龐維煦 李寧 黃孝龍 康楊 李燦 范旭東 翁春生

(南京理工大學(xué),瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210094)

為探究基于激光吸收光譜技術(shù)的燃燒場(chǎng)二維測(cè)量光路布置方式,實(shí)現(xiàn)有限投影下更精確的燃燒場(chǎng)二維重建,根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論,提出一種基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的光路優(yōu)化方法.將經(jīng)典的整數(shù)階Tikhonov 正則化推廣到分?jǐn)?shù)階模式,建立了基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù).利用遺傳算法分析(0,1)范圍內(nèi)不同階數(shù)的計(jì)算結(jié)果,得到最佳光路布置方式.采用近紅外波段7185.6 cm–1 的H2O 特征吸收譜線結(jié)合20 條測(cè)試光路對(duì)10×10 離散化網(wǎng)格區(qū)域進(jìn)行計(jì)算,對(duì)比分析五種光路布置方式對(duì)多種分布模型的重建結(jié)果,結(jié)果表明,基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的光路布置方式具有最佳重建效果.研究結(jié)果對(duì)有限投影條件下激光吸收光譜二維測(cè)量光路的優(yōu)化設(shè)計(jì)理論研究具有重要意義,可以促進(jìn)激光吸收光譜技術(shù)在復(fù)雜發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒場(chǎng)二維重建及燃燒效率提升方面的應(yīng)用.

1 引言

可調(diào)諧二極管激光吸收光譜技術(shù)(tunable diode laser absorption spectroscopy,TDLAS)作為一種非接觸測(cè)量手段,它通過穿過待測(cè)介質(zhì)的激光束實(shí)現(xiàn)對(duì)流場(chǎng)溫度、組分濃度及速度等參數(shù)的在線監(jiān)測(cè),具有測(cè)量靈敏度高、抗噪聲干擾能力強(qiáng)、流場(chǎng)適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在發(fā)動(dòng)機(jī)性能測(cè)試中發(fā)揮重要作用[1?4].受該技術(shù)的視線特性以及燃燒場(chǎng)不均勻分布的限制,需要結(jié)合斷層掃描技術(shù)對(duì)測(cè)量光路系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)對(duì)燃燒場(chǎng)組分濃度或溫度的二維分布測(cè)量,從而使TDLAS 技術(shù)更加廣泛應(yīng)用在發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒診斷、工業(yè)過程控制、環(huán)境傳感測(cè)量等領(lǐng)域[5?8].

測(cè)量空間有限導(dǎo)致待測(cè)區(qū)域離散化網(wǎng)格數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于測(cè)量系統(tǒng)可布置的光路數(shù)量.只有很少一部分離散化網(wǎng)格內(nèi)有光線通過.由于“無(wú)光路”網(wǎng)格數(shù)量較多,光路投影角度不完備,且各角度下光路投影數(shù)目較少,燃燒場(chǎng)的二維重建屬于病態(tài)方程組求解問題.常采用迭代求解算法對(duì)該類問題進(jìn)行迭代求解,如代數(shù)迭代算法、最大似然-期望最大化算法、最小二乘QR 分解算法等,或采用模擬退火算法、遺傳算法、Levenburg-Maquardt 算法等搜索算法迭代搜索最優(yōu)解.但是這兩類算法往往因其局限性而不能得到很好的解,對(duì)后續(xù)重建工作帶來(lái)較大誤差.Tikhonov 正則化方法為此類問題的求解提供一個(gè)很好的思路,以適當(dāng)正則化參數(shù)和正則化矩陣來(lái)控制方程解的平滑性,得到唯一正則解.Tikhonov 正則化策略可以得到較好的燃燒場(chǎng)參數(shù)分布情況,還可以結(jié)合截?cái)嗥娈愔捣纸馑惴ㄟM(jìn)行數(shù)學(xué)分析,截去引起解不穩(wěn)定的小奇異值,降低原方程組病態(tài)性,提高原方程組解的穩(wěn)定性.

