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      以“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)促“減負(fù)增效”學(xué)數(shù)學(xué)

      2023-05-21 20:20:39董裕華
      關(guān)鍵詞:教學(xué)感悟減負(fù)增效創(chuàng)新實(shí)踐

      【摘 要】“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)是通過教師“四精(精打細(xì)算、精挑細(xì)選、精耕細(xì)作、精益求精)”、學(xué)生“兩主(積極主動(dòng)學(xué)、自主選擇學(xué))”,取得“兩活(學(xué)習(xí)方法活、思維創(chuàng)新活)兩實(shí)(學(xué)業(yè)基礎(chǔ)實(shí)、素養(yǎng)提升實(shí))”教學(xué)成效。以“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)法對(duì)2002年高考數(shù)學(xué)壓軸“剪拼題”進(jìn)行探究教學(xué),有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和解決問題的能力,實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效學(xué)數(shù)學(xué)”。

      【關(guān)鍵詞】精準(zhǔn)活實(shí);減負(fù)增效;創(chuàng)新實(shí)踐;教學(xué)感悟

      【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009(2023)16-0068-07

      【作者簡(jiǎn)介】董裕華,江蘇省海安高級(jí)中學(xué)(江蘇海安,226600)校長(zhǎng),正高級(jí)教師,江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

      江蘇省海安高級(jí)中學(xué)通過教師“四精”、學(xué)生“兩主”,取得“兩活兩實(shí)”教學(xué)成效,形成“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)特色,受到社會(huì)關(guān)注。2002年高考數(shù)學(xué)壓軸“剪拼題”歷久彌新,至今仍切合新課改理念?,F(xiàn)筆者以該題教學(xué)實(shí)踐為例,探究如何通過“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué),激發(fā)知識(shí)遷移、激活脈絡(luò)關(guān)聯(lián)、激勵(lì)主動(dòng)創(chuàng)造,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),更好體現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值,實(shí)現(xiàn)學(xué)科減負(fù)增效。

      2002年全國I卷文科第22題:

      (1)給出兩塊面積相同的正三角形紙片(如圖1、圖2),要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型,另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型,使它們的全面積都與原三角形的面積相等,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法,分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中,并作簡(jiǎn)要說明; (4分+4分)

      (2)試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小; (4分)

      (3)如果給出的是一塊任意三角形的紙片(如圖3),要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型,使它的全面積與給出的三角形的面積相等,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法,用虛線標(biāo)示在圖3中,并作簡(jiǎn)要說明。(本小題為附加題,如果解答正確,加4分,但全卷總分不超過150分)

      這道題是整卷的壓軸題,受答卷時(shí)間和心理壓力的影響,有些考生未能發(fā)揮正常水平。但滿分16分的試題,全國均分只有2.48分,著實(shí)讓人匪夷所思。對(duì)于第(1)問,只要取三角形三條中位線(如圖4),就可以折成正四面體(如圖5),4分不難取得。學(xué)生感覺題目新、沒想到、不適應(yīng),而權(quán)威部門對(duì)本題褒獎(jiǎng)有加,認(rèn)為它具有探索性,蘊(yùn)含創(chuàng)意、精彩獨(dú)特,是為數(shù)不多的“對(duì)于培養(yǎng)考生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)有重要的意義”的好題,它不僅考查學(xué)生的空間想象、動(dòng)手(拼圖)能力和類比、遷移的思想方法,還著重考查學(xué)生的創(chuàng)新能力,體現(xiàn)了“創(chuàng)設(shè)問題、提出問題→操作實(shí)驗(yàn)、探索規(guī)律→應(yīng)用、解決問題”的研究性學(xué)習(xí)方式,有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性。[1]

      筆者多次嘗試讓高一新生完成這道題的第(1)(3)兩問,學(xué)生給筆者很多驚喜,也讓筆者思考:我們的課堂到底應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、動(dòng)手操作力、探究創(chuàng)造力?這既是老問題,也是常抓常新的問題。

      一、“精準(zhǔn)活實(shí)教學(xué)”的意蘊(yùn)

