數(shù)學跨學科主題學習：要點探析與案例反思

顧廣林 帥建卓

【摘 要】 跨學科主題學習是對社會實踐活動的模擬．開展數(shù)學跨學科主題學習要強化問題意識，從真實情境中聚合或抽象本質(zhì)問題，提煉出驅(qū)動性問題，圍繞問題或?qū)W習任務群，運用跨學科知識和跨學科綜合性思維進行探究實踐，綜合創(chuàng)新解決問題，實現(xiàn)心智自由轉(zhuǎn)換．同時在情境中對學科知識再建構(gòu)，學會思考，注重評價在學習中的運用，科學表達創(chuàng)造成果．

【關(guān)鍵詞】 跨學科主題學習；問題意識；核心素養(yǎng)

跨學科是現(xiàn)代科學發(fā)展的主要趨勢，義務教育課程強化課程的綜合性與實踐性取向，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出綜合與實踐重在解決實際問題，以跨學科主題學習為主［1］．數(shù)學跨學科主題學習主要是整合數(shù)學與其他學科知識來解決現(xiàn)實問題，初中主要采用項目式學習的方式．數(shù)學跨學科主題學習需要抽象或聚合概念，需要學習實踐和高階思維，需要不同學科教師合作設計探索過程，其教與學符合當下課改發(fā)展方向，與核心素養(yǎng)理念高度契合．目前，許多數(shù)學教師雖然認識到了跨學科主題學習的內(nèi)涵與價值，但囿于原有的教學觀念、專業(yè)基礎、實踐經(jīng)驗等因素，實踐中的跨學科主題學習還存在諸如只注重“活動”而缺乏學科思維或只有學科拼盤而缺乏核心概念等問題或現(xiàn)象．解決這些問題或克服實踐中可能的淺表化現(xiàn)象，需要基于跨學科主題學習的實踐進行反思與總結(jié)．本文擬結(jié)合教學的實踐，總結(jié)數(shù)學跨學科主題學習的要點并對相關(guān)教學案例進行反思．

1 數(shù)學跨學科主題學習的幾個要點

數(shù)學跨學科主題學習的前提是開發(fā)合適的主題項目.這些項目不僅要能抽象出具有跨學科的共通概念，提煉出需要統(tǒng)整不同學科才能真正理解或解決的本質(zhì)問題，而且要能通過現(xiàn)實環(huán)境引發(fā)學生自覺的學習實踐和表達成果（產(chǎn)品、作品或報告）．問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學跨學科主題學習要突出問題導向，即要將問題解決貫穿于學習的過程，并據(jù)此探索相應的教學結(jié)構(gòu)．

1.1 問題意識

數(shù)學跨學科主題學習旨在培養(yǎng)學生借助跨學科性的內(nèi)容和開放性的項目發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題.教學的展開要關(guān)注學習過程與結(jié)果的不確定性，把握學生問題意識培養(yǎng)的契機，引導學生基于有待掌握的核心知識提出核心概念，圍繞核心概念提出問題，形成有利于核心概念理解的跨學科本質(zhì)問題．本質(zhì)問題往往是抽象的，需要將本質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為驅(qū)動性問題，提高學生探究實踐的內(nèi)驅(qū)力，激活思維．問題的發(fā)現(xiàn)應該由學生充分討論和探索，發(fā)掘其中蘊含的可能，提高學生的問題意識和發(fā)現(xiàn)問題的能力，這種素養(yǎng)是創(chuàng)新的基礎．驅(qū)動性問題是學習的邏輯起點和重點，其連接著學習目標和活動過程.驅(qū)動性問題具有挑戰(zhàn)性，能夠激發(fā)高階思維，并不斷產(chǎn)生新的問題且持續(xù)探究，這是數(shù)學跨學科主題學習的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．