TDLAS 光路系統(tǒng)的優(yōu)化是燃燒場(chǎng)二維重建的關(guān)鍵,研究人員從不同角度展開了深入研究.平行光路[9?16]、扇形光路[3,12,17,18]是常見的規(guī)則TDLAS光路布置方式,但這兩類規(guī)則光路布置方式在有限的投影數(shù)量下對(duì)燃燒場(chǎng)的重建具有較大限制,無(wú)法保證重建精度.理論上,增加光路數(shù)量會(huì)提高燃燒場(chǎng)二維重建質(zhì)量.但在實(shí)際測(cè)試中,光路數(shù)量往往受限于激光器數(shù)量及測(cè)試環(huán)境,從而影響規(guī)則TDLAS 光路布置方式的重建效果.

部分學(xué)者對(duì)不規(guī)則光路布置方式進(jìn)行研究,進(jìn)而提升有限投影數(shù)量下的激光吸收光譜二維重建能力.Terzija等[15]提出使用正弦圖幾何坐標(biāo)對(duì)穿過發(fā)動(dòng)機(jī)氣缸的27 條不規(guī)則成像光路進(jìn)行優(yōu)化,盡管他們進(jìn)行了定量重建實(shí)驗(yàn),但文中對(duì)于該方法的數(shù)學(xué)理論分析提及較少.宋俊玲等[19]定義每個(gè)離散網(wǎng)格內(nèi)穿過的光路數(shù)量為權(quán)值因子,以溫度場(chǎng)重建結(jié)果均方誤差作為光路分布的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn),并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了不規(guī)則光路布置方式的重建性能.Tsekenis等[20]尋找光路優(yōu)化的“無(wú)觀察者”特征,得到最小空間分辨率,為TDLAS 光路布置方式的優(yōu)化提供了一個(gè)較好的思路.Yu等[21]以最小化矩陣向量正交度建立優(yōu)化函數(shù),不斷減小投影光路相關(guān)性,使光路可以攜帶更多測(cè)量數(shù)據(jù).根據(jù)宋俊玲等[22]提出的虛擬光線重建方法,那奕君等[23]采用不規(guī)則光路布置方式,以多角度再投影對(duì)病態(tài)方程組進(jìn)行二次求解,提高了二維重建精度.Grauer等[24]基于Bayesian 原理提出估計(jì)后驗(yàn)協(xié)方差矩陣的光路優(yōu)化方法,結(jié)合單一正則化參數(shù)的Tikhonov正則化推導(dǎo)出光路優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式,仿真結(jié)果表明該方法可以衡量二維重建誤差.Twynstra 和Daun[25]依據(jù)Tikhonov 正則化理論,推導(dǎo)出基于單一正則化參數(shù)的光路設(shè)計(jì)函數(shù).根據(jù)光路矩陣奇異值分布判斷正則化參數(shù)的選取范圍,并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的正確性.李寧等[26]提出基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的TDLAS 光路優(yōu)化算法,理論推導(dǎo)出光路設(shè)計(jì)函數(shù),采用遺傳算法獲得優(yōu)化后的光路布置方式.該算法采用正則化參數(shù)矩陣調(diào)節(jié)正則解的平滑度,但在優(yōu)化過程中還需要更加注意方程解的數(shù)據(jù)細(xì)節(jié).

有限投影數(shù)據(jù)很難精確重建燃燒場(chǎng),因此基于Tikhonov 正則化方法的光路系統(tǒng)在優(yōu)化過程中更應(yīng)關(guān)注方程組解的細(xì)節(jié)信息.本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的燃燒場(chǎng)二維重建光路設(shè)計(jì)方法,引入階數(shù)改善了正則解過于平滑的缺點(diǎn),在系數(shù)矩陣奇異值的保留上進(jìn)行優(yōu)化,進(jìn)一步提高重建質(zhì)量.理論推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化光路設(shè)計(jì)函數(shù),通過遺傳算法選擇最佳階數(shù),得到最佳光路布置方式.通過對(duì)不同模型及不同光路對(duì)比分析,驗(yàn)證基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式的重建效果.該方法可為基于TDLAS技術(shù)的燃燒場(chǎng)重建光路設(shè)計(jì)提供一定理論求解思路,對(duì)復(fù)雜燃燒場(chǎng)二維重建具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用前景.

