[摘? 要] 新課標(biāo)引領(lǐng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué),不再是機(jī)械的知識(shí)傳授過程,而是一種學(xué)生在互動(dòng)中不斷自然生成知識(shí)的過程. 文章以“二元一次不等式(組)與平面區(qū)域”教學(xué)為例,從問題導(dǎo)入、揭示課題、自主探究、加強(qiáng)訓(xùn)練這四個(gè)方面,具體談?wù)勗趫?zhí)教過程中該如何關(guān)注過程教育,以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有序建構(gòu).
[關(guān)鍵詞] 教學(xué)過程;過程教育;有序建構(gòu)
格式塔理論認(rèn)為,人的認(rèn)知活動(dòng)過程并非對(duì)各種經(jīng)驗(yàn)要素的簡(jiǎn)單集合,而是對(duì)事物的各個(gè)部分與相互關(guān)系形成整體性的理解. 新課標(biāo)也明確提出新知的建構(gòu)離不開過程教育的支撐. 但是,當(dāng)前仍有不少教師只將眼光放在學(xué)生對(duì)結(jié)論的掌握程度上,而忽視了過程教育的重要性,甚至出現(xiàn)了知識(shí)建構(gòu)雜亂無章的情況.
鑒于此,筆者以“二元一次不等式(組)與平面區(qū)域”教學(xué)為例,具體談?wù)勗趫?zhí)教過程中,該如何關(guān)注過程教育,以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有序建構(gòu).
教學(xué)簡(jiǎn)錄
1. 問題導(dǎo)入
俗話說:“良好的開端是成功的一半.”課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)在一節(jié)課中具有重要意義,它不僅能讓學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)方向,還能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,以最好的狀態(tài)進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)[1]. 本節(jié)課所涉及的內(nèi)容比較抽象,故筆者結(jié)合問題情境,利用多媒體,提出“問題串”,在短時(shí)間內(nèi)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).
師:生活中,常會(huì)遇到一些有限資源合理分配利用的問題,遇到這種情況,我們要如何做才能達(dá)到最優(yōu)的分配效果呢?
PPT呈現(xiàn):某單位計(jì)劃生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)甲類產(chǎn)品每噸需要用4噸A種原料,12噸B種原料,可獲得2萬元的利潤(rùn);生產(chǎn)乙類產(chǎn)品每噸需要用1噸A種原料,9噸B種原料,可獲得1萬元的利潤(rùn). 目前倉庫有10噸A種原料,60噸B種原料,怎么安排生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)?
引導(dǎo)性“問題串”:
(1)問題中提到的“怎么安排生產(chǎn)”是什么意思?安排生產(chǎn)誰?(變量設(shè)定)
(2)本題涉及的利潤(rùn)和甲乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量具有怎樣的關(guān)系?(目標(biāo)函數(shù))
(3)所設(shè)變量x,y被什么條件制約?(列表,寫不等式)
(4)本題信息量大,我們可以借助什么分析數(shù)據(jù)?(PPT呈現(xiàn)表1)
解:設(shè)甲乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y噸,所產(chǎn)生的利潤(rùn)為P萬元,那么實(shí)數(shù)x,y滿足12x+9y≤60,
4x+y≤10,
x≥0,
y≥0①,利潤(rùn)P=2x+y②.
師:觀察此問提煉出的模型,這是一類在一定條件的限制下,與x,y相關(guān)的代數(shù)式最值問題,也是本章節(jié)重點(diǎn)研究的內(nèi)容之一.
設(shè)計(jì)說明:從系統(tǒng)化的角度展示一個(gè)完整的問題情境,讓學(xué)生從中感知待學(xué)知識(shí)的必要性與實(shí)用性,本節(jié)課的教學(xué)主題也自然而然地呈現(xiàn)在學(xué)生的視野中.
2. 揭示課題
師:觀察關(guān)于x,y的限制條件,我們將前面兩個(gè)不等式稱為什么?
