付榮玲

2022版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，運(yùn)算能力的素養(yǎng)有三種表現(xiàn)：一是“如何算”、二是“為什么這樣算”、三是“怎樣算得更好”。筆者在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)，“如何算”的問(wèn)題學(xué)生容易掌握，“為什么這樣算”知道的不多。造成學(xué)生算理不清的原因是什么呢？如何讓學(xué)生既知道“如何算”，又能理解“為什么這樣算”，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力呢？筆者以兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算為例進(jìn)行了教學(xué)探索。

一、筆算教學(xué)算理不清的原因溯源

筆算教學(xué)何以經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)生會(huì)算不會(huì)說(shuō)或會(huì)算說(shuō)不清的情況，筆者通過(guò)前測(cè)和教師訪談發(fā)現(xiàn)，筆算豎式意義理解存在盲區(qū)有以下原因。

（一）重講授、輕體驗(yàn)，知“書(shū)”卻未達(dá)“理”

對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，教材設(shè)計(jì)了購(gòu)物情境，采用乘法結(jié)合律和乘法分配律兩種思路，讓學(xué)生借助乘法分配律理解豎式的道理。很多教師按照教材的方法實(shí)施筆算豎式教學(xué)，學(xué)生僅在教師的講授中理解了豎式，但是真的洞悉了乘法分配律嗎？往前追溯，學(xué)生對(duì)把12分成10和2，更多的是立足于數(shù)的組成，即12是由1個(gè)十和2個(gè)一組成，而這種拆分的依據(jù)更多來(lái)源于一年級(jí)學(xué)習(xí)加減法時(shí)采用的湊十法或破十法。學(xué)生似乎已經(jīng)知“書(shū)”，但是缺少對(duì)算法甄別的體驗(yàn)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)“理”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與情感體驗(yàn)發(fā)生游離，不能體悟乘法分配律的內(nèi)在價(jià)值。

（二）重算法，輕算理，規(guī)則意義兩張皮

計(jì)算教學(xué)中，很多教師追求算法的程序和規(guī)則，認(rèn)為掌握算法是第一位的，甚至很多教師對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算認(rèn)識(shí)停留在計(jì)算是一個(gè)熟練操作的過(guò)程，法則的強(qiáng)化訓(xùn)練是最重要的，輕視算理的理解，忽視了算法形成過(guò)程。本課例1中呈現(xiàn)的兩種方法以及筆算豎式的方法，其內(nèi)在是有著密切聯(lián)系的，互相支撐。在兩張皮的課堂上，不同算法之間是割裂的存在。算法的多樣化變成了多樣化方法，缺乏比較與溝通，難以觸摸算理的本質(zhì)。

（三）重點(diǎn)狀，輕成網(wǎng)，知識(shí)之間缺乏關(guān)聯(lián)

有些教師在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”時(shí)，眼前只見(jiàn)樹(shù)木，不能看到整片森林，就課論課，忽視了不同階段筆算間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和不同知識(shí)之間的聯(lián)系以及隱藏的共同內(nèi)在結(jié)構(gòu)，沒(méi)有從乘法的意義、位值關(guān)系、運(yùn)算定律等高位視角進(jìn)行整合，學(xué)生在缺乏聯(lián)系的點(diǎn)狀學(xué)習(xí)中難以將新知融入已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，不能形成全新的知識(shí)系統(tǒng)，導(dǎo)致難以在具體情境中運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題，從而形成運(yùn)算意義理解的“盲區(qū)”。

二、發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的優(yōu)化策略

運(yùn)算能力的形成是一個(gè)系統(tǒng)化的過(guò)程，筆算算理的理解既是知識(shí)的縱向線性發(fā)展，也是不同知識(shí)之間的橫向關(guān)聯(lián)。在筆算教學(xué)中，教師要用數(shù)學(xué)學(xué)科視角整體審視教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)內(nèi)容與內(nèi)容之間、規(guī)則與意義之間、認(rèn)知與情感之間的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的形成。