2 TDLAS 光路設(shè)計(jì)方法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化二維重建原理分析

可調(diào)諧激光器發(fā)射出波長(zhǎng)為ν的激光穿過待測(cè)氣體區(qū)域,激光能量被氣體吸收并產(chǎn)生衰減效應(yīng),其規(guī)律滿足Beer-Lambert 定律:

其中I0與It為激光穿過待測(cè)氣體前后的強(qiáng)度;ν為波長(zhǎng);X為待測(cè)區(qū)域氣體體積濃度;L為激光在均勻氣體介質(zhì)中的傳播長(zhǎng)度;P為待測(cè)區(qū)域氣體總壓力;α(ν)為氣體吸收系數(shù);φ(ν)為吸收譜線線型函數(shù);S(T)為吸收譜線的線強(qiáng)函數(shù),表示氣體對(duì)光強(qiáng)吸收的強(qiáng)弱程度.圖1 所示為TDLAS 測(cè)量及重建示意圖.

圖1 TDLAS 測(cè)量及重建示意圖Fig.1.Schematic diagram of TDLAS measurement and reconstruction.

在不同角度及位置布置測(cè)試光路,可以得到大量投影數(shù)據(jù),實(shí)現(xiàn)燃燒場(chǎng)的二維診斷.將待測(cè)區(qū)域離散化,得到n個(gè)網(wǎng)格.假定每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)部的氣體溫度均勻分布,通過疊加每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)部的氣體吸收貢獻(xiàn)值從而得到氣體吸收系數(shù).(1)式的離散化形式可以表示為

其中Aij為第i條光路在第j個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的光程長(zhǎng)度;xj為第j個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的吸收系數(shù);bi為第i條光路測(cè)量得到的投影值,為光譜系數(shù)累積值.對(duì)于含有m條光路的測(cè)試系統(tǒng),燃燒場(chǎng)二維重建的關(guān)鍵是求解如下矩陣方程組:

其中A為m×n階吸收系數(shù)矩陣,x為n×1 階未知數(shù)向量,b為m×1 階投影向量.實(shí)際的燃燒場(chǎng)二維重建因測(cè)量空間有限,光路數(shù)m遠(yuǎn)小于網(wǎng)格數(shù)n,因此TDLAS 二維重建屬于病態(tài)方程組求解問題.

Tikhonov 正則化是求解病態(tài)方程組的有效辦法之一,它通過增加約束條件使(3)式的解存在且唯一.此時(shí)將方程組求解問題轉(zhuǎn)化為求最小值問題:

其中λ為正則化參數(shù),用于控制殘差范數(shù)與解向量范數(shù)的平衡;L為n×n階正則化矩陣,常為單位陣或1 階微分算子.考慮到燃燒場(chǎng)為連續(xù)分布,因此本文中正則化矩陣L采用微分算子形式:

其中k為與第i個(gè)網(wǎng)格相鄰的網(wǎng)格數(shù).

通過數(shù)學(xué)推導(dǎo),(4)式的最小化問題等價(jià)于求如下正則化線性方程組的解:

因?yàn)榉疥嘇TA為半正定矩陣,且正則化參數(shù)λ非零,(6)式的解可以表示為

2.2 基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的光路設(shè)計(jì)原理

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化,通常情況下其正則解xλ會(huì)表現(xiàn)的過于光滑,即解向量經(jīng)去噪處理后丟失了許多含有較小奇異值的數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)[27].針對(duì)這一不足,Hochstenbach 和Reichel[28]根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論思想,提出一種分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法.本文將該方法應(yīng)用于燃燒場(chǎng)二維重建光路設(shè)計(jì),將(3)式轉(zhuǎn)化為如下最小值問題:

其中參數(shù)α為分?jǐn)?shù)階次,選擇合適的α值可以提高(8)式中解的質(zhì)量.當(dāng)α=1 時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化,此時(shí)W為單位陣.

