【摘要】即將頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，提出了六個(gè)具體的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素，其中之一是數(shù)學(xué)運(yùn)算，并對數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行了內(nèi)涵和外延的闡述。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沒有提出核心素養(yǎng)的理念和目標(biāo)，但是提出的十個(gè)核心詞之一的運(yùn)算能力，與數(shù)學(xué)運(yùn)算相對應(yīng)；二者的界定有所區(qū)別。綜上所述，本文界定了小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系下的運(yùn)算能力，并從數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)思想、個(gè)人發(fā)展這三個(gè)維度論述運(yùn)算能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運(yùn)算 運(yùn)算能力

關(guān)于運(yùn)算能力，筆者在《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》雜志2012年第10期發(fā)表的《小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)》及2016年第4期發(fā)表的《小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)改革的有效探索》均進(jìn)行了主要觀點(diǎn)的闡述，為什么還要再寫這方面的文章呢？一是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教育界的熱門話題，運(yùn)算能力在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的地位和意義是什么？二是經(jīng)常有中學(xué)數(shù)學(xué)教師通過各種方式給我們提建議，應(yīng)加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接，其中加強(qiáng)計(jì)算能力的培養(yǎng)是一個(gè)重要方面。從而促使我不斷地思考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的運(yùn)算能力究竟是什么，這是撰寫本文的初衷。

談起數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，首先要從高中說起，因?yàn)檫@個(gè)話題是從高中課程改革開始的。

一、高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算

即將頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《高中課標(biāo)》）把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)描述為：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體?！?/p>

《高中課標(biāo)》的課程目標(biāo)為：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”）；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）；學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)；學(xué)會用數(shù)學(xué)思維分析世界，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)?！?/p>

根據(jù)以上目標(biāo)闡述，高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有六個(gè)，前三個(gè)為：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模，即義務(wù)教育階段“四基”中的第三基；后三個(gè)為：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，基本上代表了幾何、數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)三大領(lǐng)域的基本思想或者能力。高中課程目標(biāo)基本上延續(xù)和傳承了義務(wù)教育階段的“四基”“四能”目標(biāo)；并在此基礎(chǔ)上概括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與“學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”（可概括為“三用”）融合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)，即外延。

由此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和“三用”是對“四基”“四能”目標(biāo)的進(jìn)一步提煉、聚焦和提升，是整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的精華部分，是把數(shù)學(xué)能力從數(shù)學(xué)內(nèi)部和一般生活中的應(yīng)用上升到用數(shù)學(xué)面對現(xiàn)實(shí)世界的高度，即具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)志是學(xué)會“三用”。

六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，《高中課標(biāo)》是這樣界定的：“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等?！睌?shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，同時(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問題的基礎(chǔ)。

《高中課標(biāo)》對數(shù)學(xué)運(yùn)算的界定，既說明了內(nèi)涵是什么，又比較全面地對外延做了闡述。即數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅僅關(guān)注運(yùn)算的結(jié)果，還包括對問題的理解和分析、解決問題的過程與方法，這個(gè)問題不僅僅是純數(shù)學(xué)問題，更重要的是現(xiàn)實(shí)生活中的問題，這是具備核心素養(yǎng)的標(biāo)志。

二、《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的運(yùn)算能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《義務(wù)課標(biāo)》）關(guān)于運(yùn)算能力，是這樣描述的：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。”《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》明確指出：“運(yùn)算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合。在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，使運(yùn)算符合算理，合理簡潔。換言之，運(yùn)算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力?！?/p>

從《義務(wù)課標(biāo)》對運(yùn)算能力的描述來看，其著眼點(diǎn)在正確運(yùn)算上，其次是理解算理和解決問題。

而《高中課標(biāo)》沒有用“運(yùn)算能力”這個(gè)概念，而是用“數(shù)學(xué)運(yùn)算”代替，其著眼點(diǎn)在解決問題的素養(yǎng)上，其外在表現(xiàn)是理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等。

從《義務(wù)課標(biāo)》到《高中課標(biāo)》對運(yùn)算闡述的變化來看，把運(yùn)算從傳統(tǒng)的強(qiáng)調(diào)純數(shù)學(xué)計(jì)算正確的技能，向解決問題、理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高度轉(zhuǎn)變，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的重要性和貫徹落實(shí)。這個(gè)變化既是理念的轉(zhuǎn)變，又是能力的轉(zhuǎn)變，當(dāng)然解決問題的能力包括正確計(jì)算的能力，包括理解算理等方面，即體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識觀的轉(zhuǎn)變。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系下的運(yùn)算能力

