井 潔， 毛曉曄， 丁 虎， 陳立群

(上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444)

在道路交通、橋梁建筑、工程機(jī)械等領(lǐng)域，梁是普遍使用的結(jié)構(gòu)。在已有經(jīng)典梁理論中，Euler-Bernoulli梁理論忽略了橫向剪力和切應(yīng)變的影響，適用于細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)。但是，這種簡(jiǎn)化會(huì)高估梁的彎曲剛度，因此，Timoshenko梁理論被提出來(lái)以研究短粗結(jié)構(gòu)。即使是細(xì)長(zhǎng)梁，在考慮高階振動(dòng)時(shí)，剪切變形的影響依然是不可忽略的，因此Timoshenko梁理論相比Euler-Bernoulli梁理論具有更高的精確性，尤其是對(duì)于動(dòng)力學(xué)而言[1]。

在實(shí)際應(yīng)用中，梁往往會(huì)承受軸向應(yīng)力，這會(huì)對(duì)梁的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生較大影響。許醇義[2]通過(guò)數(shù)值計(jì)算推證軸向力對(duì)彎曲振動(dòng)自振頻率的影響，發(fā)現(xiàn)各種支承梁由于承受軸向壓力使剛度減小，頻率隨壓力的增大而減小；杜紹洪[3]通過(guò)有限差分法求解了簡(jiǎn)支梁的橫向自由振動(dòng)問(wèn)題，構(gòu)造出求解四階非穩(wěn)態(tài)線性偏微分方程的差分隱格式，數(shù)值試驗(yàn)表明構(gòu)造的隱格式絕對(duì)穩(wěn)定并且具有很高的精度階。Ma等[4]研究了軸力作用下多裂紋梁的模態(tài)及疲勞壽命分析，發(fā)現(xiàn)軸向力除了會(huì)改變梁的動(dòng)力學(xué)特性，還會(huì)加速梁的疲勞破壞； Karimi等[5]研究了梁在隨機(jī)軸力作用下的非線性振動(dòng)分析，結(jié)果表明梁的平均和均方值都是時(shí)間的函數(shù)，這意味著梁的側(cè)向位移是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程； Li等[6]系統(tǒng)地研究軸向受壓Timoshenko梁的彎曲、屈曲和自由振動(dòng)問(wèn)題，在模型中引入了表征變形過(guò)程中軸力方向的過(guò)渡參數(shù)，結(jié)果表明，過(guò)渡參數(shù)對(duì)軸向加載梁的彎曲、屈曲和自由振動(dòng)均有顯著影響，頻率隨軸向壓力的增大而減小，這對(duì)軸力方向的確定具有重要意義； Liu等[7]研究了非連續(xù)梁在不同軸向載荷和連接彈簧剛度作用下的撓度和振動(dòng)頻率，結(jié)果表明，隨著連接彈簧剛度的增大，連接彈簧的撓度呈指數(shù)級(jí)減小，振動(dòng)頻率呈指數(shù)級(jí)增加。這些研究都表明，軸向力的存在會(huì)對(duì)梁的動(dòng)力學(xué)特性及使役性能產(chǎn)生重要影響。

