對稱性在物理中的應用

摘?要：對稱性思想是物理學的基本思想之一，在整個物理學的發(fā)展中起著舉足輕重的作用。本文從大學物理的基礎(chǔ)知識點入手，來探討對稱性思想在力學，特別是剛體力學中的具體體現(xiàn)形式和應用，以及在電磁學領(lǐng)域麥克斯韋方程組所體現(xiàn)出來的優(yōu)美對稱性，和用麥克斯韋方程組來解決問題時所用到的對稱性思想。通過對物理不同分支對稱性思想的研究，來探究對稱性思想的重要意義。

關(guān)鍵詞：對稱性；剛體力學；麥克斯韋方程組

The?Application?of?Symmetry?in?Physics

Guo?Huping

Dept.of?Basic?Courses，Xian?Siyuan?University?ShaanxiXian?710038

Abstract：The?idea?of?symmetry?is?one?of?the?basic?ideas?of?physics，and?it?plays?a?pivotal?role?in?the?development?of?the?whole?physics;this?paper?starts?with?the?basic?knowledge?of?university?physics，and?discusses?the?specific?application?of?the?idea?of?symmetry?in?mechanics，especially?rigid?body?mechanics.It?embodies?the?form?and?application，as?well?as?the?beautiful?symmetry?embodied?by?Maxwell's?equations?in?the?field?of?electromagnetism，and?the?symmetry?ideas?used?when?using?Maxwell's?equations?to?solve?problems.Through?the?study?of?symmetry?ideas?in?different?branches?of?physics，to?explore?The?importance?of?the?idea?of?symmetry.

Keywords：symmetry；rigid?body?mechanics；Maxwell's?equations

在古希臘時期，著名的學者亞里士多德提出了物理學的概念，出版了一本書，名字就叫《物理學》。亞里士多德明確提出了地心說，認為地球是宇宙的中心，分為月球天、水星天、金星天、太陽天、火星天、土星天、恒星天。地上萬物由土、水、氣、火四種元素構(gòu)成，每種元素所生成的物體都有本質(zhì)屬性，都要處于自己本來應該具有的位置，如果不在自己的位置，它就要回到自己的位置。比如，氣就是向上的，而土，就是向下的。之后托勒密給出了宇宙的模型，也就是地心模型，以地球為中心，通過均輪、本輪的概念，闡述了當時的宇宙觀。雖然這個觀念在今天看來并不正確，但是托勒密的模型以球體和圓形為基本模型，因而具有高度的對稱性。隨著歐幾里得幾何學的建立，人們發(fā)現(xiàn)，物理和幾何有著天然的聯(lián)系。牛頓力學和歐幾里得幾何是緊密聯(lián)系的，而愛因斯坦的相對論和黎曼幾何是聯(lián)系在一起的。種種結(jié)論都是在表達著物理學的終極追求：即想要知道世界的根本構(gòu)成和根本秩序。正如斯蒂芬·威

廉·霍金（Stephen?William?Hawking）所說：他們渴望理解世界的根本秩序。今天我們?nèi)匀粯O想知道，我們?yōu)楹卧诖耍课覀儚暮味鴣?？人類求知的最深切的意愿足以為我們所從事的不斷探索提供充足的理由。而我們的目標恰恰正是對于我們生存其中的宇宙做出完整的描述?］。經(jīng)過不斷的探索，人們發(fā)現(xiàn)自然界的重要特征之一，就是具有對稱性。

對稱性是物理中最重要的概念之一。被愛因斯坦稱為“數(shù)學史上最偉大的女性”的德國數(shù)學家艾米·諾特（Emmy?Noether）證明了將對稱性和守恒性聯(lián)系在一起的定理，即每一個自然界的對稱性中可以得到一個守恒定律，每一個守恒定律對應著一種對稱性［2］。而楊振寧和李政道的諾貝爾獎成果宇稱不守恒定律也是和對稱性相關(guān)的，在大學物理的學習過程中，處處也蘊含著對稱的思想。牛頓力學中的三個基本守恒定律：動量守恒定律、機械能守恒定律、角動量守恒定律分別對應著空間平移對稱性、時間平移對稱性和空間轉(zhuǎn)動對稱性。本文從大學物理的基本知識點入手，來探討對稱性在大學物理中的應用。

1?力學中的對稱性

剛體力學是物理學中非常重要的內(nèi)容之一，在剛體力學中，有一個非常重要的概念是轉(zhuǎn)動慣量，這個物理量是用來描述剛體轉(zhuǎn)動時的慣性大小。不同于質(zhì)點平動時描述慣性大小的物理量質(zhì)量，剛體轉(zhuǎn)動時的慣性大小不僅與質(zhì)量分布有關(guān)，還與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動軸有關(guān)；同一個剛體，轉(zhuǎn)動軸不同，轉(zhuǎn)動慣量也就不同。所以，轉(zhuǎn)動慣量的計算就成了剛體力學中一個重要的知識點，掌握它的計算就顯得尤為重要。而轉(zhuǎn)動慣量的計算，如果是一般的無規(guī)則結(jié)構(gòu)，理論上是比較難計算的，通常的處理方法都是通過實驗來測定。而如果剛體是一個對稱性結(jié)構(gòu)，則問題就變得簡單，利用剛體的對稱性結(jié)構(gòu)，就可以很方便地進行積分。下面通過幾個常見的例子來說明這個問題。

1.1?長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對過中點的垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量［3］