通過數(shù)學(xué)推導(dǎo),(8)式的分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化最小值問題可以得到如下正態(tài)方程:

由于矩陣ATA為半正定矩陣,通過數(shù)學(xué)計(jì)算后,(10)式的正則解可以表示為

2.3 基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化光路設(shè)計(jì)方法及求解

分析正則解xα與精確解x*之間的誤差δx,進(jìn)一步得到:

其中I為單位矩陣.可以看出,影響誤差δx的直接因素是系數(shù)矩陣A、正則化參數(shù)λ及階數(shù)α.通過合理設(shè)計(jì)光路結(jié)構(gòu)與恰當(dāng)選擇參數(shù),可有效地減小誤差δx.為了進(jìn)一步討論光路結(jié)構(gòu)與激光吸收光譜二維重建的關(guān)系,本文定義F為光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù):

為了優(yōu)化光路布置方式,需要對(duì)非線性方程(13)進(jìn)行求解.遺傳算法是基于生物進(jìn)化理論的自主尋優(yōu)算法,以目標(biāo)函數(shù)值作為搜索信息,從具有多個(gè)個(gè)體的初始群體出發(fā),有效地搜索非必要點(diǎn),能夠得到較為準(zhǔn)確的全局解.(13)式中正則化參數(shù)λ與階數(shù)α均為固定常數(shù).所有參數(shù)選定并固定后,光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)F的變化僅與系數(shù)矩陣A有關(guān),而系數(shù)矩陣A是由光路布置方式所決定,因此非線性方程(13)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)最優(yōu)的光路布置方式.本文采取遺傳算法對(duì)方程(13)進(jìn)行最優(yōu)值求解.圖2 所示為遺傳算法求解最優(yōu)值的流程框圖.

圖2 遺傳算法求解流程框圖Fig.2.Flow chart of genetic algorithm.

本文采用遺傳算法對(duì)20 條光路求解計(jì)算.將目標(biāo)區(qū)域離散化為10×10 網(wǎng)格,以每條光路距離中心的距離及角度弧度值作為未知數(shù),以上下限內(nèi)的隨機(jī)數(shù)作為初始種群,求解光路設(shè)計(jì)函數(shù)方程(13)每一代的最小值.遺傳代數(shù)設(shè)定為2000 代,迭代完成后,輸出最終的F值作為該光路設(shè)計(jì)函數(shù)的最優(yōu)值進(jìn)行保留.F值越小代表正則解越接近初始解,后續(xù)重建效果也更好.

2.4 階數(shù)α 取值范圍的選擇

選定正則化參數(shù)矩陣L與正則化參數(shù)λ后,還需要確定階數(shù)α的取值范圍.

對(duì)投影矩陣A進(jìn)行奇異值分解(SVD),可得

其中UA,VA為左右奇異向量列矩陣;ΣA為矩陣A的奇異值σi所組成的對(duì)角矩陣.將(14)式代入(10)式,可以得到分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化解的表達(dá)形式為

其中(ui,b)表示向量ui與b的內(nèi)積;ui,vi分別為正交陣UA,VA的列向量.

不同正則化方法有不同濾波函數(shù),濾波函數(shù)的收斂情況與解向量的平滑程度緊密相關(guān).定義分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法的濾波函數(shù)為

分析上述濾波函數(shù)的漸近性,可以得到

其中O(·)表示高階無(wú)窮小量.由(17)式可以看出,當(dāng)矩陣A的奇異值逐漸趨于0 時(shí),濾波函數(shù)φtikh,α(δi)也逐漸趨向于0,而φtikh,α(δi)收斂過快是解向量過于光滑的原因.圖3 為奇異值在10–11至103時(shí)濾波函數(shù)隨階數(shù)α變化的曲線圖.

圖3 濾波函數(shù)隨階數(shù)α 的變化Fig.3.Variation of filter function withα order.

由圖3 可知,當(dāng)α取值大于1 時(shí),濾波函數(shù)收斂較快,使得方程組的解過于光滑,導(dǎo)致丟失了許多小奇異值關(guān)聯(lián)的奇異向量,而這些向量反映的是重建數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié).當(dāng)α取負(fù)數(shù)時(shí),濾波函數(shù)在很大奇異值范圍內(nèi)單調(diào)遞減,表明其去噪能力過弱,導(dǎo)致正則解收斂性較差或不收斂,對(duì)后續(xù)二維重建帶來(lái)較大誤差.由此說明階數(shù)α的最佳取值范圍為(0,1).從濾波函數(shù)的漸近性可以看出,相比于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化,分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化收斂速度更慢,即較小奇異值對(duì)應(yīng)的分量被有效保留下來(lái).因此選擇0<α<1,濾波函數(shù)可以提供更合適的平滑度,(10)式得到的解的質(zhì)量會(huì)高于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化.綜上所述,在(0,1)范圍內(nèi)選擇合適的階數(shù)α,可以有效地保留小奇異值對(duì)應(yīng)的奇異向量,抑制較大奇異值對(duì)應(yīng)的分量,提高解向量xα范數(shù)而逼近精確解,使方程組的解可以攜帶更多有效信息,重建結(jié)果更精確.

