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      動手實踐,從感知到描述圖形運動
      ——以《軸對稱(2)》為例

      2023-05-09 11:31:02章勤瓊滕艷艷
      關(guān)鍵詞:對稱點對稱軸連線

      文|楊 匯 章勤瓊 滕艷艷

      【教學(xué)過程】

      一、翻折圖形,喚醒認知

      師:長方形的對稱軸在哪里呢?

      生:長方形有橫著、豎著、對角線上的4 條對稱軸。

      (請學(xué)生來折一折)

      師:(追問)碰到什么困難了?

      生:我發(fā)現(xiàn)長方形斜著的怎么折都不能重疊在一起。

      生:長方形只有2 條對稱軸。

      【設(shè)計意圖:通過折一折,經(jīng)歷找對稱軸的過程,激活學(xué)生對軸對稱圖形的認識,引導(dǎo)學(xué)生用語言描述出“完全重合”,理解軸對稱的本質(zhì)內(nèi)涵?!?/p>

      二、認識對稱點及其性質(zhì)

      1.從不對稱變?yōu)閷ΨQ

      師:請你判斷一下這棵小樹是不是軸對稱圖形?(出示圖2)

      圖2

      生:我認為是軸對稱圖形。

      生:我認為不是軸對稱圖形,右邊樹枝感覺沒有和左邊在一條線上。

      生:如果有一把尺子就好了。

      師:(出示方格紙)現(xiàn)在呢,你有什么想說的?

      生:這個圖形不是軸對稱圖形。

      師:你能把它變成軸對稱圖形嗎?

      生:可以把點拉過來一點。

      師:是這樣嗎?(出示圖3)

      圖3

      師:(出示圖4)為什么他想把這個點拉到這里呢?

      圖4

      生:這樣它們對折以后就能完全重合。

      師:我們對折一下看看。

      師:請你們再觀察這兩個對稱點,它有什么特點?

      生:左邊這個點到左邊的樹干是兩格,右邊的點到右邊的樹干也是兩格。

      生:左、右兩邊到對稱軸的距離都是3 格。

      生:這兩個點到對稱軸的距離相等。

      【設(shè)計意圖:方格紙可以確定大小關(guān)系跟位置關(guān)系,能讓學(xué)生通過要素及其關(guān)系認知、描述圖形。判斷小樹是否是軸對稱圖形還需要對折,這是學(xué)生已有的經(jīng)驗。從課件的翻轉(zhuǎn)到觀察對稱點的特點,自然而然關(guān)注到點,發(fā)現(xiàn)點之間的關(guān)系。】

      2.畫對稱點,發(fā)現(xiàn)對稱點之間的關(guān)系

      (1)出示題目。

      圖5

      (2)交流匯報。

      ①容易達成共識的關(guān)鍵點。

      圖6

      生:我們先在一邊找對稱點,比如點B 距離對稱軸2 格,在同一條線上再數(shù)2 格就是它的對稱點,后面的以此類推。

      ②有爭議的對稱點。

      圖7

      師:有沒有不屬于軸對稱的點?如果有,你是如何判斷的?如果沒有,你又是如何判斷的?

      生:它們都不在凹進去、凸出來的地方,怎么會是對稱點呢?

      生:我們可以折一下。

      師:現(xiàn)在不能對折了,你還能說明為什么是對稱點嗎?

      生:點F 到對稱軸的距離是1格,點F′到對稱軸的距離也是1格,它們到對稱軸的距離相等,所以它們是一組對稱點。其他的點也是這樣的。

      生:我明白他的意思了,這個軸對稱圖形上有無數(shù)個點,都能找到它的對稱點,每一組對稱點到對稱軸的距離都相等。

      小結(jié):一開始你們關(guān)注到了面的重疊,現(xiàn)在你們發(fā)現(xiàn)了點之間的關(guān)系,真是觀察得越來越細致了。

      【設(shè)計意圖:在這一環(huán)節(jié),知道對稱點到對稱軸的距離相等,是必要的。只有這樣,下一個環(huán)節(jié)學(xué)生才有可能去調(diào)用這個知識,有的學(xué)生會仍然停留在憑感覺描繪另一半,但有的學(xué)生會嘗試用點來畫軸對稱圖形?!?/p>

      三、利用性質(zhì)畫軸對稱圖形

      1.出示題目

      圖8

      2.匯報展示

      (1)照樣子畫。

      圖9

      生:我是按照左邊這一半畫出來的。我先畫到這里,之后發(fā)現(xiàn)位置不太一樣,就改過來畫到這里。

      (2)找點、連線。

      師:再來看這位小朋友,(出示圖10)他是先找出幾個對稱點?這些點是如何找出來的?

      圖1

      圖10

      生:它先找到左邊凹進去、凸起來的這4 個點,然后根據(jù)對稱點到對稱軸的距離相等再畫出它們的對稱點,最后把這些點連起來。

      師:為什么把這些點連起來,它就是軸對稱圖形了呢?不用像第一位同學(xué)那樣找線?

      生:找到對稱點后,再依次把這些點連起來,兩邊就是完全重合的了。

      【設(shè)計意圖:這一活動學(xué)生都會畫,但僅僅畫對是不夠的,我們需要讓學(xué)生明確知道自己是怎么畫的,其他同學(xué)是怎么畫的,這些方法有什么不同。要從整體的畫軸對稱的過程中,找到真正的提高點,“一找、二定、三連”這樣的方法更準確,形成畫圖的方法。方法的形成不應(yīng)該是教師強加給學(xué)生的,是在圖形認知水平提升的過程中自然形成的?!?/p>

      四、利用性質(zhì)判斷軸對稱圖形

      1.獨立畫

      用最少的步驟畫出這個軸對稱圖形的另一半。

      圖11

      2.判斷

      師:到底哪幅是正確的呢?(出示學(xué)生作品圖12)

      圖12

      師:認為左邊是對的請舉手,為什么它是對的?