      “精準(zhǔn)活實(shí)”是江蘇省海安高級(jí)中學(xué)在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中形成的教學(xué)特色。我們始終把“怎樣用盡可能‘少帶來盡可能多的‘好”作為研究主題,“減負(fù)增效學(xué)數(shù)學(xué)”既是我們的主攻目標(biāo),也是我們的實(shí)踐成果。

      教師“四精”和學(xué)生“兩主”,是“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)的重要特征,其成果體現(xiàn)在學(xué)生的“兩活兩實(shí)”。

      1.教師 “四精”

      (1)精打細(xì)算。精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和環(huán)節(jié),力求“教—學(xué)—評(píng)”一致;要求學(xué)生完成的練習(xí),教師先試水、篩選,力戒錯(cuò)題、廢題、無效題。

      (2)精挑細(xì)選。充分挖掘優(yōu)秀教學(xué)素材的生長(zhǎng)、擴(kuò)展和聯(lián)通功能,由題及類、觸類旁通、舉一反三,發(fā)展學(xué)生觀察、想象、探索和實(shí)踐能力。

      (3)精耕細(xì)作。通過對(duì)課堂和作業(yè)生態(tài)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和數(shù)據(jù)分析,既節(jié)省教師的時(shí)間和精力,又能及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié),提高教育教學(xué)的針對(duì)性和有效性。

      (4)精益求精。準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)起點(diǎn),靈活取舍教學(xué)內(nèi)容,突出整體駕馭和精講精練,突出學(xué)科素養(yǎng)和能力提升,將因材施教落到實(shí)處?!皽?zhǔn)”以“精”為條件,“精”以“準(zhǔn)”為標(biāo)志,“精”“準(zhǔn)”緊密相連,是教學(xué)減負(fù)增效的基礎(chǔ)。

      2.學(xué)生“兩主”

      (1)積極主動(dòng)學(xué)。課堂上,90%以上的學(xué)生積極參與教學(xué)全過程,所學(xué)內(nèi)容90%以上能被學(xué)生掌握。每節(jié)課的這兩個(gè)“90%”,就能保證90%以上的學(xué)生取得理想成績(jī)。盡管這三個(gè)“90%”只是教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)的部分指標(biāo),但好的教學(xué)效果是對(duì)課堂教學(xué)的基本要求。

      (2)自主選擇學(xué)。學(xué)會(huì)選擇是精準(zhǔn)教學(xué)的基礎(chǔ)。教師要幫助學(xué)生弄清自己有什么、要什么,再考慮給什么、怎么給,這是學(xué)生自主選擇的保障。學(xué)生要學(xué)會(huì)權(quán)衡取舍,把主要精力集中在“跳一跳夠得著”的有典型意義的問題上。

      3.學(xué)生的“兩活兩實(shí)”

      減負(fù)增效的成效主要體現(xiàn)在學(xué)生的“兩活兩實(shí)”。

      (1)學(xué)習(xí)方法活。死記硬背和機(jī)械刷題容易使思想僵化。學(xué)生自主預(yù)習(xí)、鉆研、歸納總結(jié),自主模擬命題,制訂評(píng)分細(xì)則,在“不經(jīng)意間”也能達(dá)成教學(xué)目標(biāo),甚至超出預(yù)期。

      (2)思維創(chuàng)新活。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維,思維又是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。培養(yǎng)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。對(duì)學(xué)生而言,無論是問題還是結(jié)論,只要是他們發(fā)現(xiàn)的,都屬于創(chuàng)新成果。要讓學(xué)法活起來,讓思維活起來,就要讓數(shù)學(xué)真正用起來。“活”是“用”的目的,只有“用”才能“活”。

      (3)學(xué)業(yè)基礎(chǔ)實(shí)。沒有扎實(shí)的基礎(chǔ),就難以形成核心競(jìng)爭(zhēng)力。高考的80%題目考查基礎(chǔ),難題只有20%。但多數(shù)學(xué)生在占80%的基礎(chǔ)內(nèi)容上只用了20%的時(shí)間,卻把80%的時(shí)間用在20%的難題上,不但做了許多無用功,連本來能得的分?jǐn)?shù)也丟了不少,得不償失。

