三棱錐外接球常見題型分析及解題策略

龍成芳

(貴州省天柱民族中學(xué))

立體幾何的外接球問題是高考考查的熱點(diǎn),能集中考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等,同時(shí)也容易創(chuàng)設(shè)情境,所以這類題是值得重視的.這類題型主要集中于三棱錐的外接球,這是一種常規(guī)題型,在解題方面有很多研究結(jié)果,也分得很細(xì),但本人認(rèn)為分兩類即可:一類是存在一條棱和表面垂直的三棱錐,這是最常見的一種;另一類是沒有棱和表面垂直的三棱錐,這又具體表現(xiàn)在正三棱錐、一條棱所對(duì)的所有角均為直角的三棱錐、已知二面角的三棱錐和長方體面對(duì)角線為棱的三棱錐.

解決這類問題的核心思想是確定球心位置,所以解題的關(guān)鍵在于尋找外接球的球心,要確定外接球球心,首先要明確三棱錐和球的關(guān)系:三棱錐是球的內(nèi)接三棱錐.如果以三棱錐的任何一個(gè)表面為截面對(duì)球進(jìn)行切割,得到球的截面一定是圓,這個(gè)圓同時(shí)也是三棱錐這個(gè)表面三角形的外接圓,若把這個(gè)圓的圓心與球心連接起來,這條線必然和截面垂直,即直線和三棱錐的這個(gè)表面垂直.反過來,在三棱錐的表面找到這個(gè)面的外接圓圓心,作該面的垂線,則三棱錐的外接球球心必然在這條垂線上.這是解決這類問題的主要依據(jù),也是核心所在.

1 有棱和表面垂直的三棱錐外接球問題

例1已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,且AB⊥平面BCD,AB＝＝AD＝4,CD＝2,則球O的表面積為( ).

分析如圖1所示,題目明確已知在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,由此題型得以確定,接下來就是找球O的球心,根據(jù)三棱錐與球O的位置關(guān)系,找到△BCD的外心,記為O1,過點(diǎn)O1作平面BCD的垂線l,則三棱錐A-BCD的外接球球心定在直線l上.由已知得l∥AB,故有AB,從而選擇以O(shè),O1和三棱錐A-BCD的任意一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)三角形,通過解這個(gè)三角形就能求出球O的半徑.

圖1

解找到△BCD的外心,記為O1,過點(diǎn)O1作平面BCD的垂線,記為l,在直線l上找一個(gè)異于點(diǎn)O1的點(diǎn)O,連接O1C和OC,如圖2所示.

圖2

點(diǎn)評(píng)這類題型是三棱錐外接球問題中最常見的一種,題目的主要特征是三棱錐的一條棱和表面垂直,建立解題模型的主要依據(jù)是球截面圓的圓心和球心的連線與截面垂直,以此確定球心;根據(jù)球心與三棱錐的頂點(diǎn)的連線為半徑構(gòu)造三角形,通過解三角形可以求出半徑.值得注意的是要會(huì)識(shí)別,識(shí)別的標(biāo)志是“線面垂直”,即三棱錐的棱和表面垂直,在尋找棱和表面垂直時(shí),要從不同的角度觀察,有的題目甚至不會(huì)明確告訴棱和表面垂直的關(guān)系,需要去發(fā)現(xiàn)和證明.同時(shí),這里的“線面垂直”中的線一定是三棱錐的棱,面是三棱錐的表面.在找三角形的外心時(shí),正三角形的外心是三角形的中心,直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn),一般三角形的外心比較難找,但可以借助正弦定理解決,后面幾種題型也是一樣.

2 正三棱錐的外接球問題

例2在正三棱錐P-ABC中,已知AB＝4,求三棱錐P-ABC的外接球的體積.

分析因?yàn)槭钦忮FP-ABC,所以△ABC是等邊三角形,則△ABC的“三心合一”,故頂點(diǎn)P在底面的射影與△ABC外心重合.若過△ABC的外心作平面ABC的垂線,則必過點(diǎn)P,且外接球球心也必然在垂線上,然后構(gòu)造三角形求半徑即可.

解如圖3 所示,找到△ABC的外心,記為點(diǎn)O1,連接PO1,則有PO1⊥平面ABC,在線段PO1上找一點(diǎn),記為O,連接線段OB,O1B.

圖3

因?yàn)辄c(diǎn)O1是△ABC的中心,所以

點(diǎn)評(píng)正三棱錐也包括正四面體,正四面體也是一個(gè)正方體的面對(duì)角線組成的三棱錐,所以正方體的面對(duì)角線組成的三棱錐不作為一種題型研究,這類題型的特征很明顯,就是正三棱錐.在實(shí)際解題中,可以直接過頂點(diǎn)作底面(正三角形)的垂線,垂足就是底面三角形的外心.當(dāng)然,上面我們是直接把球心放在底面的上方計(jì)算的,球心也有可能在下方,判斷外接球球心在三棱錐底面上方還是下方,主要根據(jù)三棱錐的高和外接球半徑的大小關(guān)系.當(dāng)R＞h時(shí),球心在底面下方;當(dāng)R＜h時(shí),球心在底面上方.實(shí)際上,根據(jù)以上計(jì)算方法,不管球心在底面上方還是下方,對(duì)計(jì)算結(jié)果沒有影響.

