以實(shí)證分析促進(jìn)概念的深度理解

張優(yōu)幼

【摘 要】基于實(shí)證分析的教學(xué)研究從教學(xué)現(xiàn)象出發(fā)，有針對(duì)性地對(duì)證據(jù)進(jìn)行采集和分析，問診把脈，有助于教師改進(jìn)教學(xué)。教師結(jié)合“有余數(shù)的除法”的實(shí)證分析，從問題出發(fā)，用證據(jù)說話，通過對(duì)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)和概念學(xué)習(xí)的分析研判，進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)。重構(gòu)后，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，能讓學(xué)生在多維生成中比較聯(lián)系，在多向聯(lián)系中理解內(nèi)化，有效促進(jìn)了學(xué)生對(duì)概念的深度理解。

【關(guān)鍵詞】實(shí)證分析；概念理解；余數(shù)

教師教學(xué)行為的改進(jìn)，要從經(jīng)驗(yàn)觀察走向事實(shí)分析，從感性思考走向理性研判。通過實(shí)證分析，獲得最佳研究證據(jù)，能幫助教師理解學(xué)生的認(rèn)知差異，對(duì)學(xué)材組織、學(xué)習(xí)方式和評(píng)價(jià)反饋等作出合理的調(diào)整。如何通過實(shí)證數(shù)據(jù)，凸顯事實(shí)分析，關(guān)注過程反饋，以達(dá)成概念的深度理解呢？筆者以“有余數(shù)的除法”教學(xué)為例，進(jìn)行了如下探索與思考。

一、緣起學(xué)生“猶豫不決”的答題

在“有余數(shù)的除法”教學(xué)后，學(xué)生在看圖寫算式時(shí)出現(xiàn)了圖1的結(jié)果。如圖所示，學(xué)生寫好算式后又進(jìn)行了修改，先寫的是正確的算式“10÷4=2……2”，后改成錯(cuò)誤的算式“10÷2=4……2”。這一修改過程能展現(xiàn)出學(xué)生答題時(shí)的猶豫不決。

這種“猶豫不決”是緣于學(xué)生對(duì)“有余數(shù)的除法”含義的不理解嗎？還是緣于對(duì)“等分除”和“包含除”的混淆？或是對(duì)“余數(shù)要比除數(shù)小”這個(gè)規(guī)律的感知不夠深入，從而不能進(jìn)行遷移應(yīng)用？為解決這一問題，教師需要分析學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。

二、基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的實(shí)證分析

實(shí)證分析不是簡(jiǎn)單地為解決一節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，而是指向?qū)W生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程。因此，教師要把一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容放在一個(gè)教學(xué)單元甚至一個(gè)學(xué)段的知識(shí)結(jié)構(gòu)中進(jìn)行實(shí)證，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而從內(nèi)容割裂走向教學(xué)整合。

（一）明確實(shí)證內(nèi)容的關(guān)鍵

各版本教材通常在二年級(jí)下冊(cè)安排有余數(shù)的除法的教學(xué)。人教版教材把它安排在了平均分、除法含義和用乘法口訣求商的教學(xué)內(nèi)容之后（如圖2）。

人教版教材在編排“有余數(shù)的除法”的含義時(shí)，是從“剛好分完”的除法算式遷移到“均分后有剩余”的除法算式的。有余數(shù)的除法算式通常由教師借助情境和圖式直接告知學(xué)生（如圖3）?？蛇@樣的告知符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律嗎？這就需要教師進(jìn)一步思考以下三個(gè)問題。

1.平均分的意義需要擴(kuò)展嗎

學(xué)生會(huì)認(rèn)可“均分后有剩余”也是平均分嗎？從整體上看，建構(gòu)除法概念需要經(jīng)歷兩個(gè)不同階段，即“表內(nèi)除法”和“有余數(shù)的除法”，分別對(duì)應(yīng)“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況。除法的本質(zhì)是平均分。為了建立“平均分”和“除法”之間的聯(lián)系，第一階段的學(xué)習(xí)重點(diǎn)聚焦于“剛好分完”的情況，從而建立“平均分”與“剛好均分”的強(qiáng)關(guān)聯(lián)。那么，“平均分”與“均分后有剩余”的關(guān)聯(lián)是怎樣的呢？對(duì)于例題中首次出現(xiàn)的“擺3個(gè)，還剩1根”的結(jié)果，學(xué)生是否會(huì)認(rèn)可這也是平均分，可以用除法表示呢？

2.會(huì)用除法算式嗎

如果學(xué)生認(rèn)可“均分后有剩余”也是平均分，那么他們會(huì)用除法算式表示嗎？如果不會(huì)，那會(huì)用什么算式表示？

3.對(duì)除法算式的理解會(huì)受影響嗎

平均分有兩種不同的情況，一種是等分，一種是包含。與之相關(guān)的，基于不同的均分過程，除法算式含義可分為“等分除”和“包含除”。那么，在有余數(shù)的除法算式中，學(xué)生能對(duì)其進(jìn)行辨認(rèn)嗎？