（一）學(xué)科視角，材料聯(lián)結(jié)中發(fā)展學(xué)力

浙江省教研員斯苗兒多次強(qiáng)調(diào)“課改要從改課開(kāi)始，數(shù)學(xué)教學(xué)要有學(xué)科視角”。面對(duì)數(shù)學(xué)教材碎片化、低起點(diǎn)等現(xiàn)狀，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有學(xué)科視角，從整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)出發(fā)，為學(xué)生提供便于探究和思考的材料，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)力發(fā)展。

1.線性聯(lián)系中明價(jià)值。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是三年級(jí)下冊(cè)教學(xué)的重點(diǎn)，在小學(xué)階段的整數(shù)筆算系統(tǒng)中起著承上啟下的作用，可以為以后學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”打下基礎(chǔ)。對(duì)處于知識(shí)鏈中間環(huán)節(jié)的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”，教師不能以常規(guī)的新授課開(kāi)展教學(xué)，而是要將“新授課”當(dāng)成“復(fù)習(xí)課”，讓學(xué)生在比較遷移中逐步生發(fā)新知的需要，提升自身的學(xué)習(xí)力，從而為今后的學(xué)習(xí)提供方法的借鑒和算理的解釋，架構(gòu)深入探究的橋梁。

2.知識(shí)理解中明目標(biāo)。

筆者在進(jìn)行前測(cè)時(shí)讓學(xué)生自主列豎式計(jì)算“14×12”，很多學(xué)生出現(xiàn)的豎式如圖1所示。因此課堂教學(xué)中，教師應(yīng)展開(kāi)多樣化算法與豎式計(jì)算之間的橫向聯(lián)系，結(jié)合教材中的點(diǎn)子圖（如圖2所示），幫助學(xué)生建立直觀理解。很多學(xué)生只是通過(guò)預(yù)習(xí)或補(bǔ)習(xí)班中獲得的列豎式計(jì)算方法，只了解其“形”，到理解其“意”還有很長(zhǎng)的距離，需要教師為學(xué)生提供充分的體驗(yàn)過(guò)程，打破機(jī)械記憶的假象，打通算理算法的“任督二脈”，實(shí)現(xiàn)“正確運(yùn)算、理解算理、方法合理”的培養(yǎng)目標(biāo)。

3.破析難點(diǎn)中優(yōu)材料。

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算教學(xué)難點(diǎn)有三：一是乘的順序，計(jì)算“14×12”時(shí)，學(xué)生口算時(shí)通常先算12×10，而豎式計(jì)算卻先算14×2，這是學(xué)生首要的困惑；二是運(yùn)算后的積的呈現(xiàn)（14×10的積的末尾的0為什么不寫(xiě)）以及積的書(shū)寫(xiě)位置；三是計(jì)算程序突然增加為兩層“樓梯”，既要算乘法，又要算加法。教師要根據(jù)學(xué)習(xí)難點(diǎn)優(yōu)化學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題情境中感受乘法分配律的價(jià)值，在不同算法的分析中理解算理，為學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)素材，讓學(xué)生直抵豎式本質(zhì)，不斷積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）關(guān)注聯(lián)結(jié)，比較遷移中理法融合

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算作為筆算教學(xué)鏈條中承上啟下的一環(huán)，計(jì)算程序更為復(fù)雜，更具有概括性與總結(jié)性。教學(xué)時(shí)，教師要注重情境與算法探究的聯(lián)系、新知與舊知的聯(lián)系、算法與技能的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生理解算理，正確運(yùn)算，在比較遷移中實(shí)現(xiàn)算理和算法合二為一。

1.情境預(yù)設(shè)，體驗(yàn)方法多樣到優(yōu)化。

教材中的原問(wèn)題是“每套書(shū)14本，買了12套”。為了凸顯乘數(shù)的拆分，筆者對(duì)教材數(shù)據(jù)進(jìn)行了調(diào)整：每套書(shū)有23本，買了12套。一共買了多少本書(shū)？