當(dāng)軸向壓力繼續(xù)增加，一階固有頻率會(huì)減小至零，結(jié)構(gòu)發(fā)生過(guò)屈曲現(xiàn)象[8]，梁會(huì)變成本質(zhì)非線性結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生更復(fù)雜現(xiàn)象，例如在低頻區(qū)域產(chǎn)生超諧波共振[9]。因此，研究梁承受過(guò)軸向力導(dǎo)致的過(guò)屈曲是很有必要的。諸多學(xué)者已經(jīng)對(duì)不同結(jié)構(gòu)的屈曲現(xiàn)象進(jìn)行了研究，比如李世榮等[10]研究了加熱彈性梁在熱過(guò)屈曲構(gòu)形附近的自由振動(dòng)，數(shù)值結(jié)果表明，梁在未屈曲時(shí)，各階頻率都隨升溫而單調(diào)下降。在過(guò)屈曲后則相反；Li等[11]采用Timoshenko梁理論和高階剪切變形梁理論對(duì)柱形結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，重點(diǎn)分析了Engesser’s和Haringx’s假設(shè)對(duì)屈曲的影響。結(jié)果表明，兩種假設(shè)對(duì)強(qiáng)剪切剛度柱的屈曲載荷影響不大，而對(duì)弱剪切剛度柱的屈曲載荷影響顯著。平動(dòng)彈簧剛度對(duì)屈曲載荷的影響比轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度更明顯。Ziane等[12]考察了矩形空心截面的簡(jiǎn)支鋼梁，考慮到較大的扭轉(zhuǎn)和截面畸變，利用同倫攝動(dòng)法研究了后屈曲非線性路徑，得到了外力偶引起橫向扭轉(zhuǎn)屈曲臨界值的閉合表達(dá)式。Einafshar等[13]針對(duì)薄壁梁的軸向彎曲屈曲、后屈曲和幾何非線性分析，提出了一種高效的一維有限元模型。為驗(yàn)證模型的有效性，進(jìn)行了各種屈曲、后屈曲和非線性彎曲試驗(yàn)，證明了所提薄壁梁穩(wěn)定性和幾何非線性分析公式的有效性和準(zhǔn)確性。Ferreira等[14]研究復(fù)合材料蜂窩梁的屈曲和后屈曲分析，隨著腹板長(zhǎng)度的增加，腹板屈曲模式由局部屈曲變?yōu)楹笄?。這種效應(yīng)增加了臨界整體剪切。因此，相比非屈曲結(jié)構(gòu)，屈曲結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究更具挑戰(zhàn)，目前還在不斷發(fā)展完善。

對(duì)于梁結(jié)構(gòu)，常用Timoshenko梁模型及Euler-Bernoulli梁模型。滕兆春等[15]基于Euler-Bernoulli梁建模，研究了過(guò)屈曲軸力下的橫向自由振動(dòng)。各階頻率在過(guò)屈曲前隨軸向壓力的升高而單調(diào)下降，這是由于軸向壓力的存在使梁的撓度增加，相當(dāng)于減少了梁的剛度，使固有頻率降低，過(guò)屈曲附近一、二階頻率隨軸向壓力的升高而單調(diào)增加。而劉吉源等[16]利用瑞雷法得到任意邊界條件下的Timoshenko梁固有頻率泛函方程，對(duì)兩邊均為固定端約束的情形建立了頻率方程，并分別討論了軸向力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)頻率方程解的影響，進(jìn)而得到相應(yīng)的固有頻率。Ding等[17]首次發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)的影響；王樂(lè)等[18]從Timoshenko梁平衡方程出發(fā)，建立了軸力作用下Timoshenko梁自由振動(dòng)偏微分方程，給出了求解Timoshenko梁固有頻率的方程，探究了其橫向振動(dòng)特性，計(jì)算結(jié)果表明軸向壓力對(duì)最低階頻率的影響最大，階次越高影響越小。Khodabakhsh等[19]采用非線性Timoshenko梁模型對(duì)功能梯度材料柔性輸流管道的后屈曲和非線性振動(dòng)進(jìn)行了分析研究。數(shù)值結(jié)果證明了在分析短粗功能梯度材料管道時(shí)考慮截面旋轉(zhuǎn)慣性和剪切變形的重要性，特別是對(duì)于初始振幅較高的剛性材料，再次說(shuō)明將Timoshenko梁模型用于短粗梁研究的必要性。以上這些研究都肯定了Timoshenko梁模型在描述短粗結(jié)構(gòu)的精確性，但是，對(duì)于其在過(guò)屈曲軸力作用下，其共振頻率如何變化，特別是在基本過(guò)屈曲構(gòu)形附近各階頻率如何變化，目前還缺少定量的研究結(jié)果。

本文基于Timoshenko梁建模，討論了在軸力過(guò)屈曲時(shí)梁的自由特性，并且與Euler-Bernoulli梁進(jìn)行了對(duì)比分析。應(yīng)用廣義哈密頓原理建立控制方程[20]，用Galerkin法離散成多自由度系統(tǒng)。在過(guò)屈曲狀態(tài)下，得到了梁的固有頻率，并討論了參數(shù)影響。