2.5 正則化參數(shù)λ 的選擇

正則化參數(shù)λ的選擇對(duì)燃燒場(chǎng)的二維重建效果具有重要影響.本文的正則化矩陣L非單位陣,因此不能通過L曲線法等方法確定λ的具體取值.

為了更準(zhǔn)確地選取正則化參數(shù)λ,本文在不同階數(shù)α取值時(shí)對(duì)光路設(shè)計(jì)函數(shù)(13)式進(jìn)行遺傳算法迭代分析,由迭代結(jié)果選取最佳的正則化參數(shù)λ.本文以10×10 離散化網(wǎng)格,20 條光路測(cè)試系統(tǒng)為研究對(duì)象,圖4 為不同階數(shù)下不同正則化參數(shù)的1000 代遺傳算法求解結(jié)果.

從圖4 可以看出,當(dāng)階數(shù)α取不同值時(shí),正則化參數(shù)λ取1 或0.1 時(shí)可以帶來(lái)更小的光路優(yōu)化函數(shù)值.當(dāng)正則化參數(shù)λ取102時(shí),不同階數(shù)下光路優(yōu)化函數(shù)F的值均很大,且很快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),表明過大的正則化參數(shù)λ會(huì)使正則化的作用過于明顯,正則解過于平滑.當(dāng)正則化參數(shù)λ取較小的值時(shí),正則解的平滑程度得到控制,但過小的正則化參數(shù)λ仍不能得到光路優(yōu)化函數(shù)F的最小值,會(huì)帶來(lái)較大的重建誤差.綜合考慮,正則化參數(shù)λ的最優(yōu)取值范圍為(0.1,1),因此本文后續(xù)的重建效果對(duì)比中,λ取0.5.

圖4 不同階數(shù)下正則化參數(shù)取值對(duì)遺傳算法結(jié)果的影響(a)α=0.2;(b)α=0.4;(c)α=0.5;(d)α=0.6;(e)α=0.8;(f)α=1.0Fig.4.Influences of regularization parameters on the genetic algorithm results under different orders:(a)α=0.2;(b)α=0.4;(c)α=0.5;(d)α=0.6;(e)α=0.8;(f)α=1.0.

圖5 所示為遺傳算法對(duì)光路設(shè)計(jì)函數(shù)(13)式求解的最優(yōu)值變化過程,以及對(duì)應(yīng)的光路布置方式圖像.

圖5 光路優(yōu)化函數(shù)的遺傳算法求解Fig.5.Genetic algorithm solution for beam optimization function.

分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化可以得到較好的光路布置方式,進(jìn)而計(jì)算得到燃燒場(chǎng)的溫度與濃度分布情況.本文的研究重點(diǎn)為利用分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法得到有限投影下的光路系統(tǒng),評(píng)估該光路系統(tǒng)的重建效果.為了更好地比較重建結(jié)果,以網(wǎng)格吸收系數(shù)為指標(biāo)對(duì)重建圖像質(zhì)量進(jìn)行對(duì)比分析.定義吸收系數(shù)平均相對(duì)誤差ε,用來(lái)描述重建結(jié)果與初始模型之間對(duì)應(yīng)網(wǎng)格內(nèi)數(shù)據(jù)的平均差異:

式中,N為離散化網(wǎng)格數(shù)目,為模型吸收系數(shù),為計(jì)算得到的吸收系數(shù).誤差ε值越小,表明重建圖像與初始模型匹配度越高,重建質(zhì)量越高.

