余美君

［摘? 要］ 人教版教材有三次關(guān)于“租船問題”的解決問題教學(xué)，文章從教學(xué)起點(diǎn)、教學(xué)側(cè)重點(diǎn)、方法聯(lián)系三個(gè)方面進(jìn)行對比分析，提出通讀教材，把握起點(diǎn)；刨根問底，辯中優(yōu)化；實(shí)踐操作，策略反思三個(gè)教學(xué)建議，使學(xué)生進(jìn)一步體會知識間的緊密聯(lián)系。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；租船問題；優(yōu)化

一、緣起

筆者在上三年級的“租船問題”時(shí)，曾有學(xué)生問：“老師，為什么要這樣一個(gè)一個(gè)地把方案列舉出來，有沒有更簡便一點(diǎn)的方法？”在學(xué)習(xí)四年級的租船問題后，學(xué)生更加對三年級所使用的一一列舉的方法嗤之以鼻，覺得用“套路”來解決“租船問題”更簡單，為什么四年級知識比三年級知識還要簡單？在學(xué)生看來，列表法需要將各種情況一一列舉出來，既麻煩又容易出錯(cuò)，“套路”才是解決這類問題的“神器”。那為什么教材要做這樣的內(nèi)容編排呢？我們得細(xì)細(xì)品味。

二、追起點(diǎn)之源

實(shí)際上，人教版教材一共安排了三次關(guān)于“租船問題”的解決問題教學(xué)，分別是二年級下冊第六單元“有余數(shù)的除法”、三年級上冊第三單元“測量”及四年級下冊第一單元“四則運(yùn)算”。相比二年級的“租船問題”，三年級與四年級的“租船問題”無論是在計(jì)算上，還是在思考過程上都顯得更為復(fù)雜。下面，筆者從教學(xué)起點(diǎn)、教學(xué)側(cè)重點(diǎn)、方法聯(lián)系三個(gè)方面進(jìn)行對比分析。

1. 以進(jìn)一法為主的“租船問題”

教材把二年級的“租船問題”編排在“有余數(shù)的除法”單元內(nèi)，主要內(nèi)容是借助學(xué)生出游租船的情境，運(yùn)用有余數(shù)除法的知識解決簡單的實(shí)際問題，并采用進(jìn)一法得出問題的最終答案。二年級的“租船問題”總共有兩個(gè)已知的數(shù)學(xué)信息，分別是：22名學(xué)生去劃船；每條船最多坐4人。這里船只的形式只有一種，因此教師重在引導(dǎo)學(xué)生理解題目信息，理解“最多坐4人”的含義，這對理解“至少”要租幾條船具有很大的幫助。

運(yùn)用有余數(shù)除法來解決實(shí)際問題并不等同于本單元所學(xué)的除法豎式計(jì)算，本節(jié)課除了要幫助學(xué)生理解不同語境中“最多”“至少”的含義外，學(xué)生還需要運(yùn)用不同的表征方式理解“進(jìn)一”的道理。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用畫圖、符號、豎式等方式溝通圖式與算式間的聯(lián)系，結(jié)合情境充分理解除法算式中每一個(gè)數(shù)所表示的含義。

二年級的租船問題，需要的是學(xué)生能夠打破以往看算式定結(jié)果的固有思維，從變化與聯(lián)系的角度看待人數(shù)與船只的數(shù)量關(guān)系，并能根據(jù)算式結(jié)果做出合理的思考，這為后續(xù)學(xué)生三年級學(xué)習(xí)“租船問題”時(shí)所使用的列表法打好計(jì)算基礎(chǔ)。

2. 以列表法為主的“租船問題”

三年級上冊的“租船問題”是該冊第三單元“測量”的最后一個(gè)例題。雖然教材呈現(xiàn)的是租車問題，但與“租船問題”屬于同一類，旨在解決與噸有關(guān)的實(shí)際問題，介紹運(yùn)用列表法解決問題，向?qū)W生初步滲透優(yōu)化思想，比較多種方案，得出最佳方案。三年級的“租船問題”總共有三個(gè)已知的數(shù)學(xué)信息，分別是：運(yùn)完8噸煤；小貨車每次載質(zhì)量2噸；大貨車每次載質(zhì)量3噸。

受二年級“租船問題”知識的負(fù)遷移，筆者發(fā)現(xiàn)很多三年級學(xué)生想到的第一個(gè)方法就是假設(shè)全部租小貨車，或者全部租大貨車，再根據(jù)算式結(jié)果運(yùn)用進(jìn)一法得出最終答案。有些學(xué)生甚至對兩種假設(shè)都進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行比較，選取最便宜的方案。出現(xiàn)這種現(xiàn)象主要是學(xué)生的頭腦中沒有想到可以“兩種車一起租”，思維策略還停留在二年級階段。因此，教學(xué)中教師要明確“可以用2噸的車，也可以用3噸的車”運(yùn)煤，可以同時(shí)用兩種車，也可以只用一種車，而且“每次運(yùn)煤的車都裝滿”“恰好運(yùn)完8噸煤”［１］。在學(xué)生“試算”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生體會用列表法一一列舉時(shí)可以做到不重復(fù)、不遺漏，從而積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)和策略。