      (4)素養(yǎng)提升實(shí)。鼓勵(lì)學(xué)生有效整合學(xué)科知識(shí),運(yùn)用學(xué)科方法,高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)、分析、解決真實(shí)情境中的問題,提升能力素養(yǎng),以適應(yīng)當(dāng)前和今后發(fā)展的客觀要求。

      二、“一道初中生能解的高考數(shù)學(xué)難題”教學(xué)過程[2]

      1.激發(fā)知識(shí)遷移,完成基礎(chǔ)剪拼

      教師告知學(xué)生正三棱錐和正三棱柱的剪拼要求:正三棱錐由一個(gè)正三角形和三個(gè)全等的、底邊長(zhǎng)等于正三角形的邊長(zhǎng)等腰三角形構(gòu)成(如圖6);正三棱柱由兩個(gè)全等的正三角形和三個(gè)全等的、一邊長(zhǎng)等于正三角形邊長(zhǎng)的矩形構(gòu)成(如圖7)。

      學(xué)生從小就進(jìn)行過“折剪拼”的訓(xùn)練,絕大多數(shù)人拼出如圖4、5的正三棱錐,也有不少人將剪拼正三棱錐的方法遷移到正三棱柱(如圖8),先沿三角形中位線剪出1和2兩個(gè)正三角形,將剩下的平行四邊形變成矩形(三角形3移到4的位置),再將矩形分成3個(gè)全等的小矩形即可;或者如圖9,先剪出正三角形1,再剪出矩形,剩下的兩個(gè)直角三角形2和3拼成和正三角形1全等的三角形。大多數(shù)考生是可以做出第(1)問的。

      2.激活脈絡(luò)關(guān)聯(lián),拓展思維空間

      教師引導(dǎo):以前,我們?cè)鯓影丫匦渭羝闯蔁o蓋的長(zhǎng)方體?

      學(xué)生:只要在四個(gè)角都剪去同樣大小的正方形,就可以達(dá)成目標(biāo)。(如圖10)

      教師:怎樣剪拼成有蓋的長(zhǎng)方體呢?

      學(xué)生苦思冥想仍不得法。

      教師提醒:正三棱柱是怎么剪拼的?能不能參照它的方法?

      有學(xué)生想到先對(duì)折矩形,剪出兩個(gè)正方形做底面,剩下部分再對(duì)折成四個(gè)側(cè)面(如圖11),就可以做成有蓋的長(zhǎng)方體。

      教師追問:你是怎么想到的?

      學(xué)生:正方形的四條邊都相等,做側(cè)面就比較方便,跟剪拼正三棱柱差不多。

      教師用模型示意:把無蓋的正三棱柱盒子剪開,平放到桌面上,能不能想象出它的形狀?

      學(xué)生很快畫出圖12,也知道這個(gè)形狀由一個(gè)正三角形和三個(gè)全等的矩形構(gòu)成。

      教師又追問:這個(gè)“禿頭禿腦”的形狀,似乎缺了三個(gè)“角”,誰來補(bǔ)上?

      學(xué)生自然想到了圖13。

      教師繼續(xù)追問:圖13中,陰影部分小三角形的頂點(diǎn)在大三角形的什么位置?

      學(xué)生討論后形成一致意見:盡管正三角形的三條高、三條中線、三條角平分線重合,但這里用到的只是角平分線,因?yàn)檫@里的小三角形頂點(diǎn)到大三角形兩邊的距離都相等。學(xué)生作出如圖14的示意圖,O點(diǎn)是作為△ABC的內(nèi)心。

      教師再追問:剛剛補(bǔ)上的三個(gè)角能不能拼成盒子的蓋子?

      學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn),在圖14中,從O點(diǎn)作△DEF三邊的垂線,只要補(bǔ)上的三個(gè)“角”湊起來與△DEF重合,也就是D,E,F(xiàn)分別處在OA,OB,OC的中點(diǎn)時(shí)就能滿足要求。

      順著這個(gè)思路,把一般三角形剪拼成直三棱柱就易如反掌。(如圖15)

      弄清整個(gè)剪拼的來龍去脈,把握關(guān)鍵點(diǎn),第(3)問也不是高不可攀。

      3.激勵(lì)主動(dòng)創(chuàng)造,提升能力素養(yǎng)

      教師引導(dǎo):將一般三角形剪拼成直三棱柱,還有其他方法嗎?