在根據(jù)乘法的意義列出23×12的算式后，首先，筆者讓學(xué)生估計(jì)乘法計(jì)算結(jié)果，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，又確定了積的大概范圍，為探索筆算方法結(jié)果的驗(yàn)證做好鋪墊。其次，筆者要求學(xué)生思考計(jì)算方法，可以在點(diǎn)子圖上圈圈畫(huà)畫(huà)，表示出自己計(jì)算的每一步。最后，筆者用學(xué)生學(xué)過(guò)的算式表示出學(xué)生的思考過(guò)程。

第一，把12分成4×3，先求4套書(shū)的本數(shù)，再求3個(gè)4套書(shū)的本數(shù)，算式是23×4×3；第二，把12分成10和2，分別求出10套書(shū)和2套書(shū)各有的本數(shù)，再相加，算式是23×10+23×2；第三，把12分成了6×2，先求6套書(shū)的本數(shù)，再求2個(gè)6套書(shū)的本數(shù)，算式是23×6×2。然后要求學(xué)生比較這幾種方法有沒(méi)有相同的地方，學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：都是將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)或兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，再相加的結(jié)果。

筆者對(duì)學(xué)生多樣化的解法表示認(rèn)可，隨即將題目中的12套改為13套，讓學(xué)生繼續(xù)探索23×13的結(jié)果。這時(shí)學(xué)生陷入沉默，顯然這個(gè)數(shù)字一變，形成了強(qiáng)大的思維障礙，13不能拆成兩個(gè)數(shù)的積（除了1×13），從而引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，只能將方法聚焦于將13套分成10套和3套，再計(jì)算。

筆者再次啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行比較，思考為什么此時(shí)不能用“乘了再乘”的方法呢？如果是19套書(shū)、31套書(shū)，又該怎么求一共有多少本書(shū)呢？學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)，不管是多少套書(shū)，都可以拆成整十?dāng)?shù)與一位數(shù)，“兩乘一加”的方法普遍適用于任何兩位數(shù)乘兩位數(shù)，有著自身的優(yōu)勢(shì)。

數(shù)學(xué)是講道理的，計(jì)算教學(xué)的算理更是算法的靈魂。學(xué)生遇到新學(xué)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，自然能轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)來(lái)解決。學(xué)生用已有經(jīng)驗(yàn)“乘了又乘”和“兩乘一加”都能解決14×12的問(wèn)題，體現(xiàn)了探究新知的算法多樣化，打開(kāi)了學(xué)生的思路。但是筆算的原理是乘法分配律的兩乘一加，如何讓學(xué)生自然而然地理解背后的道理呢？顯然，數(shù)字的變式從合數(shù)到質(zhì)數(shù)，使學(xué)生體會(huì)到兩乘一加更有自身獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)和普適性價(jià)值。學(xué)生經(jīng)歷了這種多樣化到優(yōu)化的逐步歸納推理的過(guò)程，深刻理解了豎式教學(xué)背后的數(shù)學(xué)原理。

2.交流碰撞，經(jīng)歷算法個(gè)性到規(guī)范。

筆算乘法的算理呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的光芒，筆算乘法的方法更有其內(nèi)在規(guī)劃的程序美和簡(jiǎn)潔美。但是每個(gè)學(xué)生心目中都有自己理想的豎式算法，教師要充分暴露學(xué)生的思考方法，讓學(xué)生在交流碰撞中互相欣賞，在給學(xué)生講道理的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷算法的個(gè)性化到筆算方法的規(guī)范化。

例如，教師要求學(xué)生按照兩乘一加的方法，將23×12的算法表示在乘法豎式中，要體現(xiàn)每一步的口算過(guò)程。如圖3所示。

展示學(xué)生“作品”后，教師讓每個(gè)“作品”的主人自圓其說(shuō)，進(jìn)行個(gè)性表達(dá)?；ハ嘣u(píng)價(jià)時(shí)大家認(rèn)為方法①不能體現(xiàn)每一步口算過(guò)程，方法②和③中第二步都是求10套書(shū)有多少本，但是寫(xiě)出來(lái)的數(shù)卻不一樣。學(xué)生不僅理解了看得見(jiàn)的0的原始算式，更是看到了規(guī)范的乘法豎式中的數(shù)位的值，方法③里的23因?yàn)?在十位上，表示的是23個(gè)十。學(xué)生在不同豎式的比較聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)，方法③作為筆算規(guī)范方法，更具有正確性和簡(jiǎn)潔美。

