西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 梁 燕 吳明忠 陳清方
萬(wàn)爾遐老師曾經(jīng)說過:題根是一道具有生長(zhǎng)性的題. 題根將學(xué)生救出“題海深淵”,提高解題效率,減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)[1]. 數(shù)列作為高考中必考的知識(shí)點(diǎn). 涉及的相關(guān)題型變化多端,計(jì)算紛繁復(fù)雜,但看似雜亂無章的問題背后,事實(shí)上有通法可尋. 古人云:“萬(wàn)變不離其宗.”由于題根是題目的根基,因此研究題根對(duì)解題而言顯得尤為重要.
已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:a2,a8,a5成等差數(shù)列.
思路1:化歸思想、方程思想.
分析:由于涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和,所以首先分類討論公比q是否為1,根據(jù)前n項(xiàng)和的定義,分析出S9和S6中都包含了S3,再根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)(等差中項(xiàng))與等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程,求出公比q,代入需要求證的式子中,從而驗(yàn)證結(jié)論.
證明:①當(dāng)q=1時(shí),由Sn=na1,得
2S9=18a1,S3+S6=3a1+6a1=9a1.
所以2S9≠S3+S6.
故S3,S9,S6不成等差數(shù)列,應(yīng)舍去.
②當(dāng)q≠1時(shí),因?yàn)镾3,S9,S6成等差數(shù)列,有2S9=S3+S6,所以
2(S3+a4+……+a9)=S3+(S3+a4+a5+a6).
故2S3+2(a4+……+a9)=2S3+(a4+a5+a6).
即2(a4+……+a9)=a4+a5+a6.
所以2(a4+a5+a6)+2(a7+a8+a9)=a4+a5+a6,a4+a5+a6+2(a7+a8+a9)=0.
又因?yàn)閍7+a8+a9=q3(a4+a5+a6),所以
(a4+a5+a6)(1+2q3)=0.
又因?yàn)閍4+a5+a6≠0,所以1+2q3=0.
由此可得
所以2a8=a2+a5,即a2,a8,a5成等差數(shù)列.
思路2:整體代換法、分析法、方程思想.
分析:同思路1先分類討論公比q是否為1,再根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)(等差中項(xiàng))列出等式,約分化簡(jiǎn)后運(yùn)用分析法,觀察化簡(jiǎn)后的式子與待證明的式子之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)兩式相差a1q-2倍. 思路2的特點(diǎn)是整個(gè)計(jì)算過程中并不用求出公比q,其巧妙之處在于運(yùn)用分析法發(fā)現(xiàn)待證明等式和化簡(jiǎn)出來的等式之間存在特定的倍數(shù)關(guān)系從而找到此題的突破口.
證明:①當(dāng)q=1時(shí),同思路1.
2(1-q9)=1-q3+1-q6,
2q9=q3+q6.
等式兩邊同時(shí)乘a1q-2,得
2a1q7=a1q+a1q4.
所以2a8=a2+a5,即a2,a8,a5成等差數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):思路1結(jié)合代入驗(yàn)證利用化未知為已知思想,中規(guī)中矩;思路2結(jié)合逆向思維利用設(shè)而不求的整體代換思想,非常巧妙,為后面的變式奠定了基礎(chǔ). 兩種處理方法殊途同歸,都運(yùn)用了性質(zhì)法,分類討論思想、方程思想,培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
原題所考查的知識(shí)點(diǎn)如表1所示,下面從條件和結(jié)論兩方面入手,對(duì)此題進(jìn)行變式探究. 數(shù)列題所包含的基本量有:首項(xiàng)a1、公差d(或公比q)、具體項(xiàng)第n項(xiàng)an、第n項(xiàng)的序號(hào)n、前n項(xiàng)和Sn等[2]. 由于此題涉及到的基本量較少,因此主要研究項(xiàng)的下標(biāo)以及前n項(xiàng)和的下標(biāo)這兩種變式思路.