      受圖8—圖11的影響,學(xué)生通過作中位線,得到兩個(gè)全等三角形1、2和一個(gè)平行四邊形3。如圖16的難點(diǎn)是把平行四邊形3剪拼成一邊長(zhǎng)等于三角形1周長(zhǎng)的矩形。

      在教師的鼓勵(lì)下,學(xué)生繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn):如圖17,在 ABCD中,如果AF(<AC)的長(zhǎng)度等于規(guī)定長(zhǎng)度,將圖中區(qū)域1移到2的位置, ABEF就滿足要求。如果AC的長(zhǎng)度還不符合規(guī)定,將 ABEF繼續(xù)剪拼,經(jīng)過有限次操作,總能讓其邊長(zhǎng)達(dá)標(biāo)。再用圖8中三角形3移到4的方法,將平行四邊形變成矩形。

      教師引導(dǎo):剛才,大家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要結(jié)論:任何平行四邊形,都可以剪拼成一邊長(zhǎng)符合規(guī)定的矩形。那么,一般三角形能否剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的平行四邊形呢?

      學(xué)生:同樣利用中位線,把圖18中的區(qū)域1移到2,區(qū)域3移到4,原來的三角形變成了矩形,再用圖17的方法就行了。

      教師:如果我們規(guī)定的邊長(zhǎng)比AB和AD都小,又怎么辦呢?

      學(xué)生:經(jīng)過AD中點(diǎn)和BC中點(diǎn)作直線,將 ABCD一分為二。再將其上部拆移到下部的右側(cè)。

      教師:如果還不符合要求呢?

      學(xué)生:重復(fù)剛才的做法直到滿足條件。

      教師繼續(xù)引導(dǎo):如果把三角形換成多邊形,也能變成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的矩形嗎?

      學(xué)生豁然開朗:通過對(duì)角線將多邊形分割成三角形,就可以按照上述方法,將每個(gè)三角形都變成規(guī)定長(zhǎng)度的矩形,如圖19,將區(qū)域1、2、3分別變成區(qū)域4、5、6,就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

      教師激勵(lì):剛剛,我們經(jīng)歷了一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)的過程——任何兩個(gè)面積相等的多邊形都可以通過有限次割補(bǔ)讓它們?nèi)取?833年,匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約證明了這個(gè)結(jié)論,這個(gè)結(jié)論也稱為波爾約-格維也納定理。那么,這個(gè)結(jié)論能不能再推廣到空間,怎么表述呢?

      學(xué)生:任何兩個(gè)體積相等的多面體都可以通過有限次割補(bǔ)的方法讓它們?nèi)取?/p>

      教師:非常好!你們已經(jīng)和大數(shù)學(xué)家具有同樣的思維,真不簡(jiǎn)單!這種類比和猜想是創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)。1900年,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家代表會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題,其中的第3個(gè)就是它。只不過直覺告訴希爾伯特,這個(gè)結(jié)果不一定正確。也就是說:兩個(gè)體積相等的多面體不一定能通過割補(bǔ)的方法讓它們?nèi)?。這個(gè)結(jié)論提出的當(dāng)年,希爾伯特的學(xué)生就給出了證明。由此看來,直覺類比不一定可靠,還得經(jīng)過嚴(yán)格的證明,否則還只是一個(gè)猜想。

      有學(xué)生意外發(fā)現(xiàn)和圖11差不多的思路:如圖20,先把一般三角形變成矩形,再將矩形分割出兩個(gè)正三角形,剩下部分三等分,就可以做成正三棱柱。

      教師再激勵(lì):真沒想到,你們不僅將一般三角形剪拼成直三棱柱,還直接拼成了正三棱柱,同學(xué)們真不簡(jiǎn)單!我們?cè)偎伎家粋€(gè)問題。剛才,大家抓住特殊點(diǎn)、特殊線,讓問題變簡(jiǎn)便。如果不用中點(diǎn)、中位線,這個(gè)問題還能不能解決呢?不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2,剪出的小三角形邊長(zhǎng)為x(x<1),如圖21、22,又怎么做呢?