關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，筆者在《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2016年第12期發(fā)表的《學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》中已經(jīng)進(jìn)行闡述。主要是從數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)思想、個(gè)人發(fā)展三個(gè)維度來分析，這三個(gè)維度并不是并列和獨(dú)立的關(guān)系，是融為一體的，數(shù)學(xué)認(rèn)知既是數(shù)學(xué)思想和個(gè)人發(fā)展的基礎(chǔ)和載體，又是一個(gè)形成和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、個(gè)人發(fā)展的心理活動。形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的終極標(biāo)志是實(shí)現(xiàn)個(gè)人發(fā)展、用數(shù)學(xué)思想面對現(xiàn)實(shí)世界。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系下的運(yùn)算能力可以理解為：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在理解算理和運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確計(jì)算并解決問題的素養(yǎng)，主要包括：理解算理和運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，分析數(shù)量關(guān)系，選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果等。

對運(yùn)算能力這樣界定，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，只有理解算理和運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，分析數(shù)量關(guān)系的正確計(jì)算和解決問題的方法，才是具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)志。

據(jù)有關(guān)抽樣檢測表明：我國四年級學(xué)生筆算乘法的正確率是76%，居世界前列，這是可喜的結(jié)果。但是這個(gè)檢測并沒有對學(xué)生理解算理的情況進(jìn)行檢測，我們并不知道76%的學(xué)生中理解算理的學(xué)生所占的比例，這值得進(jìn)一步調(diào)查研究。也就是說，按照數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，76%中的部分學(xué)生在運(yùn)算能力上可能不具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)志。具有數(shù)學(xué)思維和思想方法含金量的計(jì)算技能是可持續(xù)發(fā)展的，是對中學(xué)以及后續(xù)學(xué)習(xí)有支撐的。

有大學(xué)對大學(xué)生入學(xué)后用當(dāng)年高考數(shù)學(xué)試卷隔一段時(shí)間進(jìn)行測試，研究表明，學(xué)生數(shù)學(xué)高考成績平均達(dá)125分，到大學(xué)一段時(shí)間后的數(shù)學(xué)平均成績降到只有60分。也就是說，學(xué)生高中畢業(yè)后，有些知識技能會逐漸遺忘。通俗地說就是高中畢業(yè)多年后還有沒遺忘的東西，還能夠繼續(xù)用數(shù)學(xué)的理性思維去學(xué)習(xí)、面對世界，繼續(xù)會“三用”，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的重要標(biāo)志。

下面從數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)思想、個(gè)人發(fā)展這三個(gè)維度論述運(yùn)算能力。

（一）數(shù)學(xué)認(rèn)知

數(shù)學(xué)認(rèn)知就是不斷構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的心理活動。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善程度決定了核心素養(yǎng)水平的高低。在數(shù)學(xué)認(rèn)知維度中，主要包括三個(gè)方面：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)關(guān)系。

1.與運(yùn)算能力相關(guān)的概念

在課程改革和核心素養(yǎng)的理念下，我們應(yīng)堅(jiān)持這樣一個(gè)觀點(diǎn)，人的數(shù)學(xué)能力包括：考試能力、生活能力和工作能力，而不應(yīng)該把考試能力排除在外。另外，有研究表明：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與對數(shù)學(xué)概念的理解和表征水平正相關(guān)，因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的運(yùn)算能力在強(qiáng)調(diào)解決問題的同時(shí)，仍然要加強(qiáng)純數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)對概念的理解。

（1）整數(shù)、小數(shù)。數(shù)是對數(shù)量的抽象，我們一般的計(jì)數(shù)系統(tǒng)采用的是十進(jìn)位值制，其核心要素有兩個(gè)：數(shù)字符號和位值制（數(shù)位）思想，即把十個(gè)數(shù)字符號中的若干個(gè)放在不同的數(shù)位上，即表示了一個(gè)數(shù)的大小。把握了這個(gè)本質(zhì)，才有利于理解算理和算法。當(dāng)然，低年級學(xué)生理解數(shù)的抽象意義是有困難的，但是要逐步讓學(xué)生通過各種方式去感悟。

（2）分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于度量和除法計(jì)算的需要，因此，分?jǐn)?shù)也是從表示一個(gè)量的大小中抽象出來的，即分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)類似，也是表示大小的數(shù)，這樣的分?jǐn)?shù)可以帶計(jì)量單位。另外，分?jǐn)?shù)還可以表示兩個(gè)數(shù)（量）之間的倍數(shù)（比例）關(guān)系，如蘋果是梨的個(gè)數(shù)的1/3，即蘋果的數(shù)量：梨的數(shù)量=1：3，這樣的分?jǐn)?shù)不能帶計(jì)量單位，百分?jǐn)?shù)就是這樣的分?jǐn)?shù)中分母是100的分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)單位是分?jǐn)?shù)系統(tǒng)中的重要概念，是理解分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算算理的基礎(chǔ)，尤其是分母為10、100……的分?jǐn)?shù)單位，是小數(shù)概念的基礎(chǔ)。

