構(gòu)造長方體模型解一類特殊的四面體問題

李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學(xué))

對棱相等的四面體是一類特殊的三棱錐,根據(jù)三對棱的長度關(guān)系,可以把它放在對應(yīng)的長方體、正四棱柱以及正方體中,進(jìn)而解決有關(guān)問題.

1 長方體模型

在四面體A-BCD中,若AB＝CD,BD＝AC,AD＝BC,則可把四面體A-BCD放在長方體中進(jìn)行研究,進(jìn)而解決有關(guān)問題.

例1在三棱錐A-BCD中,AB＝CD＝2,AD＝BC＝3,AC＝BD＝4,求三棱錐A-BCD的外接球的體積.

解析如圖1 所示,把三棱錐A-BCD放在長方體AECF-HDGB中,設(shè)HB＝x,HD＝y(tǒng),HA＝z,則可得方程組

圖1

點(diǎn)評本題如果用傳統(tǒng)的解法:找球心,求半徑來解,難度比較大.根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到長方體的面對角線,把該三棱錐放在長方體中,解決問題就簡單多了.由于該三棱錐的外接球恰好就是長方體的外接球,因此問題轉(zhuǎn)化為求長方體的外接球的體積.求解步驟如下:

第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即長方體的面對角線長)算出長方體的長、寬、高的關(guān)系(或長、寬、高的值),從而算出長方體的體對角線的長的平方.

第二步,根據(jù)長方體的性質(zhì)(長方體的體對角線即為長方體外接球的直徑),算出外接球的半徑.

第三步,利用球的體積公式算出體積即可.

例2在三棱錐P-ABC中,PA＝BC＝,求平面APB與平面CPB的夾角的余弦值.

解析如圖2所示,把三棱錐P-ABC放在長方體AECD-FPGB中,設(shè)PF＝x,PG＝y(tǒng),PE＝z,則CPB的夾角的余弦值為

圖2

點(diǎn)評本題如果用傳統(tǒng)的求二面角的方法解答難度比較大,根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)可聯(lián)想到長方體的面對角線,把該三棱錐放在長方體中,用“坐標(biāo)法”解答問題就簡單多了.求解步驟如下:

第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即長方體的面對角線長)算出長方體長、寬、高的值.

第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,算出平面APB與平面CPB的法向量,求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值.

第三步,根據(jù)兩個(gè)法向量夾角的余弦值寫出平面APB與平面CPB的夾角的余弦值.

2 正四棱柱模型

在四面體ABCD中,若AB＝CD＝BD＝AC,AD＝BC,則可把四面體ABCD放在正四棱柱中進(jìn)行研究,進(jìn)而解決有關(guān)問題.

例3在三棱錐A-BCD中,AB＝BC＝CD＝DA＝3,AC＝BD＝2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),求異面直線AN,CM所成角的余弦值.

解析如圖3所示,把三棱錐A-BCD放在正四棱柱AECF-HDGB中,設(shè)HB＝x,HA＝z,則

圖3

點(diǎn)評本題是人教A 版《選擇性必修第一冊》中第41頁的第2 題.從在書中的位置來看,本題應(yīng)該用“向量法”解答,由于許多學(xué)生建不了系,故不能使用“坐標(biāo)法”解答,運(yùn)算量比較大.如果能根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中用“坐標(biāo)法”解答就非常簡單了.求解步驟如下:

第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出異面直線AN,CM的方向向量,求出兩異面直線AN,CM方向向量夾角的余弦值.

第三步,由兩異面直線AN,CM方向向量夾角的余弦值寫出異面直線AN,CM所成角的余弦值.

例4在三棱錐A-BCD中,AC＝BD＝,其余四條棱長均為2,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為_________.

解析如圖4所示,把三棱錐A-BCD放在正四棱柱AECF-HDGB中,設(shè)HB＝x,HA＝z,則

圖4

由正四棱柱的性質(zhì)可知4R2＝x2＋x2＋z2＝7,所以4πR2＝7π,故三棱錐A-BCD的外接球的表面積為7π.

點(diǎn)評本題如果用傳統(tǒng)的方法:找球心,求半徑來解,難度比較大.聯(lián)想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中,解決問題就簡單多了.由于該三棱錐的外接球恰好就是正四棱柱的外接球,因此問題轉(zhuǎn)化為求正四棱柱外接球的表面積.求解步驟如下:

第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

第二步,算出正四棱柱的體對角線的長的平方,即外接球直徑的平方.

第三步,根據(jù)球的表面積公式即可求出三棱錐A-BCD的外接球的表面積.

圖5

點(diǎn)評本題可根據(jù)三棱錐三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中,用“坐標(biāo)法”解答問題就非常簡單了.求解步驟如下:

第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,算出平面ABC的法向量.

第三步,在平面ABC上任意取一點(diǎn)與外接球的球心構(gòu)造一個(gè)向量.

第四步,代入點(diǎn)到平面的距離公式,即可算出三棱錐A-BCD外接球的球心到平面ABC的距離.

3 正方體模型

在四面體ABCD中,若AB＝CD＝BD＝AC＝AD＝BC,則可把四面體ABCD放在正方體中研究,進(jìn)而求解相關(guān)問題.

例6已知四面體OABC的所有棱長都是1,D,N分別是OA,BC的中點(diǎn).

(1)計(jì)算DN的長度;

(2)求點(diǎn)O到平面ABC的距離.

解析如圖6所示,把四面體OABC放在正方體中.設(shè)正方體的棱長為a,則a2＋a2＝1,所 以

圖6

點(diǎn)評本題是人教A 版《選擇性必修第一冊》中第42頁的第7題,從在書中的位置來看,本題應(yīng)該是用“向量法”來解答,只是大部分學(xué)生可能只會(huì)在正四面體中建系,運(yùn)算難度較大.如果能根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正方體(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正方體中,解決問題就簡單多了.求解步驟如下:

第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正方體的面對角線長)算出正方體棱長的值.

第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)的坐標(biāo),算出DN的長度和平面ABC的法向量.

第三步,在平面ABC上任意取一點(diǎn)與點(diǎn)O構(gòu)造一個(gè)向量.

第四步,代入點(diǎn)到平面的距離公式算出點(diǎn)O平面ABC的距離.

例7已知正四面體ABCD的外接球的體積為,則該四面體的表面積為_________.

解析把正四面體ABCD放在如圖7 所示的正方體中.設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,正四面體ABCD的棱長為x,正方體為棱長為y,則

圖7

解得x2＝16,故正四面體ABCD的表面積為

點(diǎn)評根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正方體(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正方體中,進(jìn)而解決該題.求解步驟如下:

第一步,根據(jù)正四面體的外接球的體積算出正方體棱長的平方.

第二步,代入面積公式即可求出這個(gè)正四面體的表面積.

例8正四面體ABCD中,,點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng),設(shè)EP與平面BCD所成角為θ,則sinθ的最大值是( ).

解析如圖8所示,把正四面體ABCD放在正方體中,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D1(1,1,0).

圖8

點(diǎn)評本題有一定的難度,但是把該三棱錐放在正方體中用“坐標(biāo)法”解答就簡單多了.求解步驟如下:

第一步,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,并寫出點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面BCD的法向量.

第二步,由點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng),設(shè)(0≤λ≤1),求出的坐標(biāo).

第三步,代入線面角公式求出sinθ的最大值.

總之,可根據(jù)對棱長的特點(diǎn),把圖形放入長方體、正四棱柱、正方體中解答這類問題.通過構(gòu)造可以降低思維難度,減少運(yùn)算量,能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算,有利于拓展學(xué)生思維,有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(完)