江蘇省淮安市和平鎮(zhèn)中心小學(xué) 朱艷艷

江蘇省淮陰師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 曹雨琳

數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)是一種可外顯的、具有一定可視化的思維過(guò)程，可以促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階。在“解決問(wèn)題的策略”單元教學(xué)中，多數(shù)教師存在解題思路的單一等問(wèn)題，解題過(guò)程停留在對(duì)題目淺層的解釋上，并未深入發(fā)掘其與數(shù)學(xué)基本思想或方法的本原性聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生的解題滯留在對(duì)方法和步驟簡(jiǎn)單模仿的階段。相比單一表征，多元表征具有建構(gòu)深度理解的認(rèn)知功能。為解決此類(lèi)問(wèn)題，教師可以采用數(shù)學(xué)多元表征進(jìn)行教學(xué)，讓知識(shí)內(nèi)核可視、思維深入，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和問(wèn)題解決。

一、數(shù)學(xué)多元表征的內(nèi)涵及運(yùn)用價(jià)值

（一）數(shù)學(xué)多元表征的內(nèi)涵

迪因斯提出多元具體化原則，表示多元表征的含義主要是一種學(xué)習(xí)原則，呈現(xiàn)出物理情境或具體實(shí)物模型的各種變式，獲取抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)多元表征是將同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象用本質(zhì)不同的多種形式表征，通過(guò)表征內(nèi)部的自身轉(zhuǎn)換和表征之間的相互轉(zhuǎn)譯以及聯(lián)系或變式，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。

（二）數(shù)學(xué)多元表征的運(yùn)用價(jià)值

數(shù)學(xué)多元表征指導(dǎo)學(xué)習(xí)過(guò)程主要通過(guò)內(nèi)化多元外在表征信息、系統(tǒng)內(nèi)部轉(zhuǎn)譯、構(gòu)建圖式這三個(gè)部分?！巴庠诒碚鳌獌?nèi)在表征—認(rèn)知結(jié)構(gòu)—數(shù)學(xué)對(duì)象”構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng)。小學(xué)生正處于從形象思維向具象思維轉(zhuǎn)換的認(rèn)知過(guò)程，單一的表征不同，數(shù)學(xué)多元表征意味著對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象理解上的多樣性與具體性。數(shù)學(xué)多元表征的運(yùn)用可以提升理解的層次，激發(fā)創(chuàng)造性解題思路的產(chǎn)生，從而使學(xué)生獲得推理能力與解題能力的雙向進(jìn)步。

二、“解決問(wèn)題的策略”學(xué)習(xí)與多元表征之間的關(guān)系

從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，數(shù)學(xué)表征分為形式化、圖像化、動(dòng)作化和語(yǔ)言化四類(lèi)表征，或者分為符號(hào)、言語(yǔ)、圖像和體驗(yàn)四類(lèi)表征。由于“解決問(wèn)題的策略”單元具有高度的抽象性與綜合性，策略的學(xué)習(xí)需要建立在對(duì)數(shù)學(xué)基本思想與基本方法的深度理解與掌握的基礎(chǔ)上。

對(duì)于學(xué)生而言，理解題目意思并且選用適當(dāng)?shù)牟呗允墙鉀Q數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的兩大核心步驟，而理解題意，需要將大段繁雜的文字表述簡(jiǎn)化、提煉抽象出所需的數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生再根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)去選擇合適的策略解決問(wèn)題。總體而言，小學(xué)階段“解決問(wèn)題的策略”單元能很好地培養(yǎng)學(xué)生的概括、理解與邏輯推理能力，從而讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的問(wèn)題，將理論素養(yǎng)與實(shí)踐素養(yǎng)聯(lián)系緊密。但這也對(duì)學(xué)生的思維層次提出了更高標(biāo)準(zhǔn)的要求，需要他們具備較高水平的數(shù)學(xué)多元表征思想，否則就會(huì)在理解題目上產(chǎn)生困難。

三、利用多元表征融入數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

美國(guó)著名教育心理學(xué)家萊許用外在多元表征結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（見(jiàn)圖1），如口頭語(yǔ)言、圖像、文字符號(hào)、實(shí)物操作和現(xiàn)實(shí)情景這些表征來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程。筆者運(yùn)用這些表征質(zhì)性，結(jié)合“解決問(wèn)題的策略”教學(xué)需求，提煉出以下四種多元表征基本類(lèi)型：語(yǔ)詞表征、關(guān)系表征、圖式表征和符號(hào)表征。結(jié)合這四種表征，筆者進(jìn)行“解決問(wèn)題的策略”的整體教學(xué)，融入數(shù)學(xué)思想方法的滲透，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