（3）四則運(yùn)算。任何一個(gè)具體的數(shù)的運(yùn)算，包括四則混合運(yùn)算，本質(zhì)上都是把一些數(shù)按照一定的法則重新組合，最終求得一個(gè)結(jié)果，這個(gè)結(jié)果還是一個(gè)數(shù)。這樣有利于理解算理算法，如9+3=？這是十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的自然數(shù)加法計(jì)算，把9和3兩個(gè)數(shù)合起來，其結(jié)果是十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)自然數(shù)；因?yàn)槭鞘M(jìn)位值制，所以當(dāng)結(jié)果超過9，個(gè)位不夠用時(shí)，就要用兩個(gè)數(shù)位（十位、個(gè)位）來表示，因此產(chǎn)生了湊十法，即把3分成1和2，9和1湊成10，9+3=9+1+2=10+2=12，結(jié)果是12。如果是十二進(jìn)制，就是湊十二法。

再如，乘法和除法的豎式與橫式只是形式上的變化，它們的意義沒有變。多數(shù)學(xué)生能夠把橫式432×6理解成6個(gè)432相加，乘法是加法的簡便算法；而有些學(xué)生對豎式就束手無策了，不理解其意義，這說明有些學(xué)生對十進(jìn)位值制的計(jì)數(shù)原理沒有真正理解，無論乘法還是除法，每一步計(jì)算的結(jié)果表示多少？寫在什么位上？這需要理解十進(jìn)位值制的計(jì)數(shù)原理。當(dāng)然，對于有些學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，需要借助幾何直觀來理解算理算法。如：有6排小棒，每排432根，一共有多少根？那么學(xué)生就應(yīng)該理解這樣的題用加法算比較麻煩，用乘法口算容易出錯(cuò)，所以要用乘法豎式計(jì)算；即6要與432這三個(gè)數(shù)字分別相乘，分別表示有多少個(gè)百、十、一，超過十的要進(jìn)位；同時(shí)理解每步乘錯(cuò)了就會把小棒的數(shù)量算錯(cuò)，哪個(gè)數(shù)字漏乘，就會少算一部分小棒。因此乘錯(cuò)和漏乘都是不可以的。

2.與運(yùn)算能力相關(guān)的規(guī)律

什么是數(shù)學(xué)中的規(guī)律？什么是數(shù)學(xué)中的關(guān)系？二者有什么區(qū)別？筆者經(jīng)過思考和研究，還無法完全分清二者的區(qū)別，就數(shù)學(xué)教育界而言，似乎也沒有嚴(yán)格的區(qū)分。那么，什么是數(shù)學(xué)中的規(guī)律呢？筆者認(rèn)為規(guī)律類似于數(shù)學(xué)中的“真理”，如性質(zhì)、法則、運(yùn)算律、定理、公理等，是在數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上抽象概括出來的通理通法，是運(yùn)算和推理的依據(jù)。

與運(yùn)算能力相關(guān)的規(guī)律主要有：（1）整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、比的性質(zhì)；（2）四則運(yùn)算的法則；（3）四則混合運(yùn)算的順序；（4）運(yùn)算律。

3.與運(yùn)算能力相關(guān)的關(guān)系

什么是數(shù)學(xué)中的關(guān)系呢？（集合論對此有特定的抽象的定義，我們這里不做討論）我們通過一些例子來說明什么是關(guān)系，生活中我們說同事關(guān)系、朋友關(guān)系、夫妻關(guān)系、母子關(guān)系等，小學(xué)數(shù)學(xué)中有因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，如8是4的倍數(shù)，4是8的因數(shù)；如果速度一定，路程與時(shí)間成正比例關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)這些例子有一些共性，就是關(guān)系一般會涉及兩個(gè)或者兩個(gè)以上的量（事物），他們之間通過某種法則對應(yīng)。如果從廣義上來理解關(guān)系，還可以用聯(lián)系、關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)等詞匯描述關(guān)系，如數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系和關(guān)聯(lián)，形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是屬于數(shù)學(xué)的，只有通過各種方法和途徑把數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才是屬于學(xué)生的。即學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)可以使學(xué)生舉一反三、聞一知十、既見樹木又見森林，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知的高級目標(biāo)。

（1）可視的結(jié)構(gòu)。主要是各種數(shù)學(xué)模型，如：四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系式、幾何公式、數(shù)量關(guān)系式、方程、函數(shù)等。

（2）隱形的結(jié)構(gòu)。主要是知識間的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)化，如：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)聯(lián)，有理數(shù)與無理數(shù)的關(guān)聯(lián)，圖形之間的關(guān)聯(lián)，數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)等。這些結(jié)構(gòu)由于比較隱蔽，往往被很多教師忽視，而這種結(jié)構(gòu)化更能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的高級知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