表1 原題所考查的知識(shí)點(diǎn)
結(jié)論不變,條件改變下標(biāo):
S3,S9,S6→S1,S7,S4/S2,S8,S5/Sn,Sn+6,Sn+3.
變式1已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S1,S7,S4成等差數(shù)列,求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.
思路:引導(dǎo)學(xué)生逆向分析,由于條件改變,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到的等式可變?yōu)?S7=S1+S4,化簡(jiǎn)得到2q7=q+q4,比較它與特征式的異同之處,發(fā)現(xiàn)等式兩邊同時(shí)乘a1,可以得到2a1q7=a1q+a1q4,于是證明出a2,a8,a5成等差數(shù)列.
變式2已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2,S8,S5成等差數(shù)列,求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.
思路:等式2q8=q2+q5兩邊同時(shí)乘a1q-1.
變式3已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意n∈N*,Sn,Sn+6,Sn+3成等差數(shù)列,求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.
思路:等式2qn+6=qn+qn+3兩邊同乘a1q1-n.
條件不變,結(jié)論改變下標(biāo):
a2,a8,a5→a1,a7,a4/a3,a9,a6/am,am+6,am+3.
變式4已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證a1,a7,a4成等差數(shù)列.
思路:由于條件不變,因此由已知條件得到的等式2q9=q3+q6不變,引導(dǎo)學(xué)生利用原題的解決方法(根據(jù)在等式兩邊同時(shí)乘a1q-2便可得證),因此為我們提供了解題思路,等式兩邊同時(shí)乘a1q-3就能證明a1,a7,a4成等差數(shù)列.
變式5已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證a3,a9,a6成等差數(shù)列.
思路:等式2q9+q3+q6兩邊同時(shí)乘a1q-1.
變式6已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意m∈N*,S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證am,am+6,am+3成等差數(shù)列.
思路:等式2q9=q3+q6兩邊同時(shí)乘a1qm-4.
在上述兩種變式思路的基礎(chǔ)上,可以發(fā)現(xiàn)下標(biāo)之間存在特定的聯(lián)系,結(jié)合由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,將條件結(jié)論結(jié)合在一起進(jìn)行變式,拓展到更為一般情況.
變式7已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意n,m∈N*,有Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,求證am+1,am,am+2成等差數(shù)列.
思路:由變式教學(xué)過渡到題根教學(xué)的過程中,教師切忌“填鴨式”教學(xué),而應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,根據(jù)前面的變式循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生自主找出規(guī)律,總結(jié)方法,提煉題根.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和歸納能力.(等式2qn=qn+1+qn+2兩邊同時(shí)乘a1qm-n-1.)
變式8已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意p,r,t,k,m,n∈N*,且p,r,t成等差數(shù)列,若pSk,rSm,tSn成等差數(shù)列,求證pak,ram+1,tan+1成等差數(shù)列.
思路:由于新添加了系數(shù)這一基本量,具有一定的難度.教師可以適當(dāng)給出題根分析,即此題根是在討論已知含有系數(shù)的任意三個(gè)前n項(xiàng)和為等差數(shù)列,去判定任意三項(xiàng)亦為等差數(shù)列的問題.證明方法與前面類似,此處不再作具體的分析.
荀子曰:“千舉萬(wàn)變,其道一也.”意思是萬(wàn)千事物盡管在形式上變化多端,但其本質(zhì)是不變的[3]. 在解決千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題的過程中,要注意觀察分析其變化規(guī)律,在變與不變中抓準(zhǔn)其本質(zhì)的不變性,還原數(shù)學(xué)知識(shí)的本來面目,從而開展變式教學(xué).
變式教學(xué)是一種雙贏的教學(xué)手段, 既能培養(yǎng)學(xué)生在變換的條件下舉一反三,又能挖掘出題目的本質(zhì),有利于學(xué)生了解知識(shí)方法的拓展和遷移,從而掌握這一類題型. 因此教師在變式教學(xué)中,應(yīng)抓住問題本質(zhì),精選題、巧設(shè)計(jì)、有意識(shí)地尋找和設(shè)置題根,開展圍繞題根知識(shí)的變式教學(xué).