3 TDLAS 二維重建仿真

3.1 分?jǐn)?shù)階α 的取值選擇

分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法的實(shí)質(zhì)是:通過階數(shù)控制投影方程計(jì)算精度,選擇階數(shù)α以提高方程組解xα范數(shù),進(jìn)一步逼近方程組的精確解,提高光路優(yōu)化函數(shù)的求解精度.根據(jù)(13)式可知,系數(shù)矩陣A的奇異值會(huì)直接影響重建光路的布置方式,因此在(0,1)范圍內(nèi)選擇合適的階數(shù),以該階數(shù)對(duì)應(yīng)光路為最優(yōu)光路布置方式,進(jìn)一步提升重建效果.

為了進(jìn)一步分析階數(shù)α的取值及作用,以20 條光路,10×10 離散化網(wǎng)格為例進(jìn)行討論.在(0,1)范圍內(nèi)選取五個(gè)α值,α=1.0 時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化.圖6 所示為光路優(yōu)化函數(shù)的遺傳算法求解.

由圖6 可以明顯地看出,當(dāng)α=0.4 時(shí),光路優(yōu)化函數(shù)的遺傳算法求解結(jié)果最小,此時(shí)最小的F值對(duì)應(yīng)(10)式的最優(yōu)解,也對(duì)應(yīng)(8)式的最小值.因此,選擇α=0.4 作為最佳階數(shù),可以更好地保留方程組精確解的有效信息,重建質(zhì)量得到提升,同時(shí)選擇該階數(shù)對(duì)應(yīng)的光路進(jìn)行后續(xù)不同光路重建效果的對(duì)比分析.

圖6 不同階數(shù)取值下的光路優(yōu)化函數(shù)求解Fig.6.Solution of beam optimization function under different order values.

3.2 分?jǐn)?shù)階α 取值的影響因素分析

研究不同網(wǎng)格尺寸對(duì)分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化階數(shù)取值的影響.系數(shù)矩陣A的奇異值會(huì)隨著測(cè)量區(qū)域尺寸的增大而增大,正則化參數(shù)λ的值也應(yīng)隨之變化.以上文α=0.4 為最優(yōu)階數(shù),保持該階數(shù)固定不變,改變正則化參數(shù)λ的值,以改變正則項(xiàng)在(10)式中的比重,實(shí)現(xiàn)(13)式更精確的求解.

以1 m 網(wǎng)格為基準(zhǔn),當(dāng)網(wǎng)格邊長(zhǎng)縮小至0.1 m時(shí),正則化參數(shù)的最優(yōu)取值區(qū)間由0.1 至1 縮小為0.01 至0.1.當(dāng)網(wǎng)格邊長(zhǎng)擴(kuò)大至10 m 時(shí),正則化參數(shù)的最優(yōu)取值區(qū)間擴(kuò)大為1 至10.因此可以認(rèn)為當(dāng)網(wǎng)格尺寸發(fā)生變化時(shí),只需將基準(zhǔn)正則化參數(shù)λ與測(cè)量區(qū)域尺寸相乘,從而保證最終階數(shù)的選擇不變.在此基礎(chǔ)上,光路設(shè)計(jì)函數(shù)(13)式可以等價(jià)為如下形式:

其中λα為固定常數(shù),以1 m 測(cè)量區(qū)域尺寸的取值為標(biāo)準(zhǔn);l為測(cè)量區(qū)域網(wǎng)格的邊長(zhǎng).當(dāng)λα固定時(shí),階數(shù)α的取值不會(huì)發(fā)生改變,當(dāng)λα變化時(shí),階數(shù)α的取值會(huì)發(fā)生改變.

另外,測(cè)量區(qū)域的尺寸恒定時(shí),加密網(wǎng)格或增加光路數(shù)量基本不會(huì)改變系數(shù)矩陣A的奇異值,正則化參數(shù)λ的取值不會(huì)隨之發(fā)生變化,因此,不會(huì)影響階數(shù)α的取值.

