“一題多解”散思維 “挖掘本質(zhì)”聚核心

戈 敏

(江蘇省南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué) 210007)

2018年，習(xí)近平總書記在全國教育大會上指出，要努力構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，形成更高水平的人才培養(yǎng)體系；要深化教育體制改革，健全立德樹人的落實(shí)機(jī)制，扭轉(zhuǎn)不科學(xué)的教育評價導(dǎo)向，堅(jiān)決克服唯分?jǐn)?shù)、唯升學(xué)、唯論文、唯帽子的頑瘴痼疾，從根本上解決教育評價指揮棒問題.為全面貫徹落實(shí)全國教育大會精神，2019年教育部明確提出要立足全面發(fā)展育人目標(biāo)，構(gòu)建包括“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”在內(nèi)的高考考查內(nèi)容體系.這給高中數(shù)學(xué)教育和高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式帶來了新機(jī)遇，也提出了新挑戰(zhàn).

1 問題提出

數(shù)學(xué)教育承載著立德樹人、文化育人的根本任務(wù)，“數(shù)學(xué)育人”的核心與關(guān)鍵是發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在力量——發(fā)展學(xué)生的思維.數(shù)學(xué)教學(xué)活動是以數(shù)學(xué)知識為載體，創(chuàng)設(shè)適切的教學(xué)情境或者提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程，其核心是思維的教學(xué).在高三的復(fù)習(xí)課中，很多教師非常重視通過“一題多解”教學(xué)模式來拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的寬度，強(qiáng)化數(shù)學(xué)深度教學(xué)的最終目標(biāo)——教學(xué)生學(xué)會思考.一個題目在師生充分的“集思廣益”下給出多種解法后，學(xué)生會被解題方法的多樣性與靈活性吸引，繼而驚喜與感慨，然后記錄并總結(jié).在后期的教學(xué)活動中，常有這樣的情況發(fā)生：這個題型上次師生一起用了多種方法解決，怎么這次遇到還有這么多學(xué)生一種解法都想不到呢?此時，扎根一線的我們不得不反思，到底是哪里出了問題？

2 課堂教學(xué)片斷展示

圖1

基于本題解題方向眾多，學(xué)生做法多樣，故課堂上筆者給了學(xué)生十余分鐘的時間用于“小組合作”，以便讓學(xué)生充分交流與討論，廣納百家，取長補(bǔ)短，以期望學(xué)生能夠一題多解，一題優(yōu)解，拓寬思考領(lǐng)域和思考深度，提升思維品質(zhì)和知識遷移的能力.學(xué)生積極性很高，爭辯聲一浪高過一浪，最后，成果十分喜人.生一充分利用已知條件，兩個小三角形以及兩個小三角形與大三角形之間的聯(lián)系，用正、余弦定理解決問題；生二利用等面積法，簡化了生一的大部分運(yùn)算，使得求出AD的速度大大加快；生三由D為BC的中點(diǎn)，想到了三角形中關(guān)于中點(diǎn)的一些典型處理方法，從而利用由向量加法的平行四邊形法則解決問題；也有學(xué)生用“解析法”來解決了問題.課堂氣氛非常熱烈，大家都在卯足勁地想著、討論著、爭辯著，提出了五、六種不同的解法.雖然是一道解三角形的問題，用正余弦定理就可以精彩的解決了，但是學(xué)生們的想法卻不拘泥于此.向量可以，坐標(biāo)也可以，或許還有更新穎更好的解法，他們還在滿懷熱情地繼續(xù)探究著.但基于課堂時間有限，筆者不得不中止這種趨勢，開始引領(lǐng)學(xué)生回看各種解法，提取每一種解法的亮點(diǎn)，做好梳理與總結(jié).

下課后，回到辦公室，筆者激動的心情也久久難以平復(fù).這節(jié)課既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)與探究的興趣和熱情，也使得他們的數(shù)學(xué)思維得以鍛煉和拓展，于師生而言都應(yīng)該算是一節(jié)妙趣橫生、收獲頗豐的課.