圖1

（一）借助語(yǔ)詞表征，找準(zhǔn)解題關(guān)鍵

語(yǔ)詞表征強(qiáng)調(diào)對(duì)于題目中關(guān)鍵性詞匯的重復(fù)表述，這一過(guò)程往往要求學(xué)生具備發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中個(gè)別關(guān)鍵詞的敏銳洞察力與簡(jiǎn)化提煉能力。

借助語(yǔ)詞表征，學(xué)生可獲得條理化思維，其解題過(guò)程也從最初題目呈現(xiàn)的繁雜無(wú)序向條理化后的簡(jiǎn)潔有序方向轉(zhuǎn)變。學(xué)生在進(jìn)行語(yǔ)詞表述時(shí)，本質(zhì)上是用自己的原有經(jīng)驗(yàn)對(duì)題目中關(guān)鍵詞的簡(jiǎn)單再加工過(guò)程。這個(gè)過(guò)程是否順利很大程度上依賴(lài)于學(xué)生原有解決問(wèn)題相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的豐富程度，原有經(jīng)驗(yàn)越豐富，抓關(guān)鍵詞就越容易，從而在語(yǔ)詞表征方面就越簡(jiǎn)練。值得一提的是，僅靠關(guān)鍵詞匯重復(fù)表述而進(jìn)行的簡(jiǎn)單再加工過(guò)程仍處于認(rèn)知層面的較淺層，這意味著語(yǔ)詞表征很難構(gòu)建題目中反映的數(shù)量關(guān)系。而數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建恰恰是“解決問(wèn)題的策略”單元的核心要點(diǎn)，因而語(yǔ)詞表征在多元表征中與其他表征相比處于劣勢(shì)地位。在運(yùn)用語(yǔ)詞表征時(shí)，教師要注意發(fā)揮數(shù)學(xué)抽象思想，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生從繁到簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)意識(shí)的培養(yǎng)，從而找準(zhǔn)解題關(guān)鍵，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

（二）借助關(guān)系表征，厘清數(shù)量關(guān)系

關(guān)系表征強(qiáng)調(diào)根據(jù)題目意思建立相對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的多種表述形式，同時(shí)需要在這多種形式中選擇最容易理解的表述數(shù)量關(guān)系的形式作為解題依據(jù)。某些題目中，可能存在已給出了兩者的數(shù)量關(guān)系這樣的情況，但往往這種表述形式對(duì)于學(xué)生而言是陌生且不容易學(xué)會(huì)的。因而，教師可采用替換、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想對(duì)關(guān)系表征形式進(jìn)行表述形式上的再變動(dòng)。

如蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第三單元“解決問(wèn)題的策略”的例題：星河小學(xué)美術(shù)組一共有35人，其中男生人數(shù)是女生的2—3，美術(shù)組的男生和女生各有多少人？在理解男生人數(shù)與女生人數(shù)的倍數(shù)關(guān)系時(shí)，學(xué)生可以借助關(guān)系表征使用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生對(duì)此處的分?jǐn)?shù)表示男、女生這兩者之間的倍數(shù)關(guān)系存在極大的理解障礙，原因是在他們以往的經(jīng)驗(yàn)中，兩者之間的倍數(shù)關(guān)系若不是整倍數(shù)，大多時(shí)候的表述形式會(huì)以“A與B的比是多少比多少”的形式呈現(xiàn)。因而，他們?cè)陂_(kāi)始選擇恰當(dāng)?shù)牟呗越獯疬@道問(wèn)題之前，會(huì)將這一句話(huà)的表述形式轉(zhuǎn)化成自己熟悉的倍數(shù)表述方法，即將“男生人數(shù)是女生的2—3”轉(zhuǎn)化成“男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是2：3”，從而感知轉(zhuǎn)化思想，體悟轉(zhuǎn)化后的簡(jiǎn)明性。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生再選擇畫(huà)線(xiàn)段圖這樣的直觀(guān)表征綜合理解數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題。

（三）借助圖式表征，直觀(guān)表示數(shù)量關(guān)系

圖式表征強(qiáng)調(diào)通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)圖等手段，借助空間表象建立數(shù)學(xué)問(wèn)題的視覺(jué)與空間模型，將物體間存在的數(shù)量關(guān)系形成相關(guān)圖式。圖式的直觀(guān)性與鮮明性可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)思想解題，如變與不變的思想，結(jié)合圖式觀(guān)察前后變化過(guò)程的規(guī)律，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而使用恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}。

