滿玉 紀昌武
摘? 要:以2022年高考天津卷第19題的解法研究為例,探究在解析幾何解答題教學(xué)中如何立足問題本原探索解題思路,培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).
關(guān)鍵詞:解析幾何;問題本原;數(shù)學(xué)運算;邏輯推理
一、試題呈現(xiàn)
【評析】此解法與解法2本質(zhì)上相同,更注重幾何圖形帶來的提示作用. 針對條件[OM=ON,] 能夠認識到除了用圓的性質(zhì)外,還可以利用[MN]的中點與點[O]的連線與[MN]垂直的性質(zhì),應(yīng)用“兩條直線垂直,則斜率乘積為-1”來解決問題,從而使計算得到簡化. 充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想方法:將幾何問題代數(shù)化,以及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想;對于條件[S△OMN=3,] 則選取了以線段[ON]為三角形的底,則高就是點[M]橫坐標的絕對值,體現(xiàn)了思維的簡潔性和靈活性. 對比解法2和解法3,兩種解法從數(shù)學(xué)思想方法上是一致的,但解法3思維更加發(fā)散,運算更為簡潔. 由此可以看出,幫助學(xué)生處理好知識與能力、過程與結(jié)論、方法與思維的關(guān)系,加強理性思維的培養(yǎng),鼓勵學(xué)生的創(chuàng)新性思維具有十分重要的意義.
四、教學(xué)思考
2022年高考天津卷解析幾何解答題,重視基礎(chǔ)知識、通性通法的應(yīng)用,以知識立意為基礎(chǔ),以能力立意為方向,以素養(yǎng)立意為目標,注重對學(xué)生綜合能力、數(shù)學(xué)思維能力,以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面考查. 對高考題的細研是教學(xué)過程中的重要一環(huán),也是培養(yǎng)和落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有利時機. 基于此題的解法研究,對解析幾何的教學(xué)有以下幾點思考.
1. 探尋思想方法產(chǎn)生的本原,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)
要想整體上把握試題條件和要解決的問題,就要把握所在單元(主題)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和核心思想,這樣才能凸顯知識的脈絡(luò),抓住數(shù)學(xué)本質(zhì),弄清數(shù)學(xué)研究問題的思想方法. 從審題中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題十分重要. 學(xué)生要能夠根據(jù)已知條件,使用數(shù)學(xué)語言對問題進行適當(dāng)?shù)拿枋觯匾獣r可以將條件抽象成圖表、圖形等形式輔助思考.
從圖1 ~ 4可以看出,選擇點[M]的坐標為思考問題的出發(fā)點和根本點,是順利展開解題思路的關(guān)鍵,學(xué)生只有深入分析才能發(fā)現(xiàn)問題,繼而引發(fā)思考、提出問題、延伸思維. 如何表示上述條件?能得到什么結(jié)論?對解決問題有什么作用?解析幾何的核心思想方法是什么?在解析幾何中出現(xiàn)相切、長度相等的條件,一般要從哪幾個角度思考?原因是什么?學(xué)生只有對這些問題有了清晰和深刻的認識后,“坐標”的選擇才是自然的,水到渠成的. 合理選擇參數(shù),將位置關(guān)系的幾何形式表達為代數(shù)形式,將之用坐標表示,完成從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化,這正是解析幾何的核心思想.
對于解析幾何問題的求解,參數(shù)的選擇是學(xué)生的難點,往往會因選擇不合理造成解題障礙. 究其原因,是因為思維凌亂,沒有真正厘清條件,弄清題目的發(fā)生、發(fā)展過程. 此題中確定的量和關(guān)系有直線[l]與橢圓相切的位置關(guān)系,橢圓長軸長和短軸長的倍數(shù)關(guān)系,線段[OM]和[ON]長度相等關(guān)系,[△OMN]的面積為定值[3;] 不確定的量有切點[M]的坐標,切線與[y]軸交點[N]的坐標,橢圓的長、短軸的長度等. 綜合運用數(shù)學(xué)自然語言、符號語言、圖形語言,準確、清晰、簡潔地表達這些量和關(guān)系,是溝通形與數(shù)的紐帶,是架起條件與結(jié)論的橋梁. 圖1 ~ 圖7能促使學(xué)生在頭腦中形成思維導(dǎo)圖,對此題的理解構(gòu)成一個彼此關(guān)聯(lián)的系統(tǒng),從而探尋出思想方法產(chǎn)生的本原,優(yōu)化解題路徑,提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng).