      學(xué)生分組研討發(fā)現(xiàn):

      剪拼成一般性的正三棱錐,可以分三步走:第一,把剩下的等腰梯形變成一邊長(zhǎng)為1+0.5x的矩形,如圖23;第二,把矩形先變成一邊長(zhǎng)為1.5x的平行四邊形,再變回矩形,如圖24;第三,把第二步得到的矩形變成上下底邊長(zhǎng)分別為x和2x的等腰梯形,再分割成3個(gè)全等的等腰三角形做三棱錐的3個(gè)側(cè)面。(如圖25)

      剪拼成一般性的正三棱柱,只要把圖26的五邊形ABCDE按圖19的方法變成一邊長(zhǎng)為x的矩形,問題同樣可以解決。

      由此推知,把一般三角形剪拼成正三棱錐和直三棱柱有無數(shù)種方法。

      教師總結(jié):題目的參考答案只寫了一種情況,我們的同學(xué)卻考慮到無數(shù)種可能。大家的想象力、操作力、創(chuàng)造力遠(yuǎn)超出我們的預(yù)期,祝賀大家。大膽猜想、小心求證是創(chuàng)新創(chuàng)造的重要路徑。圖24中也可能遇到1.5x比矩形的兩邊長(zhǎng)都小的問題,大家還能不能解決?

      學(xué)生全體:能!

      三、“一道初中生能解的高考數(shù)學(xué)難題”教學(xué)感悟

      1.題目本身具有挖潛開發(fā)價(jià)值

      貫穿本節(jié)課主線的高考題“面世”20多年仍“風(fēng)采依舊”,是“經(jīng)得起考驗(yàn)”的好題。好題的難度和新穎度都不是最重要的,重要的是題目能否緊扣教學(xué)的實(shí)際,擊中教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和薄弱點(diǎn),讓學(xué)生做一題、會(huì)一類、通一片,不斷豐富和鞏固知識(shí)網(wǎng)絡(luò),提高學(xué)習(xí)能力和素養(yǎng)。從這個(gè)意義上講,好題“量不在多,典型就行;題不在難,有思想則靈”。教師要精心挑選教學(xué)素材,充分挖掘好題價(jià)值,盡可能減少學(xué)生的機(jī)械重復(fù)勞動(dòng),減輕學(xué)生不必要的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

      好題從哪里來?教育部考試中心原命題中心主任劉芃指出:“與其大量做題,不如抽出時(shí)間認(rèn)真研究往年的試題。往年的試題是精雕細(xì)磨的產(chǎn)物,它反映了對(duì)考試內(nèi)容的深思熟慮、對(duì)設(shè)問和答案的準(zhǔn)確拿捏、對(duì)學(xué)生水平的客觀判斷。研究這些試題,就如同和試題的制作者對(duì)話?!保?]命題老師對(duì)教學(xué)要求的把握相對(duì)準(zhǔn)確,試題打磨的時(shí)間也較長(zhǎng),又經(jīng)過成千上萬人的實(shí)踐檢驗(yàn),高考題的研究?jī)r(jià)值顯而易見。