針對(duì)這三個(gè)問題，筆者用測(cè)試和訪談的方式，對(duì)城區(qū)某校二年級(jí)272名學(xué)生進(jìn)行了課前和課后的實(shí)證。

（二）分析實(shí)證數(shù)據(jù)的表現(xiàn)

1.“均分后有剩余”與“平均分”的弱關(guān)聯(lián)

用圖4對(duì)學(xué)生進(jìn)行課前測(cè)試，結(jié)果顯示，測(cè)試中沒有學(xué)生把題③看作平均分；題②增加了3個(gè)圈作為固定份數(shù)，只有約5.15%的學(xué)生認(rèn)為是平均分。在訪談中，有學(xué)生認(rèn)為：“第②幅圖表示的是有3份，每份同樣多，所以也是平均分，剩下的那顆糖就不管了?！?/p>

思考：如果學(xué)生不認(rèn)為均分后有剩余是平均分，那么就很難理解用除法算式來表示均分后有剩余。因此，教師要先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平均分，再幫助他們進(jìn)一步理解“有余數(shù)的除法”的含義。那為什么有些學(xué)生認(rèn)為題②也是平均分呢？因?yàn)楣潭朔輸?shù)，就能直觀地看到每份同樣多。

啟示：在教學(xué)中，對(duì)于靜態(tài)的圖，首先要理清份數(shù)，在份數(shù)的基礎(chǔ)上識(shí)別每份都同樣多的結(jié)果。在動(dòng)態(tài)操作的過程中，則要先確定每份數(shù)，再與份數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)。教學(xué)中，教師要結(jié)合動(dòng)作、圖式、語言和算式等進(jìn)行多元表征。

2.“均分后有剩余”與除法算式的陌生感

教學(xué)前，對(duì)于“均分后有剩余”的情況，學(xué)生能用有余數(shù)的除法算式來表示嗎？有多少學(xué)生已經(jīng)能遷移應(yīng)用？如果不用除法算式，學(xué)生又會(huì)用怎樣的算式表示“均分后有剩余”呢？針對(duì)這個(gè)問題，筆者采用單個(gè)情境操作后列算式（如圖5）和同個(gè)情境不同均分結(jié)果操作后列算式（如圖6）兩種方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行課前測(cè)試。

在單個(gè)情境操作后列算式的測(cè)試中，用連加、乘加算式表示的學(xué)生約占12.87%，用連減、乘減算式表示的學(xué)生約占69.12%，用除法算式表示的學(xué)生約占18.01%。從數(shù)據(jù)中可以看出，相對(duì)于除法算式，學(xué)生更喜歡用乘加、乘減的方式表示均分后有剩余的結(jié)果，如3×2+1=7、7-2×3=1等。

在同個(gè)情境不同均分結(jié)果操作后列算式的測(cè)試中，學(xué)生用除法算式表示的約占39.71%。從數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)，以對(duì)比的方式呈現(xiàn)“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況，用除法算式表示的學(xué)生人數(shù)顯著增加，從18.01%左右上升到了39.71%左右。有意思的是，部分學(xué)生雖然不能正確地書寫有余數(shù)的除法算式，但已經(jīng)有了用除法算式表示的意識(shí)（如圖6右圖）。然而即便有強(qiáng)暗示的情境對(duì)比，大部分學(xué)生仍對(duì)除法算式感到陌生。

啟示：用“剛好分完”和“均分后有剩余”的對(duì)比情境導(dǎo)入，讓學(xué)生感受到為合理清晰地表達(dá)均分結(jié)果，用除法算式進(jìn)行表征很有必要；但不能否認(rèn)學(xué)生的原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，要讓學(xué)生在多個(gè)不同算式的表征中進(jìn)行比較辨析，進(jìn)一步理解有余數(shù)的除法算式表示的含義。

3.“包含除”與“等分除”對(duì)理解除法算式的難易不同

把一些物品按指定的份數(shù)進(jìn)行平均分，可以一個(gè)一個(gè)地分，也可以幾個(gè)幾個(gè)地分，直到分完為止，即等分除；把一些物品按每份個(gè)數(shù)一份一份地分，即包含除。這兩種分法，在理解除法算式的難易度上是否有偏差？針對(duì)這個(gè)問題，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了課后測(cè)試。