由于圖式表征能清晰地表現(xiàn)出題目中的已知條件與所求數(shù)學(xué)對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系，而且能指導(dǎo)學(xué)生選擇最簡(jiǎn)單易懂的策略解決實(shí)際問(wèn)題，圖式表征在多元表征中與其他表征相比，處于優(yōu)勢(shì)地位。如蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第五單元“解決問(wèn)題的策略”例題：梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8米。在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3米，這樣面積就增加了18平方米。原來(lái)花圃的面積是多少平方米？在探究原來(lái)花圃的面積時(shí)，教學(xué)的重點(diǎn)即是畫(huà)圖的策略。教師教學(xué)時(shí)開(kāi)放教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生借助圖式表征使用畫(huà)圖和倒推的數(shù)學(xué)思想，先讓學(xué)生結(jié)合題意畫(huà)出變化后的花圃擴(kuò)建過(guò)程圖示（見(jiàn)圖2），從而解決問(wèn)題。教學(xué)此例題后，教師還可以進(jìn)一步增加題目的開(kāi)放度，拓展為長(zhǎng)、寬分別增加（減少）和長(zhǎng)、寬同時(shí)增加等不同的情況。學(xué)生只有在復(fù)雜多變的情況下，才能進(jìn)一步感受到圖式表征對(duì)理解題目數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解決問(wèn)題的價(jià)值。

圖2

（四）借助符號(hào)表征，抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性

符號(hào)表征強(qiáng)調(diào)通過(guò)使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出數(shù)學(xué)對(duì)象，在理解的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。越是深層次的理解，越能抽象出簡(jiǎn)潔的符號(hào)來(lái)表示數(shù)量關(guān)系。在掌握不同水平層次的符號(hào)表征時(shí)，學(xué)生對(duì)于同一類(lèi)型的題目的理解也是完全不同的。這一轉(zhuǎn)變是經(jīng)歷了不斷調(diào)動(dòng)舊經(jīng)驗(yàn)，從而生成新經(jīng)驗(yàn)后獲得的在符號(hào)表征上的提升。

由于符號(hào)表征能較為簡(jiǎn)單明了地表示出題目所反映出的數(shù)量關(guān)系，符號(hào)表征與圖式表征一樣處于多元表征的優(yōu)勢(shì)地位。使用符號(hào)表征、培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)可以讓學(xué)生在具體問(wèn)題情境中利用符號(hào)描述單個(gè)或多個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而提高解決問(wèn)題的效率。如蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第四單元“解決問(wèn)題的策略”例題：在1個(gè)大盒和5個(gè)同樣的小盒里裝滿(mǎn)球，正好是80個(gè)。每個(gè)大盒比每個(gè)小盒多裝8個(gè)，大盒里裝了多少個(gè)球？每個(gè)小盒呢？在分析大盒與小盒各裝多少個(gè)球時(shí)，學(xué)生運(yùn)用的解法一般是延續(xù)前一課時(shí)的假設(shè)替換的思想，其算術(shù)思維比較重，而對(duì)具有函數(shù)思想的代數(shù)思維比較輕，很少有人用方程的解法來(lái)解決問(wèn)題。而這類(lèi)題的變化類(lèi)型往往讓部分學(xué)生分析不清，因此，教師在教學(xué)中可以借助加大運(yùn)用符號(hào)表征，使用假設(shè)的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問(wèn)題，讓學(xué)生分析題目的等量關(guān)系，列方程解決問(wèn)題，并將列方程和算術(shù)方法進(jìn)行對(duì)比，從而感受到利用設(shè)未知數(shù)，用符號(hào)來(lái)代替原來(lái)未知量的方法的思考簡(jiǎn)潔性。

多元表征間的關(guān)系不是非此即彼的，教師應(yīng)重視提升學(xué)生多種表征靈活轉(zhuǎn)換的能力，注重多元表征形式間的轉(zhuǎn)換，強(qiáng)化與數(shù)學(xué)思想的聯(lián)系，同時(shí)強(qiáng)化多元表征與策略背后反映的數(shù)學(xué)思想與方法二者間的聯(lián)系，有助于促成更強(qiáng)的連通性。學(xué)生從中能收獲對(duì)題目中隱藏的數(shù)量關(guān)系更為深刻的理解，運(yùn)用多元表征教學(xué)，從“外”而“內(nèi)”，走向深度理解，解構(gòu)認(rèn)知原理。