1.2 探究過程

有了驅(qū)動性問題，需要從不同的學科視角和具體的現(xiàn)實經(jīng)驗來進行知識的再建構(gòu)，以便解決問題．如何再建構(gòu)？如何統(tǒng)整知識解決問題？需要在真實的學科環(huán)境中激發(fā)學生的探究行動，用真實的思維和實踐合作解決問題．真探究要求學生像學科專家一樣進行專業(yè)思考和探索，要充分經(jīng)歷合作式學習、討論、表達和思維的碰撞，產(chǎn)生新穎觀念.這種融合不同學科的探究凸顯高階認知和動手實踐的有機統(tǒng)一，是具身認知理論的實踐體現(xiàn).學生通過在真實學習環(huán)境中的經(jīng)歷和體驗，會感受到學習的意義，感受到生活與知識的關(guān)聯(lián)，從而激活心理感覺，有效促進知識遷移應用．探究過程要有方向性和目的性，可以對核心知識和表現(xiàn)維度進行表現(xiàn)性評價，促進學生探究過程高階認知和關(guān)鍵實踐的有效實施．

1.3 公開成果

初中跨學科主題學習往往采取項目式學習方式，需要形成公開成果．從結(jié)果性評價來分析，在學習結(jié)束時，可以指導學生形成對本質(zhì)問題認識的報告或作品，并體現(xiàn)思維和實踐的真實性．讓學生明白成果的要素和科學表達的方法，除了對核心概念的深刻理解，還要包括成果的意義、產(chǎn)生的過程（包括認知策略和學習實踐）、佐證材料等，可以制定成果要素的評價量規(guī)，讓學生對成果與目標的匹配度與達成度等進行多元評價，保證成果質(zhì)量．學習成果要公開展示，既可以通過展覽的形式進行直觀化的現(xiàn)場交流，也可以通過報告會報告項目的研究過程和結(jié)論．成果展可以根據(jù)成果的普適性，恰當選擇受眾范圍，有些成果展可以適當增加儀式感，感受真實的發(fā)布場景，實際上也是一個真實的學習實踐．

1.4 教學結(jié)構(gòu)

數(shù)學跨學科主題學習應該是開放性的學習活動，以項目式學習方式為例，教學思路可以面對項目情境引導學生提出問題，從中提煉本質(zhì)問題，制定項目實施方案，實施方案需將本質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為不同學科中的問題加以解決，當然重點在數(shù)學建模解決問題，最后指導學生形成研究成果并交流．可以概括為圖1的教學結(jié)構(gòu)，其具有發(fā)展核心素養(yǎng)的要素．

2 案例分析

學習二次函數(shù)后，設計項目——籃球三分球．首先項目分析，明確核心概念是飛行軌跡，解決問題的觀念是圖形直觀，轉(zhuǎn)化為通過體育學科手繪“完美三分曲線”（拋物線），再用數(shù)學方法描述拋物線，結(jié)合投籃影響因素，指導投三分球．為此，確定學習目標為通過整合體育、數(shù)學和物理等跨學科學習，將生活中投籃經(jīng)驗提高到跨學科高度的理解，從而再建構(gòu)拋物線，達到深層理解，發(fā)展模型觀念；在解決驅(qū)動性問題過程中，發(fā)展學習實踐能力，感悟科學的投籃運動，養(yǎng)成科學的態(tài)度，提高跨學科綜合性思維能力．

任務1 確定情境的本質(zhì)問題.

播放籃球三分球視頻：男主人公是一個籃球館的清潔工，他從一開始不會投籃，然后通過一系列測量、計算、嘗試，最終連續(xù)投進三分球．

鼓勵學生提出問題，根據(jù)目標和核心概念從眾多問題中確定本質(zhì)問題，即如何從形到數(shù)確定三分球曲線（拋物線）？進一步設定驅(qū)動性問題：怎樣通過投籃練習和數(shù)學分析探索三分球曲線？如何結(jié)合探索的三分球曲線和投籃影響因素較為準確投進三分球？

教學分析 視頻展示了真實的情境，具有視覺沖擊力，學生興致勃勃，看到知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系．通過觀察視頻中的數(shù)據(jù)測量，思考為何要獲得這些數(shù)據(jù)，如何用所學知識解決問題，意識到需要運用跨學科學習并致力于自己的行動，才能解決問題．為此，要重視對情境生長性經(jīng)驗的抽象和轉(zhuǎn)化，提高學生情境下的學習能力和遷移能力，這也是素養(yǎng)的核心要素．

任務2 體驗和探索投籃曲線.