生1:二元一次不等式.
師:非常好!現(xiàn)在大家觀看PPT上呈現(xiàn)的重點(diǎn)內(nèi)容. (PPT展示二元一次不等式與二元一次不等式組的概念)
師:大家能解出4x+y≤10嗎?
(學(xué)生解題,教師總結(jié)解的結(jié)構(gòu)特征)
PPT呈現(xiàn):二元一次不等式(組)的各組解都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的x,y值,而且x,y值還能組成有序數(shù)對(duì)(x,y),所有類似于此的有序數(shù)對(duì)(x,y)所構(gòu)成的集合,我們稱為二元一次不等式(組)的解集.
師:我們一起來觀察一下,不等式4x+y≤10的解集可以用{(x,y)
4x+y-10≤0}來表示,顯然,能滿足不等式組①的解有無數(shù)個(gè). 我們需要將所有解都代入目標(biāo)等式②進(jìn)行運(yùn)算嗎?
生2:這是不可能完成的工作.
師:確實(shí),從代數(shù)的角度出發(fā),將每個(gè)解都代入目標(biāo)等式進(jìn)行運(yùn)算是不現(xiàn)實(shí)的,也沒有這個(gè)必要. 這就要求我們換一個(gè)角度來研究該不等式(組). 眾所周知,二元一次不等式(組)的每組解均可構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),從這個(gè)角度來分析,我們可以看到它具有怎樣的幾何意義?
當(dāng)學(xué)生討論后,教師將總結(jié)的內(nèi)容呈現(xiàn)在PPT上:我們可以將有序?qū)崝?shù)對(duì)理解為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)個(gè)坐標(biāo),那么二元一次不等式(組)的解集可以理解為直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)所組成的集合.
板書:有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)?平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn).
設(shè)計(jì)意圖:通過引例中出現(xiàn)的二元一次不等式(組)介紹相關(guān)概念,既自然又高效. 在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生通過舉例感知代數(shù)法在解題中存在的障礙,從而轉(zhuǎn)化思維角度,從幾何方向去研究二元一次不等式(組),這種轉(zhuǎn)變自然、流暢,不論從學(xué)生的心理角度還是情感角度,都能有效激發(fā)學(xué)生的探究熱情,為接下來教學(xué)做鋪墊.
3. 自主探究
師:我們依然來觀察4x+y≤10這個(gè)不等式,很顯然,該不等式與“4x+y<10或4x+y=10”是等價(jià)的. 對(duì)于4x+y=10的幾何意義大家比較清楚,誰來說一說?
生3:4x+y=10即y=-4x+10,該一次函數(shù)的圖像為一條直線.
師:很好!4x+y=10的解集為{(x,y)
4x+y-10=0}?直線y=-4x+10上的點(diǎn)組成的集合.
預(yù)設(shè):若學(xué)生沒有想到從一次函數(shù)的角度來分析這個(gè)問題,可讓學(xué)生先將滿足該方程的若干組解寫出來,要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出這些解的坐標(biāo)點(diǎn),然后通過觀察引發(fā)猜想. 教師引導(dǎo)學(xué)生從一次函數(shù)的角度來解讀該現(xiàn)象,既可提高教學(xué)效率,又能促進(jìn)學(xué)生思維的有效生長(zhǎng)(描點(diǎn)的過程可借助幾何畫板操作).
此處即本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn),可分為以下幾個(gè)階段進(jìn)行研究.
【階段1】? 師生協(xié)作,初步感知.
問題1:思考不等式4x+y<10的解集與哪些點(diǎn)組成的集合相對(duì)應(yīng).
要求學(xué)生分組討論,而后各組將結(jié)論展示交流.
預(yù)設(shè):(1)不等式4x+y<10的解集與直線y=-4x+10左下方的點(diǎn)組成的集合相對(duì)應(yīng).
(2)不知道.
