巧用“三招”，求含有根式的函數(shù)值域

祁海波

函數(shù)值域問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在各類(lèi)試題中，主要考查函數(shù)的定義域、解析式、圖象以及性質(zhì).其中含有根式的函數(shù)值域問(wèn)題較為復(fù)雜，雖然此類(lèi)問(wèn)題的難度較大，但是我們可將數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、向量知識(shí)來(lái)求解.

一、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是結(jié)合函數(shù)的圖象來(lái)解題的方法.在求含有根式的函數(shù)值域時(shí)，需首先根據(jù)函數(shù)的解析式明確函數(shù)的定義域，畫(huà)出函數(shù)的圖象；然后根據(jù)圖象的特點(diǎn)在定義域內(nèi)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域.

本題較為簡(jiǎn)單，我們通過(guò)運(yùn)算將函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有絕對(duì)值的函數(shù)式；然后令絕對(duì)值內(nèi)部的式子為0，用零點(diǎn)將定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間段，在每個(gè)區(qū)間段上討論函數(shù)的表達(dá)式；再畫(huà)出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，即可求得函數(shù)的值域.

二、構(gòu)造向量

向量法是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法.在運(yùn)用向量法求含有根式的函數(shù)值域時(shí)，可先根據(jù)根式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)構(gòu)造合適的向量，繪制出相應(yīng)的圖形，借助向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)求得最值.

運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)解答含有根式的函數(shù)值域，關(guān)鍵在于根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性.一般地，若導(dǎo)函數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減.

上述三種方法都是解答含有根式的函數(shù)值域問(wèn)題的重要方法.相比較而言，第一種方法比較常用；第二種方法較為靈活，但很多同學(xué)難以構(gòu)造出合適的向量模型；第三種方法的運(yùn)算量較大.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，可根據(jù)解題需求和自身對(duì)知識(shí)掌握的程度來(lái)合理選擇解題方案.

（作者單位：江蘇省靖江高級(jí)中學(xué)）