JC=∫x2dm=∫L2-L2x2λdx=mL212

1.2?質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)質(zhì)量線密度為λ，

dm=λdl

J=∫R2dm=∫2πR0R2λdl=R2λ·2πR=mR2

1.3?質(zhì)量為m、半徑為R的均勻薄圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)質(zhì)量面密度為σ，取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)，

dm=σds=σ2πrdr

J=∫r2dm=∫R0r2·σ·2πrdr=12πR4σ=12mR2

1.4?質(zhì)量m，半徑R的均勻球殼對直徑的轉(zhuǎn)動慣量

dS=2πrdl=2πRsinθ·Rdθ

σ=m4πR2

dm=σdS=12msinθdθ

dJ=r2dm=（Rsinθ）2dm=12mR2sin3θdθ

J=∫dJ=∫π012mR2sin3θdθ=23mR2

2?電磁學中解題中的對稱性

電磁學中的核心知識之一是散度和旋度，對應的定理就是高斯定理和環(huán)路定理。而高斯定理和環(huán)路定理用來處理電磁學問題時，需要建立一個封閉曲面或者封閉曲線。一般的封閉曲線或者曲面是比較麻煩的，而如果封閉曲面或者封閉曲線如果是一個對稱性結(jié)構(gòu)，比如球面、圓柱面、圓、矩形，就會給解決問題帶來很大的便利。常見的封閉曲面有球殼、圓柱面、長方體面等，常見的閉合曲線有圓環(huán)等。

封閉曲面和封閉曲線的示例如圖：

舉例：均勻帶電球體的電場分布

取同心球面為高斯面，電通量E·dS=E4πr2=∑q內(nèi)ε0

分為球外和球內(nèi)：

球外（r＞R）

∵∑q外=43πR3ρ?∴E=ρ3ε0R3r2

球內(nèi)（r＜R）

∵∑q內(nèi)=43πR3ρ?∴E=ρ3ε0r

無限長帶電圓柱體的磁場分布

電流分布具有軸對稱性，故磁場分布也是軸對稱［4］

LB·dl=LBdl=BLdl=B·2πr=μ0∑I

在圓柱外部（r＞R）

∵∑I=I∴B=μ0I2πr

在圓柱內(nèi)部（r＜R）

∵∑I=IπR2·πr2∴B=μ0I2πR2r

3?電場和磁場概念的對稱性

電場的基本概念是電場強度和電勢，磁場的基本概念是磁感應強度和磁位。電場強度E和磁感應強度B是對應的，電位移D和磁場強度H是對應的，所以，在掌握了靜電場的基本知識后，就可以根據(jù)對稱性，推導出磁場的基本知識。比如，含有電介質(zhì)的電場，高斯定律的表達式是：

∮SD·dS=∑iQ0i

由此可以得出磁場的高斯定律的表達式

∮SB·dS=0

1820年，丹麥物理學家奧斯特在做實驗時，發(fā)現(xiàn)電流的磁效應，即通電導線旁的小磁針發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，說明通電導線產(chǎn)生了磁場。當時德意志哲學家康德的關(guān)于大自然是統(tǒng)一性的觀念非常受歡迎，很多人都受到康德的影響。法拉第在知道了奧斯特、安培等人的研究成果后，進行了一系列電磁學實驗，進而思考了一個問題，既然電流可以產(chǎn)生磁場，那么反過來，磁場能不能產(chǎn)生電流呢？經(jīng)過十多年不懈的努力，法拉第終于發(fā)現(xiàn)了磁場產(chǎn)生電流的方法：只要通過回路線圈的磁通量發(fā)生了變化，就會產(chǎn)生感應電流。這種認為電和磁可以相互產(chǎn)生的對稱性思想，也體現(xiàn)在麥克斯韋方程組中。從麥克斯韋方程組的積分形式中，可以看出

∮sE·ds=qε0?∮lE·dl=-∫sBt·ds

∮sB·ds=0?∮lB·dl=∫sμ0jc+μ0ε0Et·ds

變化的電場可以產(chǎn)生磁場，變化的磁場可以產(chǎn)生電場，電和磁是一個對稱性的結(jié)構(gòu)，形成電磁場。而電磁場在空間的傳播，就形成了電磁波，麥克斯韋通過方程，預言了電磁波的存在，并且給出了電磁波的速度，之后證明光就是一種電磁波。

在麥克斯韋預言了電磁波的存在后，赫茲通過實驗證明了電磁筆的存在?？梢酝ㄟ^圖像看到，電磁波在空間的傳遞也體現(xiàn)出了對稱性：電場和磁場相互垂直，與傳播方向成右手螺旋關(guān)系。

結(jié)語

通過上面的討論可以看出，對稱性是物理學的基本思想之一，貫穿于整個物理學之中。無論是前沿的物理科研，還是基礎(chǔ)的物理學習，都處處展現(xiàn)出對稱性思想的重要性，結(jié)合前人物理學家的研究過程，我們發(fā)現(xiàn)，思考對稱性原理，對于科研和學習有巨大的推動作用。

參考文獻：

［1］Stephen?Hawking.時間簡史［M］.湖南科學技術(shù)出版社，2012.

［2］漆安慎，杜嬋英.力學［M］.高等教育出版社，2003.

［3］馬文蔚，周雨青.物理學教程［M］.高等教育出版社，2019.

［4］吳百詩.大學物理B版［M］.西安交通大學出版社，2020.

作者簡介：郭虎平（1986—?），男，漢族，陜西西安人，講師，研究方向：物理學、電磁場。