1 數(shù)學(xué)模型對(duì)比

圓形截面梁如圖1所示，材料密度為ρ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，橫截面直徑為D，兩端受簡(jiǎn)支支撐。圖1中：x和y分別為軸向和徑向坐標(biāo)；v(x,t)為梁的橫向位移；t為時(shí)間。截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，剪切模量為G，楊氏模量為E，泊松比為μ，且受軸向力P作用，參數(shù)值如表1所示。

圖1 梁的物理模型Fig.1 Physical model of the beam

表1 梁物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of the beam

1.1 Timoshenko梁模型控制方程

對(duì)于短粗梁，參考Tan等[21]的控制方程建立過(guò)程，采用Timoshenko梁模型進(jìn)行建?；趶V義Hamilton原理，導(dǎo)出Timoshenko梁橫向振動(dòng)偏微分-積分控制方程

(1)

式中：A為梁的橫截面積；v(x,t)為梁的橫向位移；x或t前面的逗號(hào)為對(duì)x或t的偏導(dǎo)數(shù)；ks為圓形截面剪切修正因子,其表達(dá)式為

(2)

根據(jù)表1中泊松比的取值，將其代入式(2)，ks則可取為0.89。

兩端簡(jiǎn)支邊界條件為

(3)

1.2 Euler-Bernoulli梁模型控制方程

同樣，參考Tan等研究中應(yīng)用Euler-Bernoulli梁理論建立控制方程的過(guò)程，可推導(dǎo)得到Euler-Bernoulli梁橫向振動(dòng)控制方程

(4)

簡(jiǎn)支邊界條件如下

(5)

對(duì)比控制方程式(1)和式(4)可以看出Timoshenko梁模型為二階偏微分方程組，而Euler-Bernoulli梁模型則為四階偏微分方程。因此，Timoshenko梁在橫向和轉(zhuǎn)角兩個(gè)廣義坐標(biāo)上分別具有兩個(gè)邊值條件，而Euler-Bernoulli梁僅在橫向廣義坐標(biāo)上具有4個(gè)邊值條件。

2 過(guò)軸向力靜態(tài)屈曲分岔對(duì)比

2.1 簡(jiǎn)支梁屈曲非平凡位形解析解

考慮屈曲失穩(wěn)引起的屈曲非平凡位形，由于其與時(shí)間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，忽略方程式(1)中的時(shí)間項(xiàng)，得到靜態(tài)控制方程

(6)

兩端簡(jiǎn)支邊界條件為

(7)

通過(guò)式(6)和式(7)，得到Timoshenko梁屈曲非平凡位形解析解

(8)

同理可以得到Euler-Bernoulli梁的屈曲非平凡位形解析解

(9)

式中，k為任意非零整數(shù)，在此將k取為1，研究第一階屈曲非平凡位形。

兩種梁模型的第一階屈曲非平凡位形對(duì)比圖，如圖2所示。由于屈曲非平凡位形關(guān)于零平衡位形軸對(duì)稱，因此本文只考慮正屈曲非平凡位形。圖2中：實(shí)線表示Timoshenko梁的橫向位形和轉(zhuǎn)角；點(diǎn)線表示Euler-Bernoulli梁的橫向位形；Pcr為梁的臨界軸向力。圖2選取的過(guò)屈曲軸向力為臨界軸向力的1.1倍。從圖2可知，Euler-Bernoulli梁的橫向位形大于Timoshenko梁。

圖2 兩種梁模型的屈曲非平凡位形(P=1.1Pcr)Fig.2 The buckling non-trivial configuration of two beam models (P=1.1Pcr)

2.2 簡(jiǎn)支梁屈曲非平凡位形穩(wěn)定性

考慮第一階屈曲非平凡位形，不考慮外激勵(lì)及阻尼，從截?cái)喾匠讨械玫降谝浑A截?cái)喾匠?，最終得到第一階非平凡位形上的未擾系統(tǒng)

(10)

其中

(11)

將該方程改寫(xiě)為狀態(tài)方程，提取自治系統(tǒng)Jacobian矩陣，當(dāng)矩陣特征值λ存在正實(shí)部時(shí)，一階位形不穩(wěn)定。與Euler梁一階位形的穩(wěn)定性對(duì)比，如圖3所示。當(dāng)軸向力達(dá)到屈曲值后，兩種模型的一階位形都穩(wěn)定，但臨界軸向力存在差異，顯然Timoshenko模型因?yàn)榭紤]了截面轉(zhuǎn)動(dòng)，剛度稍弱于Euler-Bernoulli模型，臨界屈曲發(fā)生地更早。