      本節(jié)課選用的高考題設(shè)計(jì)精巧,低起點(diǎn)、多層次、高落差,由淺入深,平凡中見高遠(yuǎn),平淡中見真功。低起點(diǎn)體現(xiàn)在對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)容的推陳出新,面向全體學(xué)生。學(xué)生對(duì)“折剪拼”并不陌生,在小學(xué)甚至幼兒園時(shí)就進(jìn)行過實(shí)踐操作,每個(gè)人都做過把正三角形折成正四面體的游戲?!鞍丫匦渭羝闯蔁o蓋的長(zhǎng)方體”也是小學(xué)的必學(xué)內(nèi)容,沒有任何偏、難、深、怪。只是很少有人進(jìn)一步思考:怎樣把矩形剪拼成有蓋的長(zhǎng)方體?使它的全面積與原矩形的面積相等。圖8、圖9的操作原理與圖11類似,能否弄清相互的關(guān)聯(lián),就是思維的層次性。開放的情境設(shè)計(jì),也給分析和解決問題提供了更多可能。畫出無蓋的正三棱柱的展開圖,就能發(fā)現(xiàn)正三棱柱的第二種剪拼方法,并延伸到由一般三角形剪拼直三棱柱。不少人套用圖8的方法,由圖20確定直三棱柱的兩個(gè)底面,卻止步于“將平行四邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的平行四邊形”,這也是思維的層次性。高落差體現(xiàn)在能否融會(huì)貫通,總結(jié)出一般性規(guī)律,得到一般性結(jié)論。解決了“將任意平行四邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的平行四邊形”的問題,就能“將任意多邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的矩形”,再進(jìn)一步提升到世紀(jì)數(shù)學(xué)問題。同時(shí),前面剪拼的過程和方法又為圖21、22一般性問題的解決提供了鋪墊,進(jìn)而總結(jié)出處理這類問題的通性通法。學(xué)生學(xué)會(huì)一道題,便能掌握一類題,本題當(dāng)屬經(jīng)典題、精品題。

      2.教學(xué)過程推動(dòng)能力素養(yǎng)增值

      本節(jié)課通過情境性、實(shí)踐性、生成性和創(chuàng)新性的教學(xué)實(shí)施,助力學(xué)科綜合素養(yǎng)的提升,讓學(xué)生親身經(jīng)歷獨(dú)立觀察思考、大膽猜想嘗試、師生合作探究的教學(xué)過程,親身感受空間想象能力、動(dòng)手操作能力、創(chuàng)新創(chuàng)造能力的實(shí)際應(yīng)用。

      本節(jié)課所有題目均源于課本,源于真實(shí)生活情境,源于學(xué)生實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),都是學(xué)生看得見、摸得著的熟悉場(chǎng)景。剪拼長(zhǎng)方體、正四面體、正三棱柱等生活化的教學(xué)情境更容易讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)起學(xué)習(xí)的興趣熱情。

      本節(jié)課按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從熟悉到陌生、從低階思維到高階思維的順序進(jìn)行,每一個(gè)環(huán)節(jié)呈現(xiàn)的都是接近現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù),需要學(xué)生拿出可操作的剪拼方案,并能“知其然知其所以然”。整節(jié)課都在通過涂畫、剪拼、組合、探索、嘗試等活動(dòng)“做數(shù)學(xué)”,都在學(xué)以致用、用以促學(xué)、學(xué)用相長(zhǎng),不斷提升能力素養(yǎng)。

      本節(jié)課,教師在弄清學(xué)生“要什么”的基礎(chǔ)上激發(fā)、激活和激勵(lì),學(xué)生不斷找出新方法、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、提出新問題,“生成性”貫穿于全課始終。在動(dòng)態(tài)生成中,學(xué)生的解題思路更加開闊,領(lǐng)悟更加深刻,思維更加縝密,“學(xué)生的想象力、操作力、創(chuàng)造力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我們的預(yù)期”是課堂的溢出效應(yīng)。有了圖11的剪拼基礎(chǔ),有了一般三角形變成矩形的知識(shí)準(zhǔn)備,生成圖20的剪拼方法已經(jīng)水到渠成,在任意位置剪拼正三角形也是順?biāo)浦鄣氖虑?。教師課前準(zhǔn)備充分,對(duì)每種可能出現(xiàn)的情形都有精心預(yù)設(shè),又根據(jù)課堂實(shí)際隨機(jī)應(yīng)變、適時(shí)調(diào)整,在成就學(xué)生的同時(shí)成就自己,教學(xué)相長(zhǎng),相得益彰。