三年級的“租船問題”，以二年級所學(xué)的有余數(shù)除法為計(jì)算基礎(chǔ)，是二年級“租船問題”的提升，區(qū)別在于出現(xiàn)了兩種不同類型的船，學(xué)生需要考慮“兩種船一起租”的情況，對學(xué)生的思維層次及計(jì)算能力有較高要求。要知道哪種方案能恰好運(yùn)完或最省錢，必然是在將所有可能的方案一一列舉出來，然后通過計(jì)算方案的最終價(jià)格并比較，才能確定最優(yōu)方案。通過讓學(xué)生全程參與用列表法一一列舉解決問題這一過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會在租船時(shí)要兼顧兩個(gè)因素：盡量租單價(jià)便宜的，盡量減少空位，這為學(xué)生四年級學(xué)習(xí)“租船問題”給予了策略基礎(chǔ)。

3. 以優(yōu)化、調(diào)整為主的“租船問題”

第三次“租船問題”是四年級下冊第一單元“四則運(yùn)算”的最后一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，教材用租船的情境提供了現(xiàn)實(shí)素材，旨在讓學(xué)生合理、靈活地運(yùn)用四則運(yùn)算的意義及順序解決實(shí)際問題。與二年級、三年級的“租船問題”相比，四年級的“租船問題”顯得更為復(fù)雜，已知的數(shù)學(xué)信息共有5個(gè)，分別是：一共有32人；小船24元；大船30元；大船限乘6人；小船限乘4人。初看之下，四年級的“租船問題”與前兩次的學(xué)習(xí)相比，區(qū)別似乎只在于數(shù)學(xué)信息的增加，但在解決問題的過程中，學(xué)生還需要綜合考慮大船和小船的單價(jià)、多余的人數(shù)和空位數(shù)、大船和小船的只數(shù)、總金額的變化等一系列數(shù)量關(guān)系。因此，四年級的“租船問題”并不難在計(jì)算，而難于解題時(shí)的思路和方法。

從教材“分析與解答”部分可知，學(xué)生需要經(jīng)歷“租哪種船→租幾條大船、幾條小船→減少空位→最省錢方案”過程形成優(yōu)化思維的策略，這也是教師在教學(xué)時(shí)所遵循的教學(xué)過程。正是這樣的教學(xué)過程，才會引發(fā)前文所敘述的疑惑，為什么四年級的“租船問題”顯得比三年級的“租船問題”更簡單、易懂，學(xué)生更容易抓住“套路”解題？

這個(gè)疑惑的產(chǎn)生，正是源于并沒有將此前所學(xué)習(xí)的進(jìn)一法、列表法與優(yōu)化、調(diào)整的方法聯(lián)系起來。“怎樣租船最省錢？”學(xué)生曾在三年級遇到過這個(gè)問題，但并沒有將其放在例題里進(jìn)行深入探討。對于租船問題，要知道哪種方案最省錢，應(yīng)該是將所有可能的方案一一列舉出來，進(jìn)行比較后才能得到最后的結(jié)果，這也是四年級學(xué)生解決“租船問題”的基本思路?；诖?，對四年級的“租船問題”為什么不繼續(xù)采取列表法來解決呢？有那么多的方案，一一列舉出來太麻煩且復(fù)雜，有沒有更簡單的方法呢？在這樣的思考下，激發(fā)了學(xué)生尋找新方法的需求，要想快速地尋找出最省錢的方案，需算出大船、小船的單價(jià)，并多選單價(jià)低的船。同時(shí)在列表法的啟發(fā)下，學(xué)生又產(chǎn)生了新的想法，減少空位或者沒有空位的方案會不會更省錢？讓學(xué)生對上述方案做進(jìn)一步的調(diào)整與比較。相比列表法，學(xué)生通過比較單價(jià)、盡量坐便宜的船、調(diào)整座位可以更快找到最省錢的方案。然而，教師還需要做進(jìn)一步的引導(dǎo)與解釋，為什么減少空位就可以節(jié)省租金？通過組織學(xué)生觀察示意圖及算式，學(xué)生能想到空位也是要付錢的，如果減少空位或者沒有空位就更能達(dá)到最省錢的目的［２］。

學(xué)生最有效的學(xué)習(xí)就是在原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行再建造。根據(jù)以上整理，可見一種高級的解決問題方法的產(chǎn)生其實(shí)也是源于對數(shù)學(xué)基本方法的改進(jìn)，而且這個(gè)基本方法是解決問題的根本思路。四年級的解決方法看似簡單、易操作，但其也是建立在對所有方案進(jìn)行比較后才得到的結(jié)果，只是在一一列舉的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的優(yōu)化與調(diào)整。