當(dāng)學(xué)生表示“不知道”時(shí),教師可結(jié)合學(xué)生認(rèn)知提出問題,以輔助學(xué)生思考,如能否寫出該不等式的一些解?這些解的坐標(biāo)點(diǎn)位于平面直角坐標(biāo)系的什么位置,存在怎樣的分布特征?
隨著這些啟發(fā)性問題的引導(dǎo),學(xué)生經(jīng)歷書寫解、描點(diǎn)、猜想等過程(描點(diǎn)可借助幾何畫板操作). 低起點(diǎn)、小步子的引導(dǎo)過程,讓學(xué)生的思維由淺入深逐步向前,對(duì)問題產(chǎn)生直觀認(rèn)識(shí)與理解. 這種教學(xué)效果,是教師直接呈現(xiàn)結(jié)論無法比擬的.
問題2:不等式4x+y<10的解集與直線y=-4x+10左下方的點(diǎn)組成的集合相對(duì)應(yīng)的理由是什么?
取任意滿足不等式4x+y<10的點(diǎn)P(x,y),均有y<-4x+10,從單因子變量控制法出發(fā),取直線y=-4x+10上橫坐標(biāo)亦是x的點(diǎn)P′(x,y′),因?yàn)閥′=-4x+10,所以y 問題3:是不是直線y=-4x+10的左下方所有點(diǎn)的坐標(biāo),均滿足不等式4x+y<10?存在不滿足的點(diǎn)嗎? 探索步驟1:師生一起,借助幾何畫板在直線y=-4x+10的左下方任意取點(diǎn),同時(shí)觀察代數(shù)式的符號(hào)情況,讓學(xué)生從直觀上形成一定的感知,然后實(shí)施論證,這種一般性的論證過程,無須過分追求嚴(yán)謹(jǐn). 探究步驟2:在直線y=-4x+10的左下方任意取點(diǎn)P(x,y),直線y=-4x+10上一直有一個(gè)橫坐標(biāo)相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,-4x+10),由于點(diǎn)P的位置在直線y=-4x+10的左下方,所以y<-4x+10,即4x+y<10. 由此可確定直線y=-4x+10的左下方的任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)一定滿足不等式4x+y<10. 此時(shí),教師再次將不等式4x+y<10的解集板書于黑板上,并著重強(qiáng)調(diào)不等式解集與相應(yīng)的平面區(qū)域的等價(jià)關(guān)系存在哪兩層意義,以加深學(xué)生的印象,讓學(xué)生更加深刻地理解這部分內(nèi)容. 【階段2】? 深化理解,完整建構(gòu). 問題4:4x+y-10>0是指哪些點(diǎn)所組成的區(qū)域? 預(yù)設(shè):(1)從問題本身的角度進(jìn)行判斷. (2)從補(bǔ)集的角度進(jìn)行分析,4x+y-10>0是由直線y=-4x+10右上方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域. 教師通過幾何畫板演示,拖動(dòng)平面內(nèi)的點(diǎn),讓學(xué)生在直觀圖像的變化中,感知4x+y-10的符號(hào)(大于0,小于0,等于0)會(huì)發(fā)生怎樣的變化. 從補(bǔ)集的角度分析并板書如下: U={(x,y) x∈R,y∈R}?坐標(biāo)平面;A={(x,y) 4x+y-10=0}?直線4x+y-10=0;B={(x,y) 4x+y-10<0}?直線4x+y-10=0的左下方區(qū)域;C(A∪B)={(x,y) 4x+y-10>0}?直線4x+y-10=0的右上方區(qū)域. 小結(jié):(1)4x+y-10>0與4x+y-10<0表示的是直線4x+y-10=0不含邊界線的一側(cè)區(qū)域; (2)換表達(dá)方式,即直線4x+y-10=0不含邊界的某一側(cè)區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)的坐標(biāo),必然滿足4x+y-10>0或4x+y-10<0(必滿足其一). 因此,把直線4x+y-10=0一側(cè)(不含邊界線)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都代入4x+y-10,獲得的結(jié)果要么均大于0,要么均小于0,也就是符號(hào)必定相同;而把不同側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入式子,獲得的結(jié)果的符號(hào)必定是相異的. 板書:在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出直線4x+y-10=0的不同區(qū)域(左下或右上),可體現(xiàn)出直線、方程、不等式、平面區(qū)域的對(duì)應(yīng)關(guān)系. (借助幾何畫板展示圖像) 【階段3】? 