淺析“理論力學(xué)”中的牽連速度與牽連加速度

王沿朝，謝惠祥，郭劍峰，杜海霞

（火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025）

“理論力學(xué)”是大學(xué)工科專業(yè)非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，其架起了大學(xué)基礎(chǔ)課與專業(yè)課之間的橋梁［1-3］。“理論力學(xué)”主要研究的是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律，其內(nèi)容包含靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)三個(gè)部分［4-5］。點(diǎn)的加速度合成定理是運(yùn)動(dòng)學(xué)篇章中的重點(diǎn)及難點(diǎn)內(nèi)容之一，也是后續(xù)動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。然而，在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)員普遍反映該部分內(nèi)容不易理解，尤其是對(duì)于牽連運(yùn)動(dòng)包含轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度定理，需要很長(zhǎng)時(shí)間才能真正領(lǐng)悟其中的奧義。究其原因，主要是因?yàn)閷W(xué)員對(duì)牽連速度和牽連加速度的定義性質(zhì)理解不透徹及教材中所給出的牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度之間的理論關(guān)系不清晰所致［6-8］。鑒于此，本文將從牽連速度與牽連加速度的基本定義出發(fā)，并以具體案例為牽引，著重闡述牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度之間的本質(zhì)差異，并進(jìn)一步建立牽連速度與牽連加速度間的統(tǒng)一關(guān)系。通過(guò)本文的研究，以期能在課堂教學(xué)中更好地引導(dǎo)學(xué)員理解和掌握點(diǎn)的加速度合成定理的內(nèi)容，為學(xué)員學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并在此過(guò)程中逐步培養(yǎng)學(xué)員的力學(xué)思維與科學(xué)探索精神。

一、牽連速度與牽連加速度的定義性質(zhì)

在研究點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，一般將動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)分解為其相對(duì)于動(dòng)參考系（固定在相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)的參考體上的參考系）的相對(duì)運(yùn)動(dòng)及隨著動(dòng)參考系的牽連運(yùn)動(dòng)［9-10］。在研究點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，所涉及的基本概念較多，其中主要包括動(dòng)點(diǎn)、定參考系、動(dòng)參考系、相對(duì)運(yùn)動(dòng)、絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)、相對(duì)速度、絕對(duì)速度、牽連速度、相對(duì)加速度、絕對(duì)加速度和牽連加速度等。其中，相對(duì)運(yùn)動(dòng)和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)所研究的是動(dòng)點(diǎn)，相關(guān)的物理量物理意義明確，研究起來(lái)相對(duì)較為簡(jiǎn)單。而牽連運(yùn)動(dòng)的研究對(duì)象是剛體，對(duì)于牽連速度和牽連加速度的求解還需要引入牽連點(diǎn)的概念，因此就使得相關(guān)問(wèn)題的研究變得復(fù)雜起來(lái)。下面，本節(jié)將著重對(duì)其中的牽連速度和牽連加速度進(jìn)行闡述和剖析，以期引導(dǎo)學(xué)員厘清牽連速度與牽連加速度的本質(zhì)差異。

在教材中，將動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)（即牽連點(diǎn)）的速度和加速度分別定義為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度［4］。由于動(dòng)點(diǎn)的牽連速度與牽連加速度都是相對(duì)于定參考系而言的，因此，對(duì)于這二者的定義，筆者及所在教學(xué)組在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)員都會(huì)誤認(rèn)為牽連速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)即可得到牽連加速度，并因此對(duì)教材中的推導(dǎo)過(guò)程產(chǎn)生了一系列的疑問(wèn)與困惑。下面我們以具體案例為出發(fā)點(diǎn)，來(lái)探究牽連速度與牽連加速度的本質(zhì)關(guān)系。

如圖1（a）所示，在直桿AB上有一動(dòng)點(diǎn)沿桿運(yùn)動(dòng)，桿同時(shí)繞著A軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。其中動(dòng)參考系與桿AB固連。假設(shè)在初始時(shí)刻t0，動(dòng)點(diǎn)位于桿上的M處，其牽連速度為，相對(duì)速度為。在經(jīng)過(guò)一個(gè)很短的時(shí)間間隔Δt之后，直桿AB繞著A軸轉(zhuǎn)動(dòng)到新的位置AB′，此時(shí)，動(dòng)點(diǎn)沿著直桿運(yùn)動(dòng)到M′位置處，這時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的牽連速度為，相對(duì)速度為。因此，根據(jù)教材中的定義，牽連速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得［4］：

