“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的理論依據(jù)和目標(biāo)導(dǎo)向

陳昱　何玉聰

摘? ?要：根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論，小學(xué)階段的學(xué)生正處于前運算階段和具體運算階段，他們習(xí)慣于憑借具體的事物或形象理解邏輯關(guān)系，學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識對他們來說具有一定的難度?；诖?，教師利用“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)，將抽象的數(shù)學(xué)知識圖示化，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要方式。本文從理論依據(jù)和目標(biāo)導(dǎo)向兩個層面出發(fā)，闡述了“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的價值。

關(guān)鍵詞：“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)? ?數(shù)形結(jié)合? ?數(shù)學(xué)育人

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。小學(xué)階段的學(xué)生以形象思維為主的認(rèn)知特點，決定了教師的教學(xué)也應(yīng)形象、具體、實用。從這個層面出發(fā)，筆者探究了將抽象數(shù)學(xué)知識圖示化的“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)。本文從“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的理論依據(jù)和目標(biāo)導(dǎo)向兩個層面出發(fā)，以具體案例為切入點，研究了“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的價值。

一、數(shù)形結(jié)合思想是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的理論依據(jù)

小學(xué)數(shù)學(xué)以研究數(shù)量關(guān)系和空間形式為主，邏輯嚴(yán)密，且具有高度的抽象性。皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論表明，小學(xué)階段的學(xué)生受年齡、生活經(jīng)驗和認(rèn)知發(fā)展水平的限制，抽象邏輯思維能力尚處在發(fā)展的初期階段，學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)知識的難度較大。換言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師面臨的主要矛盾是：小學(xué)生較弱的抽象邏輯思維能力與數(shù)學(xué)學(xué)科知識高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性之間的矛盾。那么，教師如何引導(dǎo)小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)呢？

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基本研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想就是通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用大致可分為兩種情形，即“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用非常普遍，主要包括數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系、統(tǒng)計圖表和幾何概念模型、用代數(shù)方法解決幾何問題等。

在長期的教學(xué)實踐中，筆者摸索到一條解決問題的途徑，那就是回到數(shù)學(xué)的研究對象——數(shù)量關(guān)系和空間形式，利用數(shù)形結(jié)合思想，聚焦“數(shù)”與“形”的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用直觀的“形”表征抽象的“數(shù)”，這就是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的基本理論依據(jù)?！皵?shù)學(xué)畫”教學(xué)能實現(xiàn)由“數(shù)學(xué)畫”到“數(shù)學(xué)化” 的自然而有效的過渡，不僅可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，還可以發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維能力。

二、“以形象表征抽象”是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的目標(biāo)導(dǎo)向

“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)主要依靠數(shù)學(xué)知識之間的數(shù)形關(guān)系，聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，開展具有形象化、直觀化、綜合性的教學(xué)，從而溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的實用價值。因此，“以形象表征抽象”既是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的基本特點，也是其目標(biāo)導(dǎo)向，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方式。

（一）“以形象表征抽象”的典型模式

數(shù)學(xué)知識是抽象的，數(shù)學(xué)思維是內(nèi)隱的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識必然要表征數(shù)學(xué)，才能由具象入手，深入理解抽象的數(shù)學(xué)知識?！耙孕蜗蟊碚鞒橄蟆币簿褪恰坝眯蜗罄斫獬橄蟆?。關(guān)于“表征”，主要有以下兩種典型模式。

第一種是布魯納提出的表征模式。布魯納以兒童思維活動依賴外在刺激的程度來判定兒童心智的成長水平，用動作、圖像和符號三種表征來代表思維活動的不同程度，這是一種線性的思維活動。他認(rèn)為兒童獲得數(shù)學(xué)概念的過程是從動作表征過渡到圖像表征，最后到抽象思考的線性過程。在動作表征中，兒童的思維必須借助實物或?qū)嶋H操作活動來達(dá)成；在圖像表征中，當(dāng)實物消失時，兒童能依據(jù)頭腦中實物的影像，進(jìn)行內(nèi)在的思維活動；在符號表征中，兒童則能直接對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思維操作。布魯納的表征模式強(qiáng)調(diào)學(xué)生的認(rèn)知水平，以及與之相配套的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理過程。

