以下反思：這種解題思路、運算方法是否最便捷？有沒有受思維定式的影響而照搬亂套不合理的解題方法？讓學(xué)生在不斷地質(zhì)疑中，優(yōu)化思維、探尋規(guī)律，使得解題過程更具科學(xué)性.

3. 知識遷移

任何知識的學(xué)習(xí)都是為了靈活應(yīng)用. 解題后，我們要通過試題所涉及的知識點思考各個知識點之間具有怎樣的系統(tǒng)性，通過以點帶面的方式不斷拓展知識所涉及的面，讓學(xué)生從系統(tǒng)的角度認(rèn)識知識結(jié)構(gòu)，形成知識的正遷移.

4. 融會貫通

任何問題都不是孤立存在的，解題切忌就題論題，而應(yīng)通過解一道題獲得解一百道題的能力. 這就需要我們在解題后及時反思問題之間存在的聯(lián)系，讓反思啟發(fā)思維，使得一些重要的數(shù)學(xué)思想和方法根植在學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)，形成良好的學(xué)科素養(yǎng). 學(xué)生則在反思中體驗創(chuàng)造與生成帶來的樂趣.

解題反思的實際應(yīng)用

1. 錯題反思，清晰解題思路

解題中出現(xiàn)各種錯誤在所難免，對待錯誤的態(tài)度不同，會產(chǎn)生完全不一樣的結(jié)果. 面對錯題，及時采取驗證、反思與糾錯的學(xué)生，使得錯題成為最好的再生教學(xué)資源，讓自己在錯誤中吸取教訓(xùn)，獲得成長；而面對錯題只是將正確答案隨手一抄的學(xué)生，則無法從中有所收獲，后期還可能將錯誤進行到底.

每解完一道題，都有必要回過頭來重新審查一遍，以確認(rèn)自己的審題是否清晰，是否混淆概念，題設(shè)條件中的隱含條件是否考慮周到，邏輯上是否有問題等［2］. 如此，才能確保解題的正確性. 因此，解題后及時反思是對學(xué)生解題的基本要求，也是幫助學(xué)生形成良好解題習(xí)慣的關(guān)鍵.

例1 已知a，b，c，d∈R，a2+b2=1，c2+d2=1，根據(jù)以上條件，求證ac+bd≤1.

為了鼓勵學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯誤，筆者提出了以下三個問題：①這么證明的理由是什么？②解題過程有沒有問題？③此題涉及我們學(xué)過的哪些知識？

帶著以上幾個問題，學(xué)生進行了反思，很快就有學(xué)生提出：僅僅依靠ac+bd≤1，無法確定ac+bd≤1，還需要證明ac+bd≥－1成立. 如果ac+bd=－2，那么ac+bd≤1與ac+bd=－2之間就存在著矛盾. 由此可以確定以上證明過程存在著錯誤.

同時，學(xué)生還提出了正確的解題方法：想要證明ac+bd≤1，就需要證明 －1≤ac+bd≤1，利用作差法即可證明.

在此反思過程中，學(xué)生有了以下收獲：①若證明不等式的問題中含有絕對值符號，首先要想到去絕對值符號的方法；②去掉絕對值符號后，應(yīng)考慮周全，僅憑借一個不等式無法獲得結(jié)論.

由此可見，及時反思是避免解題發(fā)生錯誤的關(guān)鍵. 教學(xué)中，學(xué)生解完題后應(yīng)養(yǎng)成及時驗證的習(xí)慣，并從自身的錯誤中汲取經(jīng)驗，在“吃一塹，長一智”中發(fā)展思維，提升解題能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 變式反思，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

教材中呈現(xiàn)的例題，一般比較經(jīng)典且不難，但在實際應(yīng)試中，壓軸的綜合題卻比教材中所呈現(xiàn)的例題難度系數(shù)大很多. 為了訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在遇到問題時做到隨機應(yīng)變，教師常用變式訓(xùn)練的方式啟發(fā)學(xué)生的思維，加強學(xué)生反思能力的培養(yǎng). 變式訓(xùn)練的方法有一題多解、多題一解或一題多變等.