三、溯教學(xué)之策

1. 通讀教材，把握起點(diǎn)

美國認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾曾經(jīng)說過，影響學(xué)生學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)。在教學(xué)過程中，學(xué)生都是根據(jù)他們已有的知識基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)和對社會的理解等因素來探討如何解決問題的。教師在開展教學(xué)時(shí)首要任務(wù)便是通讀教材，將與“租船問題”相關(guān)的內(nèi)容聯(lián)系起來，厘清知識脈絡(luò)，把握問題的核心知識，由此提升課堂教學(xué)效率。二年級的“租船問題”以進(jìn)一法為主，正是三年級“租船問題”所使用列表法的計(jì)算基礎(chǔ)。而解決三年級“租船問題”所使用的列表法則是優(yōu)化方法的根本思路，“最省錢”一定是比較過所有的方案的結(jié)果，只是在列表的基礎(chǔ)上做了優(yōu)化與調(diào)整，用算式進(jìn)行過程的表達(dá)，是解決問題能力提升的體現(xiàn)。

2. 刨根問底，辯中優(yōu)化

在問題中抽取所需的數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生了解條件與問題，對問題形成知識起點(diǎn)。對問題進(jìn)行深入、全面的分析是最終完成正確解答的關(guān)鍵步驟，通常作為課堂教學(xué)的重點(diǎn)。在進(jìn)行“租船問題”教學(xué)時(shí)，教師需引導(dǎo)學(xué)生全面理解題意，明確關(guān)鍵信息“最多”“至少”“最省錢”，找出解決問題的最優(yōu)策略。如在進(jìn)行四年級“租船問題”教學(xué)時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷“租哪種船→租幾條大船、幾條小船→減少空位→最省錢方案”過程后，教師可引領(lǐng)學(xué)生說一說自己的解法，這樣才能進(jìn)一步地聽懂與學(xué)懂他人的解法，并進(jìn)一步組織學(xué)生將四年級“租船問題”所使用的優(yōu)化、調(diào)整法與三年級“租船問題”所使用的列表法做比較，體會該種方法是列表法的一種延伸與優(yōu)化，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我策略的優(yōu)化。

3. 實(shí)踐操作，策略反思

四年級學(xué)生的年齡一般在9-10歲，在記憶方面，有意記憶逐步發(fā)展并占主導(dǎo)地位，抽象記憶有所發(fā)展，但具體形象記憶的作用仍非常明顯。在教學(xué)過程中，教師可以采取多種實(shí)踐方法幫助學(xué)生理解方案的優(yōu)化、調(diào)整過程。以教學(xué)四年級“租船問題”為例，教師可采取小組合作的形式，給每個(gè)小組提供學(xué)具，以紙船替代題目中的大船、小船，以棋子替代題目中的學(xué)生，讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺、畫一畫、算一算。接著，教師在課件中將座位的調(diào)整過程演示一遍，加深學(xué)生的印象。最后，教師組織學(xué)生說一說、辯一辯。從實(shí)踐操作到具象演示，再到“圖示”“算式”，化形為數(shù)引導(dǎo)學(xué)生更直觀地分析數(shù)量關(guān)系，深化解題過程，幫助學(xué)生優(yōu)化解題策略。這樣的教學(xué)過程不僅能幫助學(xué)生更好地掌握相關(guān)知識內(nèi)容，還可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)能力上有一定收獲。

在解決問題之后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行策略反思，明確“盡量選單價(jià)便宜的船，盡量減少空位”的省錢策略，實(shí)現(xiàn)“租船問題”的策略建模。從二年級的進(jìn)一法到三年級的列表法，再到四年級的優(yōu)化、調(diào)整法，從運(yùn)算意義的建構(gòu)到借助工具實(shí)踐操作，再到畫圖與建模，新方法的產(chǎn)生其實(shí)也是源于對基本方法的改進(jìn)。只有經(jīng)歷這一漫長且曲折的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生得到的不僅有數(shù)學(xué)知識的充盈，還有數(shù)學(xué)能力的提升。

“租船問題”是一類基于數(shù)量關(guān)系的較為復(fù)雜的問題，但其并不同于傳統(tǒng)的以數(shù)量關(guān)系為主的解決問題，而是側(cè)重于逐步向“優(yōu)化思想”的滲透?？v觀以上的追源及溯策，針對這類問題的教學(xué)，教師應(yīng)使學(xué)生在聯(lián)系方法的基礎(chǔ)上，體會知識與知識間的緊密聯(lián)系，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 梁靄玲. 由“租船問題”引發(fā)的思考［Ｊ］. 小學(xué)科學(xué)（教師版），２０１７（０８）：１５２.

［２］ 劉韓. 這樣一定最省錢嗎？——《解決問題》案例分析［Ｊ］. 湖北教育（教育教學(xué)），２０１６（１０）：６２－６３.