如：除法、分?jǐn)?shù)、比這三個(gè)知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)，學(xué)生在掌握除法的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)就可以運(yùn)用關(guān)聯(lián)思想（普遍聯(lián)系）和類比推理方法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法，自主探究推出。到了初中，可以進(jìn)一步地推出分式的基本性質(zhì)。其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，還包括變中有不變的思想、恒等變形方法等。

（二）數(shù)學(xué)思想

從數(shù)學(xué)運(yùn)算與其他核心素養(yǎng)的關(guān)系來看，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)和手段，直觀想象是理解運(yùn)算和培養(yǎng)運(yùn)算能力的重要方法，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)分析的重要保障。在前文提到的筆者發(fā)表的文章中把運(yùn)算與推理整合，主要是考慮小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理并不是初中的幾何推理證明，而是主要體現(xiàn)在數(shù)與計(jì)算的內(nèi)容中，尤其是計(jì)算中算理的理解，體現(xiàn)了推理思想，而這方面是傳統(tǒng)計(jì)算教學(xué)中的弱項(xiàng)，為了加強(qiáng)計(jì)算算理和推理思想的教學(xué)，把運(yùn)算和推理整合為運(yùn)算推理思想。當(dāng)然，除了運(yùn)算外，在小學(xué)數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域中同樣存在很多推理思想。

數(shù)學(xué)抽象，這個(gè)思想看起來不容易理解其內(nèi)涵及教學(xué)應(yīng)用，實(shí)際上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)刻離不開抽象，當(dāng)然，只有抽象還不夠，概念、性質(zhì)等的學(xué)習(xí)還需要?dú)w納和概括。如：教學(xué)數(shù)的認(rèn)識時(shí)，通過對數(shù)量的數(shù)學(xué)抽象，先歸納概括形成了整數(shù)的十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)系統(tǒng)，再進(jìn)一步推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，進(jìn)行關(guān)聯(lián)和整合，就把數(shù)系擴(kuò)展到實(shí)數(shù)。十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)原理是整數(shù)、小數(shù)（甚至分?jǐn)?shù)）計(jì)算的基礎(chǔ)。

（三）個(gè)人發(fā)展

在個(gè)人發(fā)展維度中，主要包括：思考自學(xué)、合作交流、創(chuàng)新實(shí)踐。思考自學(xué)就是要把學(xué)生放在主體地位上，建立以學(xué)生為主體的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、理性思維、自主學(xué)習(xí)的能力。合作交流固然重要，但前提是每個(gè)人需要具備獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力。創(chuàng)新實(shí)踐主要包括創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力兩個(gè)方面，創(chuàng)新思維的重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生具有好奇心和想象力，敢于質(zhì)疑；善于提出新觀點(diǎn)、新方法、新設(shè)想，并進(jìn)行理性分析，做出獨(dú)立判斷等。實(shí)踐能力主要是問題解決，重點(diǎn)是善于發(fā)現(xiàn)和提出問題；有解決問題的興趣和熱情；能依據(jù)特定情境和具體條件，選擇制定合理的解決方案等。

俗話說：教之道在于度，學(xué)之道在于悟。不同的教師可以有不同的教學(xué)風(fēng)格，整體上要把握教師的講授與學(xué)生自學(xué)、思考、交流的關(guān)系與平衡。教學(xué)過程中要讓所有學(xué)生先獨(dú)立思考，讓更多學(xué)生表達(dá)想法，彼此思想產(chǎn)生碰撞，再交流討論，使得學(xué)生有時(shí)間去悟。如果學(xué)生有時(shí)間和空間去做、去說、去悟，活動經(jīng)驗(yàn)自然就積累了，與其說積累活動經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)教學(xué)目標(biāo)，不如說是一個(gè)師生關(guān)系的問題。

2016年10月在西安舉辦的全國小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)與計(jì)算教學(xué)觀摩交流會，總體上很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系下的基本理念、思想和教學(xué)方法。如啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)新舊知識的比較和類比，結(jié)合幾何直觀、運(yùn)用推理把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識；在此基礎(chǔ)上理解算理、掌握算法，形成計(jì)算法則的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過適當(dāng)訓(xùn)練達(dá)到熟練計(jì)算，培養(yǎng)運(yùn)算能力，包括解決一些實(shí)際問題。教學(xué)目標(biāo)完成度好、師生關(guān)系融洽、加強(qiáng)學(xué)生自主探究與合作交流、教學(xué)過程層次清楚。因篇幅所限，這里不再舉例說明，感興趣的教師可以登錄人教網(wǎng)觀看視頻。

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題[ J ].課程·教材·教法，2015（9）.

[2]中華人民共和國教育部.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4]王永春.《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.