陳鋌

函數(shù)問題的考查形式多種多樣，其命題方式也各不相同．其中，函數(shù)值域問題具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重于考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、圖象、性質(zhì)等．有些函數(shù)的值域問題較為復(fù)雜，其中含有根式、三角函數(shù)式、對數(shù)式，需采用換元法來求解．下面結(jié)合實(shí)例，重點(diǎn)探究一下如何運(yùn)用換元法來求這三類函數(shù)的值域．

一、求含有根式的函數(shù)的值域

若函數(shù)的解析式中含有根式，我們通常無法直接根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)來求得函數(shù)的值域，需利用換元法，將根號下的式子用一個新變量替換，把函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)的定義域求得新變量的取值范圍，再根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)來求函數(shù)的值域．

解答本題，需通過三角換元去掉根號，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題來求解，可見，求含有根式的函數(shù)的值域，關(guān)鍵在于將根號下的式子合理換元，去掉根號，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)最值問題來求解，這樣才能化難為易．

二、求三角函數(shù)的值域

求三角函數(shù)的值域，常需用利用正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性和有界性，而對于含有高次冪、同時含有不同函數(shù)名稱的復(fù)雜三角函數(shù)值域問題，往往需要運(yùn)用換元法來求解．通常需首先利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角的和差公式、輔助角公式、二倍角公式等將函數(shù)式化簡；然后選取合適的部分進(jìn)行換元，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的正弦、余弦、正切函數(shù)的最值問題來求解，

該函數(shù)式中含有二次式，且函數(shù)名稱不一致，需引入變量t，將其替換slnx，通過換元，將函數(shù)式簡化為關(guān)于新元的二次函數(shù)式，以便利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)來解題．運(yùn)用換元法解答三角函數(shù)值域問題，需仔細(xì)觀察三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取合適的部分進(jìn)行換元，通過求新函數(shù)的最值來求得原函數(shù)的值域，

三、求含有對數(shù)式的函數(shù)的值域

含有對數(shù)式的函數(shù)值域問題通常與復(fù)合函數(shù)有關(guān)，較為復(fù)雜，也需運(yùn)用換元法求解．可對數(shù)式或真數(shù)用新變量替換，把問題轉(zhuǎn)化為簡單的基本初等函數(shù)或復(fù)合函數(shù)最值問題來求解，在求含有對數(shù)式的函數(shù)值域問題時，要注意：對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），底數(shù)大于0，且不為1．

該函數(shù)中含有二次式，需令t=lnx，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于￡的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解題．在使用換元法時，要注意確保換元前后定義域的等價性．

該函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，為了便于求解，需將對數(shù)函數(shù)的真數(shù)用新元替換，通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題，這樣便能快速求得問題的答案，求含有對數(shù)的函數(shù)值域問題時，需重點(diǎn)研究新舊函數(shù)的定義域，以確保能根據(jù)正確的定義域求得函數(shù)的值域，

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用換元法求解函數(shù)的值域問題，需根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取合適的部分進(jìn)行換元，然后通過恒等變換化簡函數(shù)式，再將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的初等函數(shù)或簡單的復(fù)合函數(shù)問題，就能利用初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，快速求得問題的答案．