實(shí)際應(yīng)用,深化理解. 問題5:在草稿紙上畫出x+y≥0所表示的平面區(qū)域. 設(shè)計(jì)意圖:鞏固以上探究活動(dòng)的成果,引導(dǎo)學(xué)生在自主操作中尋找探究規(guī)律與方法,為提煉從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想做鋪墊. (學(xué)生自主探究) 師:從以上探究過程來看,大家基本得到了以下結(jié)論. (1)Ax+By+C>0(<0)代表直線Ax+By+C=0的某一側(cè)區(qū)域; (2)具體判斷該區(qū)域位于哪一側(cè),可結(jié)合以上兩個(gè)問題(問題4、問題5)的結(jié)論進(jìn)行判斷:①代點(diǎn)檢驗(yàn),這種方法的檢驗(yàn)依據(jù)是“同側(cè)同號(hào)、異側(cè)異號(hào)”;②將問題轉(zhuǎn)化成y>ax+b或y 設(shè)計(jì)意圖:逐層深入的三個(gè)探究階段的應(yīng)用,能讓學(xué)生明晰探究過程與思路. 從直線與一次函數(shù)相對(duì)應(yīng)的關(guān)系著手分析,學(xué)生更容易接受,這為順利展開探究互動(dòng)奠定了基礎(chǔ). 遇到教學(xué)難點(diǎn)時(shí),教師并沒有應(yīng)用“注入式”教學(xué)方法,而是結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn),順學(xué)而導(dǎo). 主要表現(xiàn)在平面區(qū)域分割關(guān)系和集合互補(bǔ)關(guān)系對(duì)應(yīng)處,有效地增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解. 關(guān)于不等式所表示的區(qū)域位于平面內(nèi)直線的哪個(gè)位置的問題,教師并沒有直接將其拋給學(xué)生,而是鼓勵(lì)學(xué)生自主探究實(shí)踐后得以感知、體會(huì)并感悟,這種教學(xué)設(shè)計(jì)不僅遵循了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“以生為本”“學(xué)生是教學(xué)的主體”等理念,還與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律相吻合,更利于學(xué)生接納與吸收. 4. 加強(qiáng)訓(xùn)練 練習(xí):(1)嘗試畫出以下不等式(組)所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域. ①2x-y+3<0; ②x≥0; ③3x+y≤10, 12x+8y≤60, x≥0, y≥0; ④(3x+y)x≥0. (2)寫出圖1、圖2所示的平面區(qū)域(陰影部分,包含邊界)對(duì)應(yīng)的不等式(組). (3)已知點(diǎn)(1,2),(3,-1)均位于直線x+y-m=0的同一側(cè),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (4)經(jīng)過本節(jié)課的探索,獲得不等式組12x+9y≤60, 4x+y≤10, x≥0, y≥0的解集與相應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)為對(duì)應(yīng)關(guān)系,當(dāng)我們獲得相應(yīng)的平面區(qū)域后,該如何求出最大的利潤(rùn)呢? 設(shè)計(jì)意圖:從問題的正反兩面進(jìn)行分析,不僅緊扣主題,還揭示了本節(jié)課所涉及的數(shù)形結(jié)合思想. 一個(gè)個(gè)問題的突破,不僅鞏固了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),還讓學(xué)生的思維隨著問題的深入而發(fā)展,為后繼教學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ). 完成以上教學(xué)環(huán)節(jié)后,教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧、梳理、總結(jié)知識(shí)內(nèi)容,并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平設(shè)計(jì)分層作業(yè),讓每個(gè)水平層次的學(xué)生都能在相應(yīng)的作業(yè)中提升能力(具體過程略). 