（1）對(duì)比一：把分的結(jié)果畫一畫，再填一填，并用算式進(jìn)行表示。

①9支鉛筆，每人分2支，可以分給（? ?）人，還剩（? ?）支；

②9支鉛筆平均分給4人，每人分（? ?）支，還剩（? ?）支。

第一種分法是按每份的個(gè)數(shù)進(jìn)行均分，學(xué)生能在給定9支鉛筆的圖上，按每份2個(gè)圈一圈，并且列出正確算式；第二種分法給定4個(gè)框，讓學(xué)生按份數(shù)一一等分，在這個(gè)過程中，幾乎學(xué)生沒有添畫上4個(gè)框外那1根剩余的小棒。

（2）對(duì)比二：“10÷4=2……2”表示什么？請(qǐng)用畫圖的方式表示你的想法。

根據(jù)有余數(shù)的除法算式畫圖時(shí)，學(xué)生習(xí)慣用“包含除”來理解“均分后有剩余”的結(jié)果，而用“等分除”來解釋除法算式含義的學(xué)生非常少。這說明學(xué)生能理解有余數(shù)的除法算式的含義，他們的認(rèn)知表象建立在“包含除”的均分之上。

就有余數(shù)的除法概念的認(rèn)識(shí)而言，“等分除”的均分方法確實(shí)不像“包含除”那樣，能清晰地看到圈后余下的結(jié)果。因?yàn)椤暗确殖钡牟僮鬟^程是一一均分，無論是操作還是想象都比較麻煩，且容易受表內(nèi)乘法口訣的影響，從結(jié)果出發(fā)而忽略一一均分的過程。然而，從對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的價(jià)值來說，等分后有余的均分過程和方法是不可忽視的，如解決抽屜問題時(shí)，就是先用一一等分的方法建構(gòu)抽屜，再將余數(shù)裝入其中一個(gè)抽屜來建立模型的。

啟示：要建立完整的有余數(shù)的除法的含義，必須感知兩種不同分法的均分過程。雖然從“包含除”導(dǎo)入更容易理解，但如果僅關(guān)注“包含除”而忽略“等分除”，則會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的偏差。為此，需要借助觀察演示、動(dòng)手操作、感知對(duì)比等方式，感知“等分除”后有剩余的均分過程。

三、探尋基于實(shí)證的教學(xué)重構(gòu)

基于實(shí)證分析，筆者對(duì)“有余數(shù)的除法”進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，在問題的引領(lǐng)下，尋找證據(jù)，分析證據(jù)，應(yīng)用證據(jù)，從而改進(jìn)教學(xué)（如圖7）。

重構(gòu)后的教學(xué)，關(guān)注“均分后有剩余”與“平均分”的強(qiáng)關(guān)聯(lián)；從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，比較不同算式的表示方式與有余數(shù)的除法算式之間的聯(lián)系，將除法的意義從“剛好分完”向“均分后有剩余”擴(kuò)展；在操作中抽象比較“包含除”與“等分除”，凸顯對(duì)“等分除”過程中有余數(shù)的除法的含義的理解。

（一） 在聯(lián)系比較中明晰概念內(nèi)涵

對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解離不開分析、比較、辨析、歸納等思維活動(dòng)，學(xué)生的思維活動(dòng)有助于概念的原型建構(gòu)和變式比較。教師的教學(xué)需要在多元表征的基礎(chǔ)上，建立“余數(shù)”與平均分及除法算式之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生理解“有余數(shù)的除法”與除數(shù)的關(guān)系。

1.有余數(shù)的除法算式順向遷移，在多維生成中比較聯(lián)系

借助任務(wù)一的題組（如圖8），讓學(xué)生在相同的情境中，實(shí)現(xiàn)從“剛好分完”到“均分后有剩余”的比較遷移，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。理解概念時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，多向生成，優(yōu)化有余數(shù)的除法算式的表征，初步建立余數(shù)概念。教學(xué)反饋時(shí)，通過兩次對(duì)比幫助學(xué)生完成概念的建構(gòu)。

（1）第一次對(duì)比，比較有余現(xiàn)象的原始表征和有余數(shù)的除法算式。教師呈現(xiàn)學(xué)生列出的算式：①3+3+3+1=10；②3×3+1=10；③10-3-3-3=1；④10-3×3=1；⑤10-1=9，9÷3=3；⑥10÷3=3……1。讓學(xué)生對(duì)應(yīng)圖說說這些算式分別表示什么意思，并借助這些不同的算式，理解10÷3=3……1表示的含義。學(xué)生在比較中明確了乘加、乘減等算式與有余數(shù)的除法算式的關(guān)聯(lián)，而優(yōu)化有余數(shù)的除法能清楚地表示圈后有余的結(jié)果。

（2）第二次對(duì)比，比較圖8中兩道題的算式：10÷5=2和10÷3=3……1。這兩道題為什么都可以用除法表示分后的結(jié)果？它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？讓學(xué)生理解有余數(shù)的除法也需要平均分，也可以用除法算式表示，并結(jié)合動(dòng)作、語言和圖式等進(jìn)一步理解除法算式。

