呂世虎，顏 飛，鎖建軍，史寧中

絕對值在中國數(shù)學(xué)課程中的歷史演變

呂世虎1，顏 飛1，鎖建軍1，史寧中2

（1．西北師范大學(xué) 教育學(xué)部，甘肅 蘭州 730070；2．東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024）

絕對值首次在中國數(shù)學(xué)課程文件中出現(xiàn)后，其相關(guān)內(nèi)容逐步完善，教學(xué)要求在實(shí)施九年義務(wù)教育以來逐步清晰化，內(nèi)容要求自新課程實(shí)施以來也逐步深化．此外，絕對值概念在中國教科書中的表述方式大體可分為“幾何定義”與“代數(shù)定義”兩種．其中，代數(shù)定義具體分為“去符號定義”與“列舉定義”．新課程實(shí)施中的教科書主要采用幾何定義表述絕對值概念，而之前的教科書對3種表述方式都有涉及．

絕對值；數(shù)學(xué)課程；歷史演變

絕對值的概念在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中是不斷完善和明晰的，其符號“| |”的使用和推廣源于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾斯特拉斯對絕對值符號的使用和推廣起到了決定性作用．在中國中學(xué)數(shù)學(xué)課程文件中，絕對值首次出現(xiàn)是在中華人民共和國成立初期，其作用是輔助正負(fù)數(shù)的運(yùn)算．絕對值雖然在1949年之前的課程文件中沒有涉及，但在1923年由商務(wù)印書館印發(fā)的初級中學(xué)數(shù)學(xué)教材《代數(shù)學(xué)》中設(shè)置了絕對值的內(nèi)容，它在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中有著非常重要的作用．下面對1949年以來絕對值在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的歷史演變作系統(tǒng)梳理，以期對絕對值的教材編寫與教學(xué)有所啟示．

1 絕對值相關(guān)內(nèi)容逐步完善階段（1949—1985）

1949年11月中央人民政府教育部成立后，于1950年7月頒布了《數(shù)學(xué)精簡綱要（草案）》，在其《初高中代數(shù)精簡綱要（草案）》（以下簡稱“精簡綱要”）初中部分的“正負(fù)數(shù)”主題中首次提出了絕對值．自此以后，在1951—1985年期間陸續(xù)頒布的課程文件中絕對值的相關(guān)內(nèi)容不斷完善．具體來看，絕對值在“精簡綱要”中提出以后，1952年、1954年、1956年頒布的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（以下依次簡稱“52大綱”“54大綱”“56大綱”）均呈現(xiàn)了絕對值的概念．其中，“52大綱”中用“去符號定義”表述了絕對值的概念，而“54大綱”與“56大綱”中均用“列舉定義”表述了絕對值的概念，具體如下．

“52大綱”：不過問一個數(shù)前邊的正負(fù)符號，只就它的數(shù)值來說，就稱為該數(shù)的絕對值，例如|+7|=7；|-7|=7；零的絕對值還是零[1]．

“54大綱”與“56大綱”：正數(shù)的絕對值是指這個數(shù)本身，例如|7|=7；負(fù)數(shù)的絕對值是指與它相反的正數(shù)，例如|-7|=7；零的絕對值還是零，即|0|=0[1]．

此外，“52大綱”新增了與絕對值緊密相關(guān)的“數(shù)軸”，“56大綱”將“正負(fù)數(shù)”主題變更為“有理數(shù)”，1963年頒布的教學(xué)大綱也將絕對值的相關(guān)內(nèi)容設(shè)置在“有理數(shù)”主題下，1978年頒布的教學(xué)大綱在該主題中還增加了與絕對值相關(guān)的“相反數(shù)”內(nèi)容．1980年、1982年頒布的教學(xué)大綱均保持了以上做法，至此與絕對值相關(guān)的內(nèi)容已經(jīng)基本完善．