但是，緊接著周三的?？季徒o了筆者當(dāng)頭一棒.

本題是填空部分的第二題，既可以利用正余弦定理構(gòu)造關(guān)于BC,AB的方程組求解，也可以利用向量或者作中位線求解，還可以利用解析法求解三角形，與周二探討的題目從題型到解法都高度吻合.本次筆者所執(zhí)教的班級共40位學(xué)生參加考試，答對的學(xué)生共計23人，答錯17人，人均得分2.875分(本題5分)，與預(yù)期出入較大.至此，筆者必須直面“一題多解”這種課堂教學(xué)模式帶來好處的同時產(chǎn)生的弊端，也必須思考如何革除這些弊端.

3 教學(xué)反思

3.1 “一題多解”的益處與弊端分析

《論語》有曰：知之者不如好之者，好之者不如樂之者.但現(xiàn)狀卻是：隨著新課改的不斷深入、高中知識結(jié)構(gòu)的不斷增改，普遍高中生對于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)毫無興趣可言，不求甚解，望而卻步，不少學(xué)子身上透露著一絲為了高考不得已而學(xué)之的無奈.這就警醒一線教師，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮主觀能動性的教學(xué)模式是應(yīng)極力探求的.一題多解，能激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲、想象力和競爭意識，能有效的推動學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)問題，探求知識間的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)知識的博大精深，能最大化的提升學(xué)生形象思維、抽象思維、批判性思維等思維品質(zhì)，有助于幫助部分學(xué)生擺脫依賴“教師講解”的心理，也有助于幫助部分教師摒棄“滿堂灌”的教學(xué)陋習(xí)，把課堂還給學(xué)生，把話語權(quán)還給學(xué)生，把主體地位還給學(xué)生，聆聽來自學(xué)生的聲音，關(guān)注學(xué)生的學(xué)，師生一起構(gòu)建充滿活力與靈氣的數(shù)學(xué)課堂.

羅增儒教授曾經(jīng)指出：一個數(shù)學(xué)問題，如果我們只有一個解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會存在認(rèn)識上的局限性.只有在得出兩個或者更多解法之后，才會對問題的實(shí)質(zhì)有真正的了解，通過解題而培養(yǎng)能力的目的才有可能實(shí)現(xiàn).在上述案例中，對于一道解三角形問題，學(xué)生不僅能從正、余弦定理角度思考問題，也能從平面向量、建系解析等角度尋求解題思路，這對于拓展學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生自主架構(gòu)高中數(shù)學(xué)知識體系，理解數(shù)學(xué)知識間的緊密聯(lián)系有很大益處.在高三后期，教師會引導(dǎo)學(xué)生從四大解題思想角度認(rèn)識高中數(shù)學(xué)，甚至從“數(shù)量關(guān)系”與“幾何形式”兩個角度劃分高中題型，這都需要學(xué)生在前期的一輪二輪復(fù)習(xí)中具備一定的體系意識.無疑，一題多解可有效幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，找到多個知識模塊間的聯(lián)系，打破認(rèn)識上的局限性,促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升.

由于一題多解方法多樣，“處處皆是好風(fēng)景”，反而使一些學(xué)生眼花繚亂，被動學(xué)習(xí)，無法主動學(xué)習(xí)、深入學(xué)習(xí)，對多種解法的認(rèn)識不得要領(lǐng)，流于表面.這就直接導(dǎo)致學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)生活中遇到類似問題，只識其形但無從下筆，所謂的懂而不會.復(fù)旦大學(xué)李大潛教授說：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞同時要看能否深入理解、運(yùn)作熟練及表達(dá)清楚三個方面.所以對一題多解的多種解法的深入理解與本質(zhì)剖析勢在必行.