學(xué)生通過兩個(gè)不同層次的比較，建立“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況之間的聯(lián)系，初步認(rèn)識(shí)了有余數(shù)的除法含義。

2.規(guī)律歸納開放生成，在多向聯(lián)系中感悟內(nèi)化

對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來說，形式化的告知只能使他們機(jī)械識(shí)記規(guī)律。因此，教師教學(xué)時(shí)要明確余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生借助任務(wù)驅(qū)動(dòng)，助推規(guī)律的生成，并在多向聯(lián)系中比較、歸納、感知規(guī)律（如圖9）。

（1）橫向?qū)Ρ龋兄龜?shù)是4時(shí)余數(shù)的特點(diǎn)。①用10根小棒擺正方形，鞏固有余數(shù)的除法算式的含義、讀寫法等。②自己設(shè)定小棒的數(shù)量，畫一畫，用除法算式表示結(jié)果，從而得到除數(shù)都是4，被除數(shù)各不相同的有余數(shù)的除法算式。通過不完全歸納比較，理解所有除數(shù)是4的除法算式中，不管被除數(shù)是幾，余數(shù)都只有1、2或3（余數(shù)是0通常不寫）。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“有沒有畫出余數(shù)是4或比4大的？”“余數(shù)除了1、2和3，還有其他的可能嗎？”“如果小棒根數(shù)再多一些，余數(shù)會(huì)發(fā)生變化嗎？”讓學(xué)生通過操作演示，理解“余數(shù)要比除數(shù)小”這一規(guī)律。

（2）縱向?qū)Ρ?，不僅從擺正方形（除數(shù)4）的算式中概括余數(shù)比除數(shù)小的規(guī)律，還可以通過擺五邊形和三角形（除數(shù)是5或3），進(jìn)一步感悟余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。讓學(xué)生通過對(duì)□÷4=□……□、□÷5=□……□、□÷3=□……□三組算式中余數(shù)與除數(shù)關(guān)系的思辨，概括規(guī)律。

“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律，不是僅通過按序觀察一組算式得到的。要讓學(xué)生利用開放式的生成資源，自己設(shè)定小棒數(shù)量進(jìn)行感悟，從具體到抽象，跳出被除數(shù)按序排列的框架，跳出單一除數(shù)的限制，用歸納的方式橫向?qū)Ρ认嗤龜?shù)的算式，并用不同除數(shù)進(jìn)行縱向?qū)Ρ?，在?lián)系和遷移中深度理解概念和規(guī)律。

（二）在任務(wù)驅(qū)動(dòng)中改進(jìn)學(xué)習(xí)方式

基于實(shí)證的數(shù)學(xué)課堂，既要對(duì)教師的教學(xué)方式進(jìn)行改進(jìn)，又要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行優(yōu)化。用問題情境和任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式依序推進(jìn)教學(xué)，能激發(fā)不同層次學(xué)生的探究欲望，使他們?cè)诒容^和歸納中形成概念。課堂重構(gòu)后，學(xué)生在三次對(duì)比任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下完善對(duì)概念的理解。任務(wù)驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)材料典型而簡(jiǎn)約，有結(jié)構(gòu)且具有可操作性。

任務(wù)三是在操作中理解“包含除”與“等分除”，重點(diǎn)是有余數(shù)的除法中的“等分”過程。

（1）第一次對(duì)比平均分19根小棒，比較每5根均分與平均分成5份（如圖10）。19根小棒平均分成5份，剩余的4根無法繼續(xù)一一等分，這就是余數(shù)。讓學(xué)生從中感受“包含除”和“等分除”均分過程的不同，理解一一等分是余數(shù)與除數(shù)（份數(shù)）建立聯(lián)系。

（2）第二次對(duì)比平均分19根小棒，比較平均分成5份與平均分成3份（如圖11）。讓學(xué)生通過操作進(jìn)一步感受“等分除”有剩余的過程，理解余數(shù)與除數(shù)（份數(shù)）的關(guān)系?！盀槭裁雌骄殖?份時(shí)，余數(shù)可以是4，而平均分成3份時(shí)，剩余的4根還要繼續(xù)均分呢？”學(xué)生在追問中理解了有余數(shù)的除數(shù)的本質(zhì)，明確了除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系。

兩次對(duì)比注重過程和關(guān)聯(lián)，學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)作、語言、圖式的不同表征過程，完善了對(duì)概念的認(rèn)知。

實(shí)證教學(xué)，關(guān)注的是學(xué)生的“學(xué)”，指向的是學(xué)生的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程。它關(guān)注學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從現(xiàn)狀出發(fā)剖析成因，從一節(jié)課的教學(xué)追溯到一個(gè)體系的教學(xué)。教師要根據(jù)有效數(shù)據(jù)的反饋和分析，實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)，重構(gòu)課堂，從而促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的深度理解。

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