      本節(jié)課沒有就題講題,而是鼓勵(lì)學(xué)生大膽地想、大膽地試,在質(zhì)疑猜想、動(dòng)手實(shí)踐、類比遷移和協(xié)作互動(dòng)中發(fā)散思維,從不同角度認(rèn)識(shí)問題、解決問題,激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性、靈活性、探究性和創(chuàng)造性。在“我要學(xué)”的氛圍中,學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家研究的問題,探索出將任意三角形剪拼成正三棱錐、直三棱柱的一般性解決方案,這既是創(chuàng)新思維的收獲,也是“精準(zhǔn)活實(shí)”教學(xué)的結(jié)果。

      3.目標(biāo)定位追求學(xué)科育人的極值

      “數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能,在學(xué)生形成正確人生觀、價(jià)值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨(dú)特作用。”[4]如何更好地挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值、增強(qiáng)課堂教學(xué)的育人成效,真正體現(xiàn)“不可替代的作用”“獨(dú)特作用”,本節(jié)課進(jìn)行了有益的探索。

      教育的目的是激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的自我發(fā)展之路。數(shù)學(xué)教學(xué)的生長(zhǎng)性更多表現(xiàn)為“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的落實(shí)。本節(jié)課從學(xué)生已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和發(fā)展需求出發(fā),順學(xué)而導(dǎo),以學(xué)定教,以學(xué)促教,尊重生長(zhǎng)意愿、滿足生長(zhǎng)需要,給學(xué)生充分的發(fā)展時(shí)空。參考答案給出的是圖14、15的剪拼方法,這個(gè)方法很多人感到突兀,更多人采用的是圖16的方法,但怎樣“將平行四邊形剪拼成一邊長(zhǎng)等于規(guī)定長(zhǎng)度的矩形”,又是一個(gè)難點(diǎn),很少有人知難而進(jìn)。本節(jié)課采用逆向思維的方法,先讓學(xué)生觀察無蓋的正三棱柱展開圖,通過展開圖發(fā)現(xiàn)問題、展開聯(lián)想,自然地過渡到圖14、15,這也是對(duì)命題意圖的“還原”。整節(jié)課,教師鼓勵(lì)學(xué)生“大膽假設(shè),小心求證”,激勵(lì)他們不斷戰(zhàn)勝自我,奮力前行。圖17是剪拼平行四邊形的常用方法,但一次剪拼不一定能達(dá)到預(yù)期效果,有時(shí)需要多次操作才能“達(dá)標(biāo)”,但這個(gè)過程不僅發(fā)現(xiàn)了“任何平行四邊形都可以通過剪拼變成一邊長(zhǎng)符合規(guī)定要求的平行四邊形”,解決好本題的問題,還可以推廣到一般多邊形,進(jìn)而得出“任何兩個(gè)面積相等的多邊形都可以通過割補(bǔ)的方法讓它們?nèi)取钡慕Y(jié)論,觸碰到數(shù)學(xué)家的世紀(jì)問題。由此再解決圖21、22的一般問題,學(xué)生就有了抓手和方向。通過自我建構(gòu)形成一類題的解決策略,將“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”,將“做題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鋈俗鍪隆?,培養(yǎng)他們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力。

      整節(jié)課圍繞一道題展開,力求透徹通暢,學(xué)生始終處在課堂的“中央”,處在積極主動(dòng)的生長(zhǎng)狀態(tài),他們樂于歸納猜想、敢于追根究底、勇于探索嘗試,經(jīng)歷了“浪漫—精確—綜合”的智力發(fā)展過程;教師適時(shí)點(diǎn)燃學(xué)生靈感火花,不斷“用小扇子扇旺學(xué)生心頭求知的火苗”,尊重、寬容、激勵(lì)學(xué)生,發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值,體現(xiàn)了教學(xué)的“精準(zhǔn)活實(shí)”。

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]教育部考試中心. 2002年普通高考數(shù)學(xué)科試題評(píng)價(jià)報(bào)告[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2002(12):4-5.

      [2]董裕華. 精實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M]. 南京:江蘇鳳凰教育出版社,2021:170-173.

      [3]劉芃. 考試文集[M]. 北京: 人民教育出版社,2012:477.

      [4]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[S]. 北京: 人民教育出版社,2020:1-2.

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