3.2 追本溯源，挖掘問題本質(zhì)

一段收成，根為本，實(shí)為終.至于中間施多少次肥，澆多少次水，目的都是為了促成這段收成.波利亞的解題四步驟：S1弄清問題(已知是什么，待求是什么)；S2分析問題(已知如何轉(zhuǎn)化、如何推理可得到待求，尋找已知和待求之間的內(nèi)在聯(lián)系，選擇、擬定恰當(dāng)?shù)慕忸}計劃)；S3執(zhí)行計劃(規(guī)范地書寫表達(dá)出來)；S4回顧反思(有沒有新解法，解法可否遷移).根據(jù)波利亞解題理論，解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵在于分析問題，看透問題的本質(zhì)，厘清已知和待求之間的聯(lián)系.

在上述案例中，要求一個線段的長，從代數(shù)角度，需要構(gòu)造一個關(guān)于該線段長度的方程，倘若此方程中還含有其它未知量，則需再找對應(yīng)方程，用方程組解出多個未知量，本質(zhì)是“方程思想”的運(yùn)用，解法的多樣性主要源于構(gòu)造方程的途徑不同.再例如，在2019年江蘇高考閱卷工作中，筆者有幸參加了第19題的批閱工作，評分標(biāo)準(zhǔn)厚厚一本，解法多達(dá)7種，但其本質(zhì)都是“函數(shù)思想”，用構(gòu)造函數(shù)求解最值問題繼而證出命題.7種解法的不同主要源于函數(shù)自變量的選取不同或者求解函數(shù)最值的途徑不同.

偉大的革命導(dǎo)師恩格斯曾經(jīng)給數(shù)學(xué)下過這樣一個定義：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué).而數(shù)量關(guān)系則體現(xiàn)在若干量通過某種運(yùn)算建立起來的相等或不等關(guān)系上.高中階段的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等重要章節(jié)都可以追溯到其“數(shù)量關(guān)系”的本質(zhì)上，具有一定的整體性.把握好整體性，對內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，心中有一張“聯(lián)絡(luò)圖”，才能把握準(zhǔn)教學(xué)的大方向，才能使教學(xué)有的放矢.也只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化的、聯(lián)系緊密的、遷移能力強(qiáng)的知識.

筆者很欣賞裴光亞先生在《數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展：在書房與教室間穿行的教研人生》一書中所闡述的觀點(diǎn)：如果我們的課堂教學(xué)能夠關(guān)注學(xué)生，我們就站在了教育的高度，站在這樣的高度我們才能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)教學(xué)的功能，從而準(zhǔn)確地把握教學(xué)內(nèi)容的價值甚至是教學(xué)價值.其實(shí)裴先生是在告訴我們，教學(xué)的最高境界不僅是教書而且是育人.“一題多解”的課堂教學(xué)模式開展，能夠最大化的關(guān)注更多學(xué)生的感受，給予學(xué)生思考的機(jī)會，歸還學(xué)生的話語權(quán)，這樣的課堂教學(xué)是開放的、自由的，是有靈魂的，是符合新時代新要求的.作為教師，關(guān)注學(xué)生的思維過程，抓住學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，鼓勵學(xué)生勇敢的表達(dá)出自己的想法，耐心傾聽不同學(xué)生的不同見解，是基于新課標(biāo)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)上一線教師對自己的基本要求，也是教師對學(xué)生的尊重，對數(shù)學(xué)職業(yè)的忠誠.同時教師要不斷深入學(xué)習(xí)，加快專業(yè)化能力發(fā)展，通過教師自身優(yōu)秀品質(zhì)的積淀，營造高品質(zhì)、高水平的數(shù)學(xué)課堂，讓“一題多解”模式不流于形式，能夠精準(zhǔn)引導(dǎo)學(xué)生把握問題本質(zhì)，探究通性通法，同時也能引導(dǎo)學(xué)生在思維的廣闊性、普遍性、敏捷性、批判性和創(chuàng)造性等方面持續(xù)健康發(fā)展.