圖3 一階屈曲非平凡位形的穩(wěn)定性Fig.3 Stability of first-order buckling non-trivial configuration

高階屈曲非平凡位形與Euler-Bernoulli模型一致，都不具有穩(wěn)定性。

2.3 參數(shù)對(duì)軸向力靜態(tài)屈曲的影響

兩種梁模型的臨界軸向力可以通過(guò)式(8)和式(9)得出

(12)

為了更清晰地描述兩種模型之間的差異，定義了臨界軸向力的相對(duì)誤差

(13)

式中：Pcr-E為Euler-Bernoulli梁模型的臨界軸向力；Pcr-T為T(mén)imoshenko梁模型的臨界軸向力；RPL為兩種梁模型臨界軸向力隨長(zhǎng)度變化的相對(duì)誤差，同理RPD為兩種梁模型臨界軸向力隨梁截面直徑變化的相對(duì)誤差。梁越細(xì)長(zhǎng)，臨界軸向力越小，且Euler-Bernoulli梁因剛度大于Timoshenko梁，其臨界軸向力總是大于Timoshenko梁，如圖4(a)所示。隨著梁長(zhǎng)的增加，這種差異越來(lái)越小，說(shuō)明細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)可采用Euler-Bernoulli梁理論。由圖4(a)可知，在梁長(zhǎng)大于0.1 m時(shí)，兩種梁模型臨界軸向力隨長(zhǎng)度變化的相對(duì)誤差小于10%，而在圖4(b)所取的范圍內(nèi)，臨界軸向力隨梁截面直徑變化的相對(duì)誤差總是小于1.5%，說(shuō)明兩種梁臨界軸向力對(duì)長(zhǎng)度變化的敏感程度大于對(duì)截面直徑的敏感度。

圖4 兩種梁模型臨界軸向力的比較及相對(duì)誤差Fig.4 Comparison of critical axial forces and relative errors for two beam models

兩種梁模型的中點(diǎn)位移和軸向力之間的關(guān)系，如圖5所示。由圖5可知，引起Timoshenko梁平衡分岔的軸向力要小于Euler-Bernoulli梁的軸向力。但Timoshenko梁的平衡變形要大于Euler-Bernoulli梁的平衡變形。此外，當(dāng)梁較短或較厚時(shí)，兩種梁模型之間的差異更明顯。

圖5 兩種梁模型隨軸向力的變化情況Fig.5 Variation of two beam models changing with axial force

3 過(guò)軸向力固有頻率對(duì)比

3.1 Galerkin截?cái)?/h3>

對(duì)于過(guò)軸向力下的簡(jiǎn)支Timoshenko梁，由式(1)推導(dǎo)得到自由振動(dòng)控制方程

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行坐標(biāo)代換

(15)

(16)

式(16)存在非線性項(xiàng)，對(duì)其進(jìn)行局部線性化，得到

(17)

設(shè)式(17)的解為如下形式，僅保留前m階

(18)

(19)

設(shè)權(quán)函數(shù)為模態(tài)函數(shù)自身，采用Galerkin法，得到離散的常微分方程系統(tǒng)?；谠撾x散系統(tǒng)，即可求解屈曲后Timoshenko梁的自由振動(dòng)固有頻率。系統(tǒng)剛度矩陣可寫(xiě)為如下形式：式(20)為屈曲前的剛度矩陣，式(21)為屈曲后的剛度矩陣

(20)

(21)

從式(20)和式(21)可以看出，在屈曲前，高階頻率會(huì)受到軸力的影響，而在過(guò)屈曲發(fā)生后，高階剛度矩陣分量中不含軸力項(xiàng)，所以高階頻率不隨軸力變化。

Galerkin截?cái)嗟玫降模S軸向力變化的前兩階固有頻率，如圖6所示。由圖6中可知，在屈曲發(fā)生前，隨著軸向力的增加，前兩階固有頻率都在減小。但是在屈曲后，隨著軸向力的增大，一階固有頻率隨之增大，而二階頻率不發(fā)生變化。