（1）一題多解：如何引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度研究同一道題，并從中得到不同的啟示，是值得思考的問題. 一題多解完美地詮釋了從不同角度分析問題時會產(chǎn)生不一樣的解題過程. 學(xué)生的思維在不同的解題方法中往不同方向延伸，從而獲得發(fā)散性思維.

（2）多題一解：我們接觸的練習(xí)題，有些題本身沒有任何難度，但解題過程中應(yīng)用到的一些性質(zhì)或結(jié)論卻有異常重要的價值. 因此，教學(xué)中我們不能只滿足于解題本身，而應(yīng)以題為導(dǎo)火索，加強探索所涉及的一些知識、方法和性質(zhì)，通過多解一題幫助學(xué)生理清知識的脈絡(luò)，獲得相應(yīng)的內(nèi)涵.

（3）一題多變：以一道題為題根，通過題設(shè)條件或結(jié)論的變化，形成不同的解題過程與方法. 這是一種創(chuàng)造性的解題訓(xùn)練. 學(xué)生在一題多變的訓(xùn)練中及時反思，能獲得全面思考的能力，這也是促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識并建構(gòu)新知的重要途徑之一.

例2 已知點P為橢圓x2+2y2=98上的一個動點，求定點A（0，5）到動點P的最大距離AP的值.

本題對于學(xué)生而言，幾乎都是手到擒來，毫無解題障礙，結(jié)論為AP=2. 就題論題，本題到此就結(jié)束了. 但我們解題的目的并非為了單純地解決一道題，而是獲得解決更多題的能力. 此時，教師可鼓勵學(xué)生以此題為題根，將題設(shè)條件或結(jié)論進行改編，再次進行思考與研究.

變式1：已知點P為橢圓x2+2y2=98上的一個動點，求定點A（0，5）到動點P的最小距離AP的值.

變式2：已知點P為雙曲線x2－2y2=98上的一個動點，求定點A（0，5）到動點P的最小距離AP的值.

變式3：已知點P為拋物線y2=2x上的一個動點，求定點A（0，5）到動點P的最小距離AP的值.

變式4：已知點P為橢圓x2+2y2=98上的一個動點，求定點A（0，a）（a＞0）到動點P的最大距離AP的值.

一題多變側(cè)重訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的思維隨著問題的變化呈螺旋式上升. 學(xué)生對問題進行多向性探索和反思時，會形成廣闊性、深刻性與發(fā)散性思維. 因此，變式反思對培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有深遠的影響.

3. 程序反思，實現(xiàn)知識遷移

每解完一道題，都應(yīng)該對解題程序進行反思，以確認(rèn)解題方向、思維模式以及所用的數(shù)學(xué)思想方法等是否準(zhǔn)確，這對幫助學(xué)生實現(xiàn)知識遷移具有重要影響［3］.

此題不難，從解題過程來看，這里面運用到了一種重要而又獨特的數(shù)學(xué)思想“估算法”，這種方法的應(yīng)用，使得解題變得容易、便捷. 學(xué)生再次遇到類似問題時，可根據(jù)此題的解題方法實現(xiàn)知識的遷移，達到快速、精準(zhǔn)解題的目的.

總之，解題反思是教學(xué)不可忽視的重要環(huán)節(jié)之一. 作為教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生積極地探索與反思，以激發(fā)學(xué)生的潛能，幫助學(xué)生深化對知識結(jié)構(gòu)的理解，領(lǐng)悟相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想. 不論是教師還是學(xué)生，對于解題反思不能僅僅停留于淺嘗輒止的表面，而應(yīng)不斷地往更高、更深的境地推進，以促進學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的形成與發(fā)展.

參考文獻：

［1］? 蘇霍姆林斯基. 蘇霍姆林斯基的教育箴言［M］. 朱永新，譯. 北京：教育科學(xué)出版社，2017.

［2］? 何云英. 準(zhǔn)目標(biāo)，習(xí)知識，煉方法，善反思——“相似三角形專題復(fù)習(xí)”課堂實錄與思考［J］. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2016（09）：19-21.

［3］? 韓龍淑，黃王珍. 數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生進行解題學(xué)習(xí)的反思［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究. 2006（03）：7-9.

作者簡介：郭玉芳（1993—），碩士研究生，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.