觀看視頻后，要將驅(qū)動性問題轉(zhuǎn)化為確定進球拋物線．在體育教師協(xié)同指導下，學生帶著問題走進籃球場分小組實際投籃和測量數(shù)據(jù)，并手繪一道在給定的位置自認為比較容易進球的三分球投籃曲線.這個問題的解決需要操作實驗、數(shù)據(jù)收集和分析、推理、比較和決策等．根據(jù)學生觀察，結(jié)合大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)當籃球入框時與水平線大概成45°角時最容易進球，并命名為“完美三分曲線”．根據(jù)“完美三分曲線”中籃球入框時與水平線夾角在45°左右，在縮略圖中手繪“完美三分曲線”．

教學分析 觀看視頻并結(jié)合個體經(jīng)驗，引發(fā)學生思考怎樣容易投中？這個挑戰(zhàn)性問題營造了高階認知策略的學習情境．思維是基于問題的，問題意識是培養(yǎng)數(shù)學能力和素養(yǎng)的重要舉措，用真實情境引入的價值也就體現(xiàn)在這里．由于有學習內(nèi)動力，學生會在投籃練習中仔細觀察籃球的飛行軌跡，主動合作測量相關(guān)數(shù)據(jù)和總結(jié)成功經(jīng)驗，思維聚焦于拋物線，嘗試描出“完美三分曲線”，其探究過程需要社會性、技術(shù)性和探究性實踐．為此，需要有讓學生身臨其境的探索情境，才能與情境互動，持續(xù)進行高階認知引領(lǐng)下的科學探究，彌補封閉課堂教學短板．

任務3 探索“完美三分曲線”函數(shù)式.

畫出“完美三分曲線”后，不少學生提出需要精細刻畫此曲線，但要究其原因，引發(fā)討論，形成共識：主要為投出“完美三分曲線”提供數(shù)據(jù)支撐，確定了曲線的表達式才能更好掌握籃球的大致飛行軌跡．

在畫好拋物線的紙片（圖2）上，學生建立恰當?shù)淖鴺讼?，探索需要的條件．測量籃球框高度為3.05米，以一名同學投籃位置距離籃圈中心水平距離7米，出手高度2米左右為例，則可知圖2中A，B兩點坐標．發(fā)現(xiàn)還需要條件，有學生提出：可以按比例估測出對稱軸大概為直線x=3，就能確定關(guān)系式．也有同學通過度量、按比例估測出拋物線與x軸交點坐標確定關(guān)系式．

教學分析 跨學科要堅持學科立場，數(shù)學本位的跨學科主題學習應該主要運用數(shù)學學科且借助于其他學科解決問題．二次函數(shù)教學是從關(guān)系式展開的學習過程，事實上也可以從圖象到關(guān)系式，進行逆向思維訓練．學生通過觀察、回憶、畫圖、度量、計算、估測、交流等確定拋物線關(guān)系式，其過程蘊含辨析、優(yōu)化、決策等高階認知策略，體現(xiàn)知行合一，這樣學生對拋物線有本質(zhì)性理解．這種情境學習是在現(xiàn)實需求中學習，克服了只關(guān)注結(jié)果的機械式學習，能有效發(fā)展素養(yǎng)．

鼓勵學生繼續(xù)提出問題并討論，比如：投籃時眼睛一般不會看著地面，實際投籃時如何才能控制投籃曲線？

經(jīng)過討論，學生認識到投籃時一般眼睛是看著籃筐，以投籃者眼睛到籃筐的這條視線作為參考，籃球飛行的最高點到這條視線的豎直距離、此時籃球離籃筐的水平距離等就是重要的參考值，有助于控制籃球盡可能劃過“完美三分曲線”，而不至于飛得太高或太低而降低命中率．其他同學以自己投三分球位置和出手高度開展以上研究．