第二種是萊什提出的表征模式。萊什將布魯納的動作、圖像、符號表征的線性思維活動修正為平面網(wǎng)狀式的互動發(fā)展，提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種表征：實際情境、圖像、操作、口語符號、書寫符號，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要拓寬廣度才能提升深度。這種表征模式強(qiáng)調(diào)的是表征形式的多元并存和相互轉(zhuǎn)換，更多的是從數(shù)學(xué)理解的角度出發(fā)，認(rèn)為不同的表征形式可以反映不同的思維水平。

（二）“以形象表征抽象”的可行性

在小學(xué)階段，教師為了提升抽象數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，需要在“形象”上下功夫，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)“形象”到“抽象”，并超越“抽象”，達(dá)成數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)。對此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)這種“以形象表征抽象”的教學(xué)方式具有充分的可行性。

首先，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)以形象為主，而小學(xué)階段的學(xué)生處于以形象思維為主，逐漸向抽象邏輯思維發(fā)展的階段，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)契合小學(xué)生的認(rèn)知特點，能激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。然而教師需要明確，“數(shù)學(xué)畫”只是一種手段，“思維”和“創(chuàng)新”才是目的，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)要根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展的特點，分階段開展。

例如，低年級的“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)要聚焦“怎么畫”的問題，重在引導(dǎo)學(xué)生掌握“畫”數(shù)學(xué)知識的方法，使學(xué)生通過實踐操作活動，建立一定的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)；中年級的“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)要圍繞“怎么想”的問題展開，重在引導(dǎo)學(xué)生探究多元化的“畫”數(shù)學(xué)的方法，發(fā)展學(xué)生的多元思維能力；高年級的“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)則要緊扣“怎么創(chuàng)新”的問題，重視學(xué)生創(chuàng)新意識與能力的培養(yǎng)?！皵?shù)學(xué)畫”教學(xué)要始終包含畫圖、思維、創(chuàng)新等要素，在不同階段根據(jù)實際學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知特點確定重點。

其次，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)是一種“做數(shù)學(xué)”的過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體參與，重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成或問題解決的過程。就“畫圖”本身而言，畫圖既是手段也是目的。因此，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)是圖像表征和動作表征的統(tǒng)一。在“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)中，“畫圖”不是孤立存在的，而是以“畫圖”為載體，融合多元表征，形成多維度、多鏈接的網(wǎng)狀學(xué)習(xí)場域，共同指向數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)。

最后，從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的角度來看，就“數(shù)學(xué)畫”作品本身而言，其能承載的教育價值也是多方面的。第一，在繪畫過程中，學(xué)生能直觀觀察和感悟數(shù)量關(guān)系、理解數(shù)的內(nèi)涵、建立一定的數(shù)感；第二，在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)畫”的過程中，學(xué)生能通過線段、圖形等畫面元素，直觀感知數(shù)學(xué)知識，建立一定的量感；第三，在“數(shù)學(xué)畫”的實踐操作過程中，學(xué)生能厘清“形”與“數(shù)”的關(guān)系，并構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，從而學(xué)會利用圖形分析實際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。

總之，“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)是一種基于數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)方式，致力于引導(dǎo)學(xué)生“用形象表征抽象”，使學(xué)生在趣味性、直觀化、實踐性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中發(fā)展抽象邏輯思維能力與數(shù)形結(jié)合思想。在“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)過程中，學(xué)生能從形象聯(lián)想到抽象，從直觀的角度厘清數(shù)學(xué)知識中涉及的“數(shù)”與“形”的關(guān)系，從而深化對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知。

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（作者單位：安徽省合肥市南門小學(xué)上派分校）

本文系安徽省教育科學(xué)研究項目“基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)高年級‘?dāng)?shù)學(xué)畫’教學(xué)實踐研究”（立項編號：JK21075）的階段性研究成果。