教學(xué)分析 1. 新知引入,自然流暢 課堂導(dǎo)入從知識(shí)的系統(tǒng)性出發(fā),站在章節(jié)的角度應(yīng)用一個(gè)畫圖方便、內(nèi)容真實(shí)的問題吸引學(xué)生的注意力,成功將生活與知識(shí)銜接起來,讓學(xué)生從心理與情感上自然而然地對(duì)本節(jié)課教學(xué)產(chǎn)生親近感. 這種導(dǎo)入方式有效激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突,將學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性充分調(diào)動(dòng)了起來. 2. 過程推進(jìn),清晰明朗 想要讓學(xué)生接納新知,僅讓學(xué)生知道問題的結(jié)論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 學(xué)生只有做到知其然且知其所以然,才能從真正意義上內(nèi)化并建構(gòu)新知. 帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)知識(shí)的形成與發(fā)展過程,一環(huán)接一環(huán)的問題設(shè)置等,是促進(jìn)知識(shí)自然生成的必經(jīng)之路[2]. 本節(jié)課,教師以數(shù)形結(jié)合思想為主,逐步推進(jìn)學(xué)生建立二元一次不等式(組)與平面區(qū)域的對(duì)應(yīng)關(guān)系,整個(gè)過程目標(biāo)明確、層次分明、思路清晰,學(xué)生的思維由淺入深地發(fā)展. 在解決問題的引導(dǎo)上,教師從學(xué)情出發(fā),預(yù)設(shè)多種方案,從真正意義上實(shí)現(xiàn)了因勢(shì)利導(dǎo)的教學(xué)模式. 貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的一個(gè)個(gè)問題,讓整個(gè)課堂如行云流水般自然、流暢,有效地提高了課堂教學(xué)效率. 3. 關(guān)注難點(diǎn),過程體驗(yàn) 針對(duì)教學(xué)難點(diǎn),本節(jié)課并沒有應(yīng)用傳統(tǒng)的說教、重復(fù)、灌輸?shù)确绞?,而是將教學(xué)難點(diǎn)分解成三個(gè)具有一定梯度的層次進(jìn)行教學(xué),讓學(xué)生在每個(gè)階段中體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程,同時(shí)在實(shí)踐操作中自發(fā)感悟知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律,深刻理解操作規(guī)則與方法. 4. 達(dá)成目標(biāo),深化應(yīng)用 一般數(shù)學(xué)原理、規(guī)則等的應(yīng)用,遵循正向、逆向、變式等原則. 本節(jié)課中,教師基本完成教學(xué)任務(wù)后,也是從這幾點(diǎn)原則進(jìn)行應(yīng)用設(shè)計(jì)的. 這種設(shè)計(jì)模式不僅讓全體學(xué)生都獲得了不同程度的發(fā)展,還闡明了看待問題的視角,有效培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識(shí). 總之,教無定法. 對(duì)于每個(gè)教師來說,不論面對(duì)怎樣的學(xué)生群體,授課內(nèi)容是什么,都應(yīng)從“為什么學(xué)”“怎么學(xué)”“怎么用”的角度出發(fā),積極思索,讓每個(gè)學(xué)生都能在學(xué)習(xí)過程中建構(gòu)新知,獲得各項(xiàng)能力的提升. 參考文獻(xiàn): [1]? 史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2016,25(04):1-16+46. [2]? 弗賴登塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)[M]. 劉意竹,楊剛,譯. 上海:上海教育出版社,1999. 作者簡(jiǎn)介:楊世剛(1983—),本科學(xué)歷,中小學(xué)一級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.