教學分析：面對如何更好控制投籃曲線這個現(xiàn)實問題，需要學生合作學習，需要創(chuàng)見、反思和分析，以創(chuàng)造性思維真正參與解決問題的過程．

追問：對“完美三分曲線”還能提出什么問題？

學生積極提出問題，比如，“完美三分曲線”在視線上方的部分距離視線的最大垂直距離是多少？若在視線上方的“完美三分曲線”上有一個動點P，則△PAB面積最大值是多少？……當然，學習中應該歸納和整理拋物線與學科內(nèi)知識的聯(lián)系并結(jié)構(gòu)化理解與其他學科的聯(lián)系，再建構(gòu)對拋物線的深度理解．

教學分析：跨學科主題學習不僅是運用知識解決問題，也應該重視統(tǒng)整知識或?qū)χR的再建構(gòu)，體現(xiàn)跨學科主題學習的要義.事實上學生提出的問題，涵蓋了函數(shù)、圖形、方程、不等式，提高了對二次函數(shù)的認知．

任務4 想要投籃更準，除了研究投籃拋物線，還有什么影響因素？再觀看視頻：你會如何選擇？

籃球愛好者積極分享經(jīng)驗，認為投籃還與力度、速度、身體的協(xié)調(diào)性和心理素質(zhì)等因素關(guān)聯(lián)．再播放視頻，讓學生較為系統(tǒng)地了解主要影響因素，其中介紹投籃時要用手指撥球，讓籃球在飛行時產(chǎn)生后旋，產(chǎn)生壓力差，從而就會產(chǎn)生一定的升力，這樣球會飛行得更加穩(wěn)定．帶著新經(jīng)驗，鼓勵學生繼續(xù)練習三分球，感受投籃還需要全身的動作協(xié)調(diào)，為成果現(xiàn)場展示奠定基礎．

教學分析 跨學科主題學習是基于學科的主動跨界．以上主要依托體育學科實踐研究三分球中的數(shù)學問題．事實上，影響投籃的因素較多，通過學生討論和再次觀看視頻，了解投籃還需要考慮力學、運動生理學、心理學等其他學科知識，激發(fā)學生繼續(xù)對三分球問題深入研究，感悟投籃的科學支撐，理解只有跨學科才能較好解決投籃問題．

任務5 學生展示和交流三分球投球的經(jīng)驗和收獲．

學生整理如何投三分球的研究成果，以報告會的形式交流學習成果，還可以組織現(xiàn)場投籃展示，在討論和反思中完善研究成果．

教學分析 將學習成果邏輯表達出來，可以進一步推動學習走向深層．成果表達也會提升交流合作能力、信息技術(shù)能力和社會性實踐能力，嚴謹?shù)乃季S和科學的態(tài)度也在修正成果過程中逐步形成．現(xiàn)場展示是學生運用獲得的知識指導投籃實踐，體驗知識從實踐中來，再到實踐中去，凸顯研究成果的目的性價值．

3 案例反思

3.1 營造真實學習情境

真實學習才能發(fā)展核心素養(yǎng)，真實學習要有真實的學習情境．數(shù)學跨學科主題學習應重視設計真實情境或運用信息技術(shù)模擬環(huán)境，為學生與環(huán)境互動提供載體．學生對真實情境的問題解決往往有濃厚的興趣，驅(qū)動主動學習，在真實的體驗中積累經(jīng)驗，深化理解問題，產(chǎn)生有價值的經(jīng)驗．情境蘊含知識，學生置身真實問題情境產(chǎn)生有意義的學習，主動開展觀察、操作、猜想、探究、討論等，解決這些問題的過程中能夠激活思維、誘發(fā)質(zhì)疑、自我調(diào)控、不斷優(yōu)化和內(nèi)化等心智活動．事實上，探索三分球情境蘊含本質(zhì)問題，吸引并支持學生對情境產(chǎn)生的學習任務動手動腦，全身心參與，特別是觀看視頻后，學生能夠在真實情境中積極主動實踐探索投籃曲線，應用數(shù)學建?？坍嬊€，經(jīng)歷豐富的問題解決過程，既能對二次函數(shù)再建構(gòu)，又能在科學實踐探索中優(yōu)化思維方式和思維結(jié)構(gòu)．