圖1 運(yùn)動(dòng)分析示例圖

對(duì)于上式，需要提醒學(xué)員注意的是，在初始時(shí)刻t0和末時(shí)刻t0+Δt，動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)并不是同一個(gè)點(diǎn)。也就是說(shuō)，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的存在，在t0時(shí)刻和t0+Δt時(shí)刻，牽連點(diǎn)已經(jīng)發(fā)生了改變，在t0時(shí)刻的牽連點(diǎn)經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt之后運(yùn)動(dòng)到了M1處，見(jiàn)圖1（b）所示，而實(shí)際上，在t0+Δt時(shí)刻，新的牽連點(diǎn)位于M′位置處，見(jiàn)圖1（a）所示。因此，牽連速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表示的是兩個(gè)不同的牽連點(diǎn)的速度相對(duì)于時(shí)間的變化率。

若動(dòng)點(diǎn)與桿AB之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)將由M運(yùn)動(dòng)至M1處，見(jiàn)圖1（b），此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的牽連速度應(yīng)為。因此，根據(jù)定義，動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度可表示為：

上式的物理意義即為某瞬時(shí)該牽連點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率，其所研究的對(duì)象即為同一牽連點(diǎn)。因此，由上文的分析可知，和所表示的物理意義并不相同。其中，表達(dá)式中隱含了由于牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)改變而引起的牽連速度的變化，該點(diǎn)是學(xué)員最容易忽視并引起混淆的地方，教員在授課過(guò)程中應(yīng)當(dāng)著重予以說(shuō)明。實(shí)際上，對(duì)式（1）進(jìn)一步分解可得：

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)員觀察上式并與式（2）進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，式（3）中等式右邊第二項(xiàng)即為牽連加速度的表達(dá)式，而第一項(xiàng)則反映了牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)發(fā)生改變而導(dǎo)致的牽連速度的變化情況。

二、牽連速度與牽連加速度關(guān)系的統(tǒng)一推導(dǎo)

由前面的分析可以知道，動(dòng)點(diǎn)的牽連速度與牽連加速度之間的關(guān)系較為復(fù)雜，因此，本節(jié)將從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，來(lái)推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)的牽連速度與牽連加速度之間的統(tǒng)一關(guān)系。

由“理論力學(xué)”運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)包含轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的牽連速度可表示為：

因此，式（1）也同樣可以表示為：

將式（6）代入式（5）進(jìn)一步整理可得：

基于牽連加速度的定義和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，可將動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度表示為：

通過(guò)前述推導(dǎo)，式（9）即給出了牽連速度與牽連加速度之間的關(guān)系，且該式對(duì)牽連運(yùn)動(dòng)為任意形式的運(yùn)動(dòng)均適用。由式（9）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，式中動(dòng)參考系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的大小為0，表明此時(shí)牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度是相等的。而當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)包含轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度不再相等，其中，反應(yīng)為科氏加速度的一部分［12-13］。

此外，通過(guò)進(jìn)一步對(duì)比式（9）和式（3）還可以得到如下表達(dá)式：

式（10）即表明牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)改變而引起的牽連速度的變化等于動(dòng)參考系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與相對(duì)速度的叉乘。對(duì)于式（10），我們同樣可以通過(guò)以下過(guò)程予以證明。

因此有：

結(jié)語(yǔ)

點(diǎn)的加速度合成定理是“理論力學(xué)”運(yùn)動(dòng)學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容之一，然而，鑒于其中涉及基本概念多，公式推導(dǎo)復(fù)雜，且低年級(jí)學(xué)員對(duì)剛體復(fù)雜空間運(yùn)動(dòng)的理解和想象能力較差等因素的制約，使得學(xué)員在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)容易產(chǎn)生理解上的偏差，并對(duì)這部分內(nèi)容的掌握不夠牢固。因此，本文從動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度的定義性質(zhì)出發(fā)，并以實(shí)際案例為牽引，著重分析了牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度的概念性質(zhì)之間的差異。在此基礎(chǔ)上，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本知識(shí)出發(fā)，進(jìn)一步推導(dǎo)了牽連速度與牽連加速度之間的統(tǒng)一關(guān)系，明確了牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)發(fā)生改變而導(dǎo)致的牽連速度的變化對(duì)牽連速度導(dǎo)數(shù)的影響。筆者及所在教學(xué)組將本文研究?jī)?nèi)容應(yīng)用于課堂教學(xué)實(shí)踐后，在“理論力學(xué)”課程中點(diǎn)的加速度合成定理內(nèi)容的教學(xué)效果有明顯提升。學(xué)員普遍反映更容易理解和掌握該節(jié)的知識(shí)要點(diǎn)，尤其是對(duì)其中牽連速度的導(dǎo)數(shù)和牽連加速度的內(nèi)在含義更加明晰。此外，本文的研究也可讓學(xué)員意識(shí)到對(duì)力學(xué)重要概念的理解和探索要從源頭出發(fā)，有助于培養(yǎng)學(xué)員縝密的邏輯思維能力與創(chuàng)新思維能力。