2. 引導(dǎo)學(xué)生“提出問題—表達論證”,滲透邏輯推理素養(yǎng)
邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式,是數(shù)學(xué)嚴謹性的基本保證,是人們在數(shù)學(xué)交流活動中基本的思維品質(zhì). 對于邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng),關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,然后利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識進行表述和論證,形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì). 這樣,學(xué)生才能抓住問題的根本,才能在眾多的解題路徑中,判斷每條路徑的可行性,分析出通性通法,形成富有邏輯的解題方法. 例如,在解法1中,利用切點坐標[Mx0,y0,] 直接設(shè)出切線[l]的方程為[x0xa2+y0yb2=1]求解. 而數(shù)學(xué)是嚴謹?shù)?,在這里先要證明這一結(jié)論是成立的才能繼續(xù)應(yīng)用,驗證過程彰顯了思維嚴密性的特點;在解法2中,合理判斷預(yù)知所設(shè)切線方程與橢圓方程聯(lián)立后,由于[Δ=0,] 切點[M]的坐標不會過于復(fù)雜,求法具有一般性和可行性;在解法3中,線段MN中點[P]坐標的利用,把距離問題轉(zhuǎn)化為兩直線垂直的特殊位置關(guān)系,以形助數(shù)、簡化運算、優(yōu)化思維.
因此,在課堂教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與,循序漸進地進行相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考,以及數(shù)學(xué)方法的運用,這樣才能讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)有本可依. 在解決問題時,才能圍繞核心問題提出相應(yīng)的解決思路,繼而在解題過程中不斷地深化數(shù)學(xué)思想,落實數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).
3. 通過運算促進思維發(fā)展,提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)
圓錐曲線綜合問題是考查學(xué)生運算能力的有效載體,充分考查了學(xué)生靈活應(yīng)用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》在解讀“運算能力”時,強調(diào)“應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運算的道理,是否能準確地得出運算的結(jié)果,而不是單純地看運算的速度”,可見算理才是運算的核心.
在此題的解法中,側(cè)重考查學(xué)生思維的敏捷性和運算的準確性. 解法2中根據(jù)條件[OM=ON,] 從本質(zhì)出發(fā),理解為切點[M]在以[O]為圓心,以[m]為半徑的圓上,即滿足方程[x2+y2=m2,] 替代兩點間距離公式的應(yīng)用,避免了復(fù)雜根式兩邊平方的化簡,為計算帶來了便捷. 這個過程不僅體現(xiàn)了對圓的方程、圓的性質(zhì)的熟練掌握,也蘊含了對數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法的深刻理解.
教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生對算理進行深入研究,幫助和指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已有的知識,感悟其中的算理. 學(xué)生只有對算理有了深刻的理解,才能通過運算解決問題,促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展,提高數(shù)學(xué)運算能力,發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
4. 挖掘試題育人價值,落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
在此題的解法研究中,不僅能感受到試題的知識、能力、素養(yǎng)三重立意導(dǎo)向,還能不斷領(lǐng)悟試題的育人價值. 從解題角度而言,解法2不如解法3簡潔,但在學(xué)生探索解題的過程中,解法2的解題方法和解題思維是非常值得肯定的,具有通性通法的特征. 在教學(xué)中遇到類似解法探究活動,如果學(xué)生表達出解法2,教師不要急于拋出解法3,要先肯定學(xué)生在對問題本質(zhì)的探究中所把握的核心思想方法,在此基礎(chǔ)上鼓勵他們繼續(xù)發(fā)散思維,立足本原,大膽探索實踐,相信他們還會有更多思維的延伸,這樣不斷積累解題經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗,也是對學(xué)生理性思維、科學(xué)精神的培養(yǎng).
即便學(xué)生的解題思路不易操作,在探討過程中也要引導(dǎo)學(xué)生悟出這一想法值得肯定的一面和解法受阻的原因,辯證地思考問題,全面地看待問題,而不是簡單地否定,甚至可以讓學(xué)生親自計算一下,讓他們自己發(fā)現(xiàn)計算難于堅持的原因,這對磨煉學(xué)生的毅力、提升學(xué)生的自信無疑有著不可估量的作用,這是任何語言都難以企及的. 高中生要在體驗挫折和失敗的過程中形成百折不撓的良好心理素質(zhì),以及敢于創(chuàng)新的意志品質(zhì). 這既是高考的要求也是今后人生發(fā)展的需要,從而真正落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標和立德樹人的根本任務(wù).
總之,2022年高考天津卷解析幾何解答題穩(wěn)中求新,既注重通性通法的考查,又蘊含豐富的思想方法,具有發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)、育人導(dǎo)向功能. 為我們今后的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究帶來了積極的啟發(fā)和思考.
參考文獻:
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作者簡介:滿玉(1972— ),女,中學(xué)高級教師,主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究;
紀昌武(1969— ),男,中學(xué)正高級教師,天津市特級教師,主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.