3.2 問題解決中培養(yǎng)學生跨學科綜合性思維

數(shù)學跨學科主題學習中的問題解決需要對本質(zhì)問題進行不同學科視角下的表征，對表征的問題利用不同學科進行靈活遷移應用，探尋最優(yōu)化的解決方案，再建立不同的模型對問題進行解釋，從而全局性、綜合性地解決問題．這種學生身心融入真實環(huán)境且不同學科協(xié)同解決問題的方式，能夠?qū)栴}本質(zhì)達到深層理解，建構(gòu)知識能夠在新情境中靈活運用．二次函數(shù)學習一般是從數(shù)到形，而這個項目是從形到數(shù)逆向的尋根溯源式探究，學生運用體育等學科探索真實存在的拋物線，如何讓三分曲線更加可控，就要刻畫變量之間的表達形式，使日常數(shù)學課的認知在跨學科整合中得到新的意義構(gòu)建，這樣獲得的知識和解決問題的思路才能有遷移性．實際上，投籃還與空氣動力學、心理學等相關(guān)，能激活知識之間的聯(lián)系，為此，數(shù)學跨學科主題學習能夠豐富認知，改變學生單學科的思維方式，培養(yǎng)學生跨學科綜合性思維．

3.3 讓學生在數(shù)學跨學科主題學習中學會思考

數(shù)學跨學科主題學習是在一個大情境統(tǒng)領(lǐng)下的學習，情境（問題）、任務、學習、實踐融為一體．情境有任務驅(qū)動，需要進行基于證據(jù)的學科表達、探究、討論、反思，這些活動鑲嵌在一個情境中，是一個完整的、結(jié)構(gòu)化的學習單位，有計劃和方案，有邏輯結(jié)構(gòu)（圖3），有助于學生在學習中學會思考．在研究三分球問題中，學生圍繞飛行軌跡這個核心概念，在實踐基礎上手繪“完美三分曲線”，對此進行刻畫，結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)、影響因素再進行投籃練習，形成研究成果，從而能深刻理解三分球飛行軌跡，再建構(gòu)了二次函數(shù)．更為重要的是通過學生對情境、問題或任務的親身經(jīng)歷和體驗，形成有理有據(jù)的科學思維、科學表達和科學態(tài)度，逐步學會數(shù)學思考，形成跨學科思維習慣和面對復雜新情境如何行動的心智習慣，這應是數(shù)學跨學科主題學習致力追求的境界和目標．

4 線束語數(shù)學跨學科主題學習既關(guān)注真實世界，也關(guān)注數(shù)學等學科，既打破學科界限，也統(tǒng)整不同學科的知識，于現(xiàn)實生活與個體意義的連接中培養(yǎng)跨學科人才．為了有效落實數(shù)學跨學科主題學習，應當注意設計互動的環(huán)境，力求展示學生數(shù)學學習的過程和意義，引導學生運用具身學習等方式進行決策和問題解決，以高階綜合性思維統(tǒng)領(lǐng)學習實踐過程，以體驗激活思維，關(guān)注內(nèi)化和反思，在跨學科整合和思維中加深理解和結(jié)構(gòu)化知識，形成良好的認知結(jié)構(gòu)和遷移應用能力，達成核心素養(yǎng)．

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

作者簡介 顧廣林（1964—），男，江蘇泰州人，中學正高級教師，江蘇省特級教師;主要從事初中“數(shù)學活動”研究．

帥建卓（1984—），男，江蘇泰州人，中學一級教師;泰州市十佳青年教師，泰州市教學能手;主要研究初中“數(shù)學活動”育人教學實踐．