3.3 基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的光路設(shè)計(jì)與重建效果對(duì)比

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論,利用分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法得到燃燒場(chǎng)重建的光路設(shè)計(jì)函數(shù),結(jié)合遺傳算法可以得到優(yōu)化后的激光吸收光譜二維測(cè)量光路布置方式.為驗(yàn)證該光路布置方式的重建效果,分別與以下光路布置方式得到的重建結(jié)果進(jìn)行對(duì)比:方式(a)2×10 正交光路布置方式;方式(b)4×5 扇形光路布置方式;方式(c)交叉光路布置方式;方式(d)基于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式;方式(e)基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式.圖7 所示為不同光路布置方式的分布情況及其極坐標(biāo)投影點(diǎn).

圖7 五種光路布置方式的空間分布圖與投影點(diǎn)分布圖(a)2×10 正交光路布置方式;(b)4×5 扇形光路布置方式;(c)交叉光路布置方式;(d)基于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式;(e)基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式Fig.7.Spatial distribution and projection point distribution diagram of five beam arrangements:(a)2×10 orthogonal optical path arrangement;(b)4×5 fan-shaped optical path arrangement;(c)cross optical path arrangement;(d)beam arrangement based on standard Tikhonov regularization design;(e)beam arrangement based on fractional Tikhonov regularization design.

選取不同高斯模型為研究對(duì)象,討論不同光路布置方式在不同模型下的重建結(jié)果.將測(cè)量區(qū)域離散化為10×10 網(wǎng)格,選擇燃燒場(chǎng)中的H2O為測(cè)量對(duì)象,選擇其近紅外波段7185.6 cm–1處的特征吸收譜線為測(cè)量譜線,重建模型分別采用單峰高斯分布模型與雙峰高斯分布模型,光路數(shù)量均為20 條.為控制變量,圖7 中的光路布置方式均使用相同正則化參數(shù)(λ=0.5)下的標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化方法,直接計(jì)算得到重建結(jié)果.圖8 與圖9為不同重建模型及不同光路布置方式下的重建結(jié)果圖.

圖8 單峰分布模型與不同光路布置方式的重建結(jié)果圖(a)重建模型;(b)2×10 正交光路布置方式;(c)4×5 扇形光路布置方式;(d)交叉光路布置方式;(e)基于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式;(f)基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式Fig.8.Reconstruction results of unimodal distribution model and different beam arrangements:(a)reconstruction model;(b)2×10 orthogonal beam arrangement;(c)4×5 fan-shaped beam arrangement;(d)cross beam arrangement(e)beam arrangement based on standard Tikhonov regularization design;(f)beam arrangement based on fractional Tikhonov regularization design.

圖9 雙峰分布模型與不同光路布置方式的重建結(jié)果圖(a)重建模型;(b)2×10 正交光路布置方式;(c)4×5 扇形光路布置方式;(d)交叉光路布置方式;(e)基于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式;(f)基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式Fig.9.Reconstruction results of bimodal distribution model and different beam arrangements:(a)Reconstruction model;(b)2×10 orthogonal beam arrangement;(c)4×5 fan-shaped beam arrangement;(d)cross beam arrangement;(e)beam arrangement based on standard Tikhonov regularization design;(f)beam arrangement based on fractional Tikhonov regularization design.

從圖8 可以看出,對(duì)于單峰分布模型,不同光路布置方式得到的重建結(jié)果存在差異.光路布置方式(a)和方式(b)的重建結(jié)果相比其他方式的重建

結(jié)果較差,峰值位置與模型相同,但峰值大小存在明顯偏差,重建誤差分別為0.0974 和0.0633,且在吸收系數(shù)較小的區(qū)域重建誤差更大,如圖8(b)和圖8(c)所示.光路布置方式(c)在光路布置方式(a)的基礎(chǔ)上增加了投影角度,相比前兩種方式,該方式的重建質(zhì)量明顯提升,誤差為0.0503,但重建圖像的峰值大小相比原模型依舊存在較大誤差,如圖8(d)所示.光路布置方式(d)和光路布置方式(e)得到的重建結(jié)果很好,重建結(jié)果的峰值位置和峰值大小均與原模型基本吻合,重建誤差分別為0.0307 與0.0236,但是與重建模型相比,光路布置方式(d)和光路布置方式(e)得到的重建結(jié)果在模型邊界處依然會(huì)有一些網(wǎng)格存在誤差(圖中黑色部分所示),如圖8(e)和圖8(f)所示.