1949—1985年期間，中國編寫了大量的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書．關(guān)于絕對值概念的表述也有不同的方式，具體可分為“幾何定義”與“代數(shù)定義”兩類，其中代數(shù)定義包括兩種：一是“去符號定義”，二是“列舉定義”．例如，人民教育出版社于1952年依據(jù)“52大綱”陸續(xù)出版的十二年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)編譯課本采用去符號定義：代數(shù)正負(fù)數(shù)絕對值，就是去掉符號的數(shù)值；1968—1972年全國各地興起的一些自編數(shù)學(xué)教材中關(guān)于絕對值的概念采用幾何定義：一個數(shù)的絕對值就是在數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；北京師范大學(xué)出版社于1978年根據(jù)項(xiàng)武義“關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的設(shè)想”出版的中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材和人民教育出版社于1981年依據(jù)《全日制六年制重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（征求意見稿）》出版的六年制重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)課本均采用列舉定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零．

2 絕對值教學(xué)要求逐步清晰階段（1986—2000）

1985年6月教育部頒布了《調(diào)整初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求的意見》，1986年11月國家教材審定委員會審定通過了《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱“87大綱”），并于1987年2月頒布了該課程文件[2]．與之前的課程文件相比較，“87大綱”及之后頒布的課程文件開始用不同層次的教學(xué)目標(biāo)行為動詞表述教學(xué)內(nèi)容的具體要求．相應(yīng)地，受教學(xué)大綱撰寫方式變化的影響，絕對值在這一階段課程文件中的教學(xué)要求逐步明晰．具體來看，“87大綱”對絕對值的教學(xué)要求有了具體的教學(xué)目標(biāo)行為動詞：“理解絕對值的概念．”1988年頒布的《九年制義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（初審稿）》對絕對值的教學(xué)要求更加具體：“理解絕對值概念，能口答任何一個數(shù)字有理數(shù)的絕對值，了解數(shù)的絕對值的幾何意義．”1990年、1992年、2000年陸續(xù)頒布的教學(xué)大綱均將“理解絕對值概念”與“會求有理數(shù)的絕對值”作為絕對值的教學(xué)要求．

1986—2000年期間，國家教育委員會于1988年8月頒發(fā)了《九年制義務(wù)教育教材編寫規(guī)劃方案》通知，一些單位和機(jī)構(gòu)受其委托編寫了義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教材．其中，北京師范大學(xué)出版社于1989年陸續(xù)出版的四年制初級中學(xué)實(shí)驗(yàn)課本、上海教育出版社于1994年陸續(xù)出版的義務(wù)教育課本均采用“列舉定義”表述了絕對值的概念：一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零．2000年，人民教育出版社依據(jù)《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》修訂的《九年義務(wù)教育三年制初級中學(xué)教科書（試用修訂本）》中用“幾何定義”表述了絕對值的概念：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．此外，西南師范大學(xué)于1992年依據(jù)九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱編寫的《GX初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教程》對絕對值的概念采用“去符號定義”：小學(xué)學(xué)過的數(shù)（0除外）前面放上“+”叫正數(shù)，放上“–”叫負(fù)數(shù)，去掉放上的符號后所得的數(shù)叫做這個正數(shù)或負(fù)數(shù)的絕對值，0不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0的絕對值是0．

3 絕對值內(nèi)容要求逐步深化階段（2001—今）

2001年6月，教育部頒布了《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》，預(yù)示著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的開啟．2001年至今頒布的三版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)較之前的教學(xué)大綱在文本結(jié)構(gòu)以及內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)等方面有較大變化，絕對值的內(nèi)容要求也逐步深化．具體來看，2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱“實(shí)驗(yàn)稿”）將初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容首次分為數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、課題學(xué)習(xí)4個領(lǐng)域，絕對值置于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的“數(shù)與式”主題中，具體內(nèi)容要求是：“借助數(shù)軸理解絕對值的意義，會求有理數(shù)的絕對值．”[3]可見，“實(shí)驗(yàn)稿”對絕對值內(nèi)容要求開始重視絕對值的幾何意義，強(qiáng)調(diào)通過數(shù)軸理解絕對值．2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提高了絕對值的內(nèi)容要求：“借助數(shù)軸理解絕對值的意義，掌握求有理數(shù)的絕對值的方法．”[4]2022年頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)更加關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，注重絕對值對發(fā)展學(xué)生量感、數(shù)感、符號意識等的作用，有關(guān)絕對值的內(nèi)容要求：“借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，掌握求有理數(shù)的相反數(shù)和絕對值的方法．”在絕對值相關(guān)的教學(xué)提示中提到：“知道絕對值是對數(shù)量大小和線段長度的表達(dá)，進(jìn)而體會實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的數(shù)形結(jié)合的意義．”[5]這意味著對絕對值的教學(xué)要關(guān)注代數(shù)與幾何兩個視角，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法．

