黃文琴

求平面幾何圖形的面積問題比較常見．對于規(guī)則的平面幾何圖形，可以直接利用三角形、矩形、等腰梯形、圓等的面積公式來求解；而對于不規(guī)則的曲邊平面圖形，直接運用平面幾何圖形的面積公式往往很難求得，須利用定積分的幾何意義求解．

定積分的幾何意義是指被積函數(shù)與坐標軸圍成的面積，即曲邊圖形的面積s=

，若被積函數(shù)的圖象位于x軸上方，則函數(shù)的定積分為正；若位于x軸的下方，則函數(shù)的定積分為負，定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系，如下表所示，

利用定積分的幾何意義求平面幾何圖形面積的步驟如下：

（1）根據(jù)題意畫出平面幾何圖形；

（2）根據(jù)幾何圖形確定被積函數(shù)，求出圖象與x軸、y軸的交點坐標，并求出積分的上、下限；

（3）把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；

（4）計算定積分．

例1．（1）求函數(shù)y=√4一X2在[-2，2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積；

（2）求函數(shù)y=smx在區(qū)間[-π，π]上的圖象與x軸圍成的圖形的面積．

當(dāng)被積函數(shù)的圖象關(guān)于坐標軸或坐標原點對稱時，比較容易求得幾何圖形的面積，直接利用定積分的幾何意義和圖形的對稱性即可解題．

例2．求曲線y2= 2x與y=x-4所圍成的圖形的面積，

分析：題中的圖形由兩條曲線圍成，很難快速求得問題的答案，需將圖形分割，把問題轉(zhuǎn)化為求兩部分圖形的面積的和或差，再根據(jù)定積分的幾何意義來解題，

總之，若函數(shù)），y=f（x）的圖象為不規(guī)則曲線，則需根據(jù)圖形的特點進行合理的分割，將求平面圖形面積的問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題，利用定積分的幾何意義來求解．對不同的圖形，需采用不同的分割方法或選取不同的積分變量．