從圖9 可以看出,對(duì)于雙峰分布模型,不同光路布置方式對(duì)應(yīng)的重建結(jié)果具有較大差異.光路布置方式(a)的重建結(jié)果最差,峰值位置與峰值大小均與原模型有較大偏差,重建誤差達(dá)到了0.0485,如圖9(b)所示.方式(a)的正交光路雖然能夠保證每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)部均有光線通過,但投影角度過少,相鄰光線距離過近是其重建誤差較大的原因.后四種光路布置方式均能夠重建得到較準(zhǔn)確的峰值位置.光路布置方式(b)的重建誤差為0.0411,重建結(jié)果如圖9(c)所示.扇形光路增加了投影角度,但相鄰的光線會(huì)重復(fù)穿過同一個(gè)網(wǎng)格,因此重建誤差也較大.對(duì)于光路布置方式(c)而言,該方式將方式(a)改為三角度投影,重建結(jié)果如圖9(d)所示,重建誤差為0.0387,可見重建質(zhì)量相比于方式(a)有了較大提升,但重建峰值大小相比原模型依舊存在較大誤差.這是由于方式(c)的投影角度增加,每個(gè)投影角度上的光線數(shù)量減少且相鄰平行光線之間的距離增加.但該光路布置方式的光路利用率較低,因此需要選擇利用率更高的光路布置方式來(lái)提高重建精度.

基于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化的光路布置方式(d)和基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的光路布置方式(e)對(duì)應(yīng)的重建結(jié)果較好,重建得到的圖像峰值位置與原模型較為吻合,峰值大小更接近原模型,二者的重建誤差分別為0.0336 與0.0228,如圖9(e)和圖9(f)所示.相比之下,基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化的光路布置方式得到的重建效果更加理想.該方法在標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化的基礎(chǔ)上,在AAT的偽逆中引入階數(shù)α可以有效地保留投影矩陣較小的奇異值,使計(jì)算得到的光路數(shù)據(jù)能夠盡可能多地?cái)y帶精確解的細(xì)節(jié)信息,從而降低正則解的平滑性,達(dá)到更好的重建效果.

以四峰高斯分布模型為例,驗(yàn)證基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式對(duì)復(fù)雜燃燒場(chǎng)的重建能力.分別采用上述五種光路布置方式對(duì)其進(jìn)行重建,重建結(jié)果表明,基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式的重建能力最好,重建誤差為0.0415.雖然重建結(jié)果中有個(gè)別網(wǎng)格內(nèi)的數(shù)據(jù)存在偏差,但重建結(jié)果依然能夠較為準(zhǔn)確地反映燃燒場(chǎng)模型中的峰值數(shù)量和峰值位置.因此在實(shí)際復(fù)雜燃燒場(chǎng)工況下,基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化設(shè)計(jì)的光路布置方式依然可以提供有效的燃燒場(chǎng)重建結(jié)果,從而對(duì)燃燒狀態(tài)進(jìn)行診斷.

4 結(jié)論

實(shí)現(xiàn)不完備投影數(shù)據(jù)下燃燒場(chǎng)二維重建的關(guān)鍵是光路布置方式的優(yōu)化.本文基于激光吸收光譜技術(shù),采用分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法對(duì)燃燒場(chǎng)投影病態(tài)方程組進(jìn)行求解,獲得最優(yōu)光路布置方式.為解決采用標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov 正則化方式得到的正則解過于光滑這一問題,提出了一種基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法的光路優(yōu)化思路,通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)建立光路優(yōu)化函數(shù),采用遺傳算法分析得到優(yōu)化后的光路布置方式.分析了分?jǐn)?shù)階數(shù)的作用效果,表明分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法可以通過選擇合適的階數(shù)來(lái)提高重建精度.利用基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法的光路布置方式與其他光路布置方式分別對(duì)不同高斯分布模型進(jìn)行重建效果對(duì)比,結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的光路布置方式的重建精度最高,能夠達(dá)到更好地重建效果.研究結(jié)果對(duì)有限投影條件下的激光吸收光譜技術(shù)二維重建技術(shù)理論研究具有重要意義,為激光吸收光譜二維重建技術(shù)在燃燒診斷領(lǐng)域的實(shí)際化應(yīng)用提供技術(shù)支撐.