3.多算并舉，感悟算理點(diǎn)狀到網(wǎng)狀。

新教材將口算乘法移至三年級(jí)下冊(cè)，估算也不再單出例題，原因可能在于新教材將估算意識(shí)的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)計(jì)算教學(xué)體系，為學(xué)生提供貼切的生活情境感受估算的現(xiàn)實(shí)意義，以積累估算和精確計(jì)算的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

上文教學(xué)片段中，教師將估算前置，預(yù)測(cè)結(jié)果，讓學(xué)生在口算和筆算時(shí)做到心中有“數(shù)”，計(jì)算之后用這把“尺子”來(lái)驗(yàn)證結(jié)果是否正確。在理解算理的過(guò)程中，口算方法、點(diǎn)子圖與豎式之間尋求一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在問(wèn)題解決的過(guò)程中讓學(xué)生為自己的算法講道理，為豎式的每一步“正名”?？谒愫凸浪闳谌牍P算教學(xué)中，讓口算和估算為筆算的算理提供合理區(qū)間，為計(jì)算結(jié)果的合理性選擇合適的判斷方法，從而促進(jìn)三種點(diǎn)狀的計(jì)算方法整體融合成網(wǎng)狀，培養(yǎng)學(xué)生合理選擇三種算法進(jìn)行計(jì)算的良好習(xí)慣，逐步積淀學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。

（三）抽象建模，感悟法則中整體建構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)包括深刻的思維和豐富的智慧。有些數(shù)學(xué)知識(shí)表面看起來(lái)簡(jiǎn)單，但其中蘊(yùn)含的思想需要教師去挖掘，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)比溝通、舉一反三、融會(huì)貫通方法的運(yùn)用，促使學(xué)生在感悟計(jì)算法則的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)主動(dòng)建構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力有效提高。

計(jì)算教學(xué)是最古老的運(yùn)算教學(xué)，不同的國(guó)家和地區(qū)有著自己特殊的方式。學(xué)習(xí)豎式筆算方法后，筆者為學(xué)生展示了我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)的視窗算法、古代印度的高位起算法和神奇的畫(huà)線法，讓學(xué)生欣賞、比較。如圖4所示。

學(xué)生試圖解釋這些不同的算法，在嘗試解釋中感悟算理，探究幾種不同算法的內(nèi)部聯(lián)系。學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)，這些算法其實(shí)都是將計(jì)算過(guò)程分解成了四乘一加的方法，即分解為“10×20、20×3、3×1和10×1”，最后再相加，這種先分再合的算法與豎式筆算的算理本質(zhì)上是完全一致的，開(kāi)闊學(xué)生眼界的同時(shí)，理解了算法之間的內(nèi)斂之核。

舉一反三中，數(shù)學(xué)文化基因自然而然植入學(xué)生心中，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野的同時(shí)，在不同算法的橫向比較中形成了自己的獨(dú)特感悟。乘法豎式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、程序化規(guī)則、轉(zhuǎn)化思想及位值原理等內(nèi)涵在學(xué)生的比較中由內(nèi)隱走向外顯，學(xué)生的邏輯思考、解釋、反思甚至證明能力得到了自然生長(zhǎng)。

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之，筆者通過(guò)上述策略開(kāi)展筆算教學(xué)，學(xué)生的計(jì)算正確率得到保證的同時(shí)，還能對(duì)豎式計(jì)算的每一步講道理，尤其是運(yùn)用計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題的能力有了明顯提高，實(shí)現(xiàn)了“計(jì)算正確、算理理解、方法合理”的目標(biāo)。 因此，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生感悟思想方法的價(jià)值，更需要有學(xué)科視野，用系統(tǒng)觀點(diǎn)審視教學(xué)內(nèi)容，處理好算法與算理之間的關(guān)系，助力學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。