圖6 Timoshenko梁的前二階頻率Fig.6 The first-two order frequencies of the Timoshenko beam

此外，基于線性派生系統(tǒng)式(17)，得到了嚴(yán)格意義上的模態(tài)，因此截?cái)嗪髲V義坐標(biāo)解耦，模態(tài)坐標(biāo)間不存在能量交換，截?cái)嚯A數(shù)不影響結(jié)果的收斂性。因此在接下來(lái)的文章中，如無(wú)特別說(shuō)明，都將采用二階Galerkin截?cái)喾▽?duì)控制方程進(jìn)行截?cái)嘟稻S處理。

3.2 固有頻率對(duì)比

為了便于展示出兩種梁模型的差異，定義前兩階固有頻率的相對(duì)偏差

(22)

式中：fEi為Euler-Bernoulli梁模型的第i個(gè)固有頻率；fTi為T(mén)imoshenko梁模型的第i個(gè)固有頻率；Ri為固有頻率的誤差率。由圖7可知，相同參數(shù)條件下，兩種梁的前兩階固有頻率隨軸向力的變化趨勢(shì)定性相同：屈曲前都隨軸向力減?。欢谇?，一階頻率隨軸向力的增大呈增大趨勢(shì)，二階頻率基本不受軸向力的影響。但在定量上，兩者存在區(qū)別：由于Timoshenko梁屈曲更早，相同的過(guò)軸向力下，其一階頻率大于Euler梁一階頻率。因二階頻率不受過(guò)軸向力影響，其二階頻率一直比Euler梁小，且差異要大于一階頻率。

圖7 兩種梁的前二階頻率對(duì)比Fig.7 Comparison of the first-two order frequencies of the two beams

3.3 參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

與2.3節(jié)一致，不同梁長(zhǎng)和截面直徑條件下，Timoshenko模型和Euler-Bernoulli模型前二階頻率隨過(guò)屈曲軸向力的變化，分別如圖8、圖9所示。見(jiàn)圖8(a)和圖9(a)，隨著梁長(zhǎng)的增加，一階頻率差異減小。雖然圖示兩種梁長(zhǎng)的頻率存在交叉現(xiàn)象，但將橫坐標(biāo)分別做對(duì)應(yīng)臨界軸向力的移軸后，依然是較短的梁比較長(zhǎng)的梁具有更高的固有頻率。見(jiàn)圖8(b)和圖9(b)，兩種梁模型的第二階固有頻率不隨軸向力變化，但Euler-Bernoulli梁的二階頻率總是大于Timoshenko梁的二階頻率。

圖8 長(zhǎng)度不同時(shí)兩種模型的固有頻率對(duì)比Fig.8 Comparison of the natural frequencies of the two models with different lengths

同樣選取2.3節(jié)的參數(shù)條件，長(zhǎng)細(xì)比對(duì)固有頻率相對(duì)誤差的影響，如圖10所示。圖10(a)清楚地表明，隨著軸力的增加，兩種模型第一階過(guò)軸力屈曲固有頻率的相對(duì)偏差呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)，兩種模型越來(lái)越接近。在軸力大于3 000 N時(shí)，第一階固有頻率的相對(duì)誤差小于1.5%。在同一軸力條件下，長(zhǎng)細(xì)比越大，固有頻率的差值越小。由圖10(b)可知，同一長(zhǎng)細(xì)比條件下，第二階固有頻率的誤差不受軸力影響，長(zhǎng)細(xì)比越大，兩種模型第二階固有頻率的相對(duì)誤差越小。

圖9 截面直徑不同時(shí)兩種模型的固有頻率對(duì)比Fig.9 Comparison of natural frequencies of two models with different section diameters

圖10 兩種模型在不同長(zhǎng)細(xì)比下前兩階固有頻率的相對(duì)誤差Fig.10 The relative error of the first two natural frequencies of the two models under different slenderness ratios

為詳細(xì)探討截面轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)Timoshenko梁剛度的影響，在此分析了不同橫向變形下的彎曲勢(shì)能和剪切勢(shì)能。在2.1節(jié)中已經(jīng)推導(dǎo)出了簡(jiǎn)支梁屈曲非平凡位形解析解，如式(8)所示。可見(jiàn)每一個(gè)軸力都對(duì)應(yīng)一個(gè)屈曲位形，所以在此變?yōu)檠芯坎煌S力下的彎曲勢(shì)能和剪切勢(shì)能，其表達(dá)式為