2001年以來，中國編寫的初中數(shù)學(xué)教材主要是依據(jù)相應(yīng)的課程標(biāo)準(zhǔn)，由全國中小學(xué)教材審定委員會審查的教材，包括2001年依據(jù)“實(shí)驗(yàn)稿”陸續(xù)編寫的“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書”，2012年由教育部審定通過的“義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書”．這些教科書對絕對值的概念基本上都采用了“幾何定義”，主要通過數(shù)軸再次認(rèn)識有理數(shù)，讓學(xué)生體會有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)相對應(yīng)，再通過數(shù)軸引出相反數(shù)的概念，并通過相反數(shù)在數(shù)軸上的呈現(xiàn)特點(diǎn)引申出絕對值的幾何定義．如2012年由人民教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材關(guān)于絕對值內(nèi)容的呈現(xiàn)過程是：首先通過現(xiàn)實(shí)情境“汽車行駛”的線路（方向）與路程的特點(diǎn)引出絕對值的幾何定義，實(shí)際上就是通過數(shù)軸直接引出絕對值的幾何定義，然后根據(jù)幾何定義引出絕對值的代數(shù)意義．顯然，這是將絕對值作為距離來認(rèn)識的．而2001年以前的一些教材則是從代數(shù)的視角來呈現(xiàn)絕對值的概念，如1982年由人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材中關(guān)于絕對值內(nèi)容的呈現(xiàn)過程是通過正負(fù)數(shù)符號的討論以及日常生活和研究的需要引出絕對值的代數(shù)定義，然后再通過數(shù)軸理解絕對值的幾何意義．

[1] 課程教材研究所．20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001：359，380，407．

[2] 呂世虎．中國中學(xué)數(shù)學(xué)課程史論[M]．北京：人民教育出版社，2013：172–182．

[3] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：31．

[4] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：27．

[5] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：54–58．

The Historical Evolution of Absolute Value in Mathematics Curriculum in China

LV Shi-hu1, YAN Fei1, SUO Jian-jun1, SHI Ning-zhong2

(1. Faculty of Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China;2. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

After the absolute value first appeared in China’s mathematics curriculum documents, its relevant content is gradually improved, the teaching requirements have been gradually clarified since the implementation of nine-year compulsory education, and the content requirements have been gradually deepened since the implementation of the new curriculum. In addition, the expression methods of the concept of absolute value in Chinese textbooks can be divided into two ways: “geometric definition” and “algebraic definition”. Among them, the algebraic definition is specifically divided into “de-symbolic definition” and “enumerative definition”. The textbooks in the implementation of the new curriculum mainly use the geometric definition to express the concept of absolute value, while the previous textbooks have involved in all three ways of expression.

absolute value; mathematics curriculum; historical evolution

G632

A

1004–9894（2023）05–00003–02

呂世虎，顏飛，鎖建軍，等．絕對值在中國數(shù)學(xué)課程中的歷史演變[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2023，32（5）：3-4．

2023–09–05

甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度專項(xiàng)課題——甘肅省普通高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)驗(yàn)跟蹤與質(zhì)量監(jiān)測研究（GS[2023]GHBZX0094）

呂世虎（1963—），男，甘肅平?jīng)鋈?，教授，博士，博士生?dǎo)師，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組、修訂組核心成員，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、數(shù)學(xué)教育史研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]