      生:對稱點到對稱軸的距離是2 格,所以它的對稱點應(yīng)該在這里。

      師:覺得右邊是對的請舉手,你是怎么想的?

      生:這個點的對稱點應(yīng)該在這里,不能是斜著的。

      師:都在同一條線上,它們的差別到底是什么?

      生:左邊對稱點的連線是豎直的,右邊對稱點的連線是斜的。

      師:豎直的,你覺得它和對稱軸之間又有什么樣的特點?

      生:垂直。

      生:對稱點的連線和對稱軸要互相垂直。

      【設(shè)計意圖:幾何認知水平需要通過學(xué)習(xí)才能提升,但學(xué)習(xí)活動不可能使學(xué)生的幾何認知水平呈現(xiàn)跳躍式發(fā)展,認知水平是在活動中不斷逐層提升的。在此之前,學(xué)生對“對稱點的連線和對稱軸互相垂直”的特征只有模糊的感受。本活動,先問認為右邊作品是對的學(xué)生是怎么想的,暴露問題,再通過對兩幅作品的辨析,更好聚焦“對稱點的連線和對稱軸互相垂直”,在不斷的疊加中,達成知識點的學(xué)習(xí)?!?/p>

      【教學(xué)反思】

      《圖形的運動(2)》的教學(xué)并不容易,難點就在于既要保持學(xué)生對圖形運動美感的感受,又要在美的基礎(chǔ)之上,用分析的眼光去描述圖形的運動。有很多教師在教學(xué)中會非常關(guān)注圖形運動中的幾要素,容易走向一個極端,就會把這些課的教學(xué)變得支離破碎,缺失美感。在教學(xué)中,需要從整體幫助學(xué)生提升幾何思維水平,認識數(shù)學(xué)要素(如對稱點、對稱軸)以及要素之間的關(guān)系,對此我們有如下幾點思考:

      1.注重銜接,從直觀水平到描述水平

      根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》的要求,《圖形的運動(1)》應(yīng)側(cè)重對平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的整體認知,注重感知經(jīng)驗的積累,形成空間觀念,能夠用數(shù)學(xué)語言來表達生活現(xiàn)象。《圖形的運動(2)》要求在數(shù)學(xué)表達的基礎(chǔ)上,能更加精準地用上數(shù)學(xué)關(guān)系,注重本質(zhì)特征的感悟,需要觀察、操作、想象等活動,體會平移、軸對稱的性質(zhì)與特征,最后實現(xiàn)能在方格紙的幫助下定量刻畫平移后的圖形,補全軸對稱圖形,發(fā)展空間觀念。

      比如,在《軸對稱(2)》的教學(xué)中,我們要在學(xué)生已有的經(jīng)驗之上,逐漸提升他們的認知水平。從剛開始的時候?qū)W生認為,要判斷是不是軸對稱,必須通過對折,到后面開始去關(guān)注幾何要素,發(fā)現(xiàn)要素之間的關(guān)系,例如對稱點到對稱軸的距離相等。然后再通過畫圖,從整體描繪出軸對稱圖形的另一半,再到發(fā)現(xiàn)找點、再連線會更加準確。在任務(wù)推進的過程中,慢慢地清晰對稱點的連線和對稱軸互相垂直。知識點的落實、畫圖方法的形成,是融于任務(wù)之中的,是在認知水平不斷提高的過程中滲透下去的。

      2.動手實踐,在畫圖中提升認知水平

      幾何認知水平的提升具有遞進性,不可能從直觀水平直接跨越到描述水平。只有按照學(xué)生的認知水平規(guī)律設(shè)計實施課堂教學(xué)過程,才能更好地實現(xiàn)相鄰水平的過渡?!秷D形的運動(2)》一般會有兩種畫法,大多數(shù)學(xué)生會按照已知的圖形,照樣子畫出圖形;少部分學(xué)生會在認識了幾何要素后,根據(jù)特征找到對應(yīng)點并畫出圖形。為更好地提升學(xué)生的認知水平,在《軸對稱(2)》的畫圖中要把握以下三個層次的方法:

      (1)根據(jù)已知圖形的一半,描出軸對稱圖形另一半的形狀。

      (2)根據(jù)對稱點到對稱軸距離相等,確定軸對稱圖形另一半的點或邊的位置,并畫出軸對稱圖形的另一半。

      (3)根據(jù)軸對稱圖形的一半與對稱軸之間的位置關(guān)系,確定軸對稱圖形另一半對稱點的位置,并畫出軸對稱圖形的另一半。

      然而學(xué)生畫圖方法的提高,是基于認知水平的提升,是理解軸對稱圖形特征的具體體現(xiàn)。因此,教師設(shè)計了“找出軸對稱圖形的對稱軸———認識對稱點及其性質(zhì)——補全對稱軸是豎直的軸對稱圖形——補全對稱軸是水平的軸對稱圖形”這四個環(huán)節(jié)的活動,從圖形的整體認識入手,明確幾何要素,分析幾何要素之間的關(guān)系,形成對軸對稱圖形更深刻的認知。

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