俞 綱

(云南省昆明市第三中學(xué) 650000)

漸進(jìn)線是雙曲線的重要性質(zhì)，在歷年高考的選擇題、填空題中多次出現(xiàn)，而且基礎(chǔ)題和難題都有涉及，如何針對性地選擇適當(dāng)方法來巧妙解決相關(guān)問題，盡量避免復(fù)雜的代數(shù)計算值得我們研究.

1 用二次方程解決雙曲線漸近線的代數(shù)計算

1.1 雙曲線方程與漸近線方程的相互轉(zhuǎn)化

小結(jié)上述三題都屬于基礎(chǔ)中等題，通過方程的代數(shù)特征直接設(shè)雙曲線漸近線的方程進(jìn)行研究，避免了對兩種位置的雙曲線分別研究的麻煩.當(dāng)然，不是所有條件都適合代數(shù)方法直接設(shè)方程，歸納言之，以下三個代數(shù)結(jié)論可直接運(yùn)用：雙曲線Ax2-By2=1(A·B>0)的漸近線方程可直接由Ax2-By2=0因式分解得到；以y=kx為一條漸近線的雙曲線方程必定可以寫為(y+kx)·(y-kx)=λ(λ≠0)，即y2-k2x2=λ(λ≠0)的形式；與雙曲線Ax2-By2=1(A·B>0)有相同漸近線的雙曲線方程必定可以寫為Ax2-By2=λ的形式.

1.2 直線與雙曲線的兩漸近線相交的問題

一條直線與雙曲線兩漸近線交于兩點(diǎn)的問題，一般需要把該直線分別與兩條漸進(jìn)線方程聯(lián)立，通過解兩個二元一次方程組，得到兩個交點(diǎn)坐標(biāo)后再進(jìn)行相應(yīng)的表示與計算，如果把兩條漸進(jìn)線看作一個整體，借助二次方程來表示它，則可以借助直線與二次曲線位置關(guān)系的研究方法，運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行整體計算，避免直接表示交點(diǎn)坐標(biāo)，達(dá)到事半功倍的效果.

分析此題可以把直線方程寫出，再與兩漸近線分別聯(lián)立得到A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到等量關(guān)系，但計算相對繁瑣，運(yùn)用二次方程理論則能簡化運(yùn)算.

即x1+x2-2m=(y1+y2)(-kAB).

即10(y1+y2)=12m.

(9b2-a2)y2-6b2my+b2m2=0.

代入10(y1+y2)=12m，得a2=4b2.

小結(jié)由于雙曲線及漸近線都含有未知字母,直線與兩條漸近線聯(lián)立兩次分別表示出兩交點(diǎn)坐標(biāo)再計算相對繁瑣，若能借助韋達(dá)定理巧用“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行整體轉(zhuǎn)化,則能簡化運(yùn)算.

2 用幾何性質(zhì)解決雙曲線漸近線的幾何問題

圖1

借助這兩個直角三角形，可以更直觀地理解漸近線斜率的幾何意義，并且可以得到一些常用結(jié)論，如：焦點(diǎn)到漸近線的距離為b；以O(shè)為圓心，實(shí)軸長2a為直徑的圓與漸近線相交，交點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線恰好與漸近線垂直；以O(shè)為圓心，焦距長2c為直徑的圓與漸近線相交，交點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線恰好與實(shí)軸垂直；兩漸近線的夾角被坐標(biāo)軸平分等性質(zhì)，運(yùn)用這些幾何性質(zhì)，可以靈活解決一些相關(guān)的問題.

圖2

圖3

3 根據(jù)題目特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求解

分析此題為例10變式，我們分別用三種方法求解，對比運(yùn)算復(fù)雜程度的差異.

(b2-a2)y2-2bc2y+b2c2=0.

從而得到a2=9b2.

圖4

漸近線作為雙曲線的重要性質(zhì)，其相關(guān)問題蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的思想，對數(shù)學(xué)運(yùn)算也有較高的要求，這就需要我們一方面要鍛煉運(yùn)算能力，總結(jié)運(yùn)算技巧；另一方面要多對比一個問題的代數(shù)思路與幾何思路的差異，關(guān)注不同方法運(yùn)算復(fù)雜程度的區(qū)別，選擇合適的方法來針對性解決相關(guān)問題.