3 三棱錐中一條棱所對(duì)的所有角均為直角的外接球問題

例3如圖4所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA＝AB＝BC＝3,則該三棱錐外接球的表面積為( ).

圖4

分析由于PA⊥平面ABC,故可以按照例1的方法來求解,但在這里主要體現(xiàn)一下另一種獨(dú)特解法.題目有AB⊥BC,所以∠PBC＝∠PAC＝90°,也就是說在三棱錐P-ABC中,棱PC所對(duì)的角均為直角,根據(jù)直徑所對(duì)的角為直角,可知PC就是三棱錐P-ABC外接球的直徑.

解因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥BC.又因?yàn)锳B⊥BC,所以BC⊥平面PAB,故有PB⊥BC,所以PC就是三棱錐P-ABC外接球的直徑,則

點(diǎn)評(píng)題型識(shí)別標(biāo)志是三棱錐中有棱所對(duì)的角均為直角,值得說明的是這里三棱錐的棱所對(duì)的角的頂點(diǎn)必須是三棱錐的頂點(diǎn),建立數(shù)學(xué)模型的依據(jù)是球的直徑所對(duì)的“球周角”為直角.

4 已知二面角的三棱錐外接球問題

例4如圖5所示,在平行四邊形ABCD中,若AC＝AB＝4,∠BAD＝120°,將△ABC沿對(duì)角線AC翻折至△AB1C所在的位置,使得二面角B1-AC-D的大小為120°,則過A,B1,C,D四點(diǎn)的外接球的表面積為________.

圖5

分析這種題型的特征是有“二面角B1-AC-D的大小為120°”,所以解題要圍繞這一點(diǎn).由△ACD和△AB1C均為正三角形,過△ACD的外心O1作平面ACD的垂線,球心必然在垂線上;同樣過△AB1C的外心O2作平面AB1C的垂線,球心也必然在垂線上,則兩條垂線的交點(diǎn)O就是外接球球心,過點(diǎn)O1作O1M⊥AC交AC于M,構(gòu)造△OO1M和△OCM,解出OC即可.

解如圖6 所示,找到△ACD的外心O1,過點(diǎn)O1作平面ACD的垂線,找到△AB1C的外心O2,過點(diǎn)O2作平面ACD的垂線,兩垂線交于一點(diǎn)O,則點(diǎn)O為三棱錐B1-ACD外接球的球心.過點(diǎn)O1作AC的垂線,垂足為M,連接OC,OM,O1M.

圖6

因?yàn)椤鰽CD是等邊三角形,所以點(diǎn)O1為重心,則

又二面角B1-AC-D的大小為120°,所以∠OMO1＝60°,則

點(diǎn)評(píng)這種題型稍微復(fù)雜一點(diǎn),識(shí)別標(biāo)志是在三棱錐中,已知兩個(gè)表面的二面角大小,建模的主要依據(jù)就是過三棱錐的表面外心作垂線,球心必在垂線上,如果作兩條及以上這樣的垂線,交點(diǎn)必為球心.

5 長方體的面對(duì)角線構(gòu)成三棱錐的外接球問題

例5如圖7所示,在三棱錐P-ABC中,PA＝＝AC＝2,PC＝AB＝,則 三棱錐P-ABC外接球的體積為( ).

圖7

分析這種題型首先要會(huì)識(shí)別,主要的特征是三棱錐相對(duì)的各組棱長相等.解這種題只需要將三棱錐放入長方體中,利用長方體的面對(duì)角線分別求出長方體的長、寬、高,再用體對(duì)角線公式求出長方體的體對(duì)角線,即為三棱錐外接球直徑.

點(diǎn)評(píng)這種題的識(shí)別標(biāo)志是三棱錐的三組對(duì)棱分別相等,建模的主要依據(jù)是要把這個(gè)三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長方體中,三棱錐的對(duì)應(yīng)棱是所在長方體的面對(duì)角線.

以上就是三棱錐的外接球相關(guān)問題的五種常見題型,題型沒有過于細(xì)分,方法也沒有所謂秒殺的技巧,是對(duì)知識(shí)的直接體現(xiàn),是筆者長期教學(xué)中的一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn),希望能起到拋磚引玉的作用.

鏈接練習(xí)

1.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA＝PB＝PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF＝90°,則球O的體積為( ).

2.已知三棱錐P-ABC中,PA＝PB＝1,AB＝BC,∠APB＝∠ABC＝90°,若二面角P-AB-C的大 小為120°,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為( ).

3.如圖8所示,已知球O的面上四點(diǎn)A,B,C,D,DA⊥平面ABC.AB⊥BC,DA＝AB＝BC＝,則球O的體積等于_________.

圖8

4.已知三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BCD＝90°,AB＝BC＝2,CD＝,則三棱錐的外接球的體積為________.

鏈接練習(xí)參考答案

(完)