Ub=?VσxεxdV,Us=?VτyxγyxdV

(23)

式中：V為梁的體積；Ub和Us分別為T(mén)imoshenko梁的彎曲勢(shì)能和剪切勢(shì)能；σx和εx分別為法向應(yīng)力和法向應(yīng)變；τyx和γyx為剪切應(yīng)力和剪切應(yīng)變。梁的彈性本構(gòu)關(guān)系為

σx=Eεx,τyx=ksGγyx

(24)

應(yīng)變-位移關(guān)系為

(25)

式中，y為橫截面上任意點(diǎn)距中性面的距離。以上均可參考Tan等研究中的建模過(guò)程。

由圖11可知，彎曲勢(shì)能和剪切勢(shì)能隨軸力的增大均呈增大趨勢(shì)。但不同的是，彎曲勢(shì)能是非線性增大，而剪切勢(shì)能是線性增大。所以剪切勢(shì)能占總變形勢(shì)能的比重隨軸力的增大而減小，截面轉(zhuǎn)動(dòng)軟化了Timoshenko梁的剛度。即軸力越大，剪切勢(shì)能占比越小，彎曲勢(shì)能占比越大，兩種模型越接近。這一結(jié)論也可以與“圖10(a)清楚地表明，隨著軸力的增加，兩種模型第一階過(guò)軸力屈曲固有頻率的相對(duì)偏差呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)，兩種模型越來(lái)越接近”相互驗(yàn)證。

圖11 不同軸力下的勢(shì)能及占比圖Fig.11 Potential energy and its proportion under different axial forces

4 結(jié) 論

本文研究了軸向力過(guò)屈曲的條件下，Timoshenko梁的振動(dòng)特征，并與Euler梁模型進(jìn)行對(duì)比分析。通過(guò)Timoshenko梁模型，建立兩端簡(jiǎn)支條件下屈曲壓力、屈曲后位形的解析表達(dá)式，并判斷一階位形的穩(wěn)定性。運(yùn)用Galerkin截?cái)喾ㄓ?jì)算了梁在軸向力過(guò)屈曲條件下的固有頻率，確定系統(tǒng)參數(shù)的影響，并且對(duì)彎曲勢(shì)能和剪切勢(shì)能進(jìn)行分析討論，得出如下結(jié)論：

(1) 與屈曲前固有頻率與軸向力的關(guān)系相反，在過(guò)屈曲發(fā)生后，一階頻率隨軸向力的增大而增大，二階及二階以上頻率不隨軸向力變化。

(2) 兩種梁臨界軸向力對(duì)長(zhǎng)度變化的敏感程度大于對(duì)截面直徑的敏感度。且Euler-Bernoulli梁過(guò)屈曲軸向力比Timoshenko梁大，即Timoshenko梁比Euler-Bernoulli梁更早進(jìn)入過(guò)屈曲狀態(tài)。

(3) 在屈曲前，Euler-Bernoulli梁的固有頻率總是大于Timoshenko梁；在屈曲后，由于臨界屈曲發(fā)生更早，Timoshenko梁的基頻在相同軸向力下總是大于Euler-Bernoulli梁；但將過(guò)屈曲軸向力與兩種模型相應(yīng)臨界軸向力做歸一化處理后，Timoshenko梁基頻仍然大于Euler-Bernoulli梁。

(4) 軸力越大，兩種梁模型一階頻率相對(duì)偏差越小，Timoshenko梁的剪切勢(shì)能所占比重越小，兩種模型越接近。由此可以看出，Timoshenko梁的一部分振動(dòng)能量存儲(chǔ)在截面轉(zhuǎn)動(dòng)變形中，軟化了彎曲剛度，這種軟化作用在高階頻率上體現(xiàn)更明顯，與Euler-Bernoulli梁相比，高階頻率差異要大于基頻。

(5) 對(duì)于長(zhǎng)細(xì)比較大的梁，固有頻率差值會(huì)越小。進(jìn)一步說(shuō)明了將Euler-Bernoulli梁用于細(xì)長(zhǎng)梁研究、而將